CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y  f x  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M  x0 ; y0    C  .
 Tính đạo hàm và giá trị f '  x0  .

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0  x  x0   y0 .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  .
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
 Giải phương trình: f '  x   k , tìm nghiệm x0  y0 .
 Phương trình tiếp tuyến dạng: y  k  x  x0   y0 .

Chú ý: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 , khi đó:
 Nếu d //   d  : y  ax  b  hệ số góc k = a.
 Nếu d     d  : y  ax  b  hệ số góc k  

1
.
a

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A  xA ; y A    C  .

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d  : y  k  x  xA   y A

 f  x   k  x  xA   y A
 Điều kiện tiếp xúc của  d  và  C  là hệ phương trình sau phải có nghiệm: 

 f ' x  k

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0  
.
 P  xB xC  1

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f   xC  f   xB   1

 xB xC  3xB  2m   3xC  2m   1  xB xC 9 xB xC  6m  xB  xC   4m2   1  1 9  6m  m   4m2   1
 2m2  10  m   5
(nhận so với điều kiện)

Trang 1


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

5.

2x
.
(ĐH KhốiD 2007)
x 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng
1
 1

ĐS: M   ; 2  và M 1;1 .
4
 2

8. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 4  2 x 2  1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến
(C).
9. Cho đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x  2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3
tiếp tuyến với (C).
10. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
(ĐH KhốiB 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
y
f(x)=4x^3-6x^2+1
a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1.
2

BBT :
x
y'
y


+


0
0
1

CĐ



 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1)  2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
-4
 x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x  x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
5
 5  15
 x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; y '    .
4
4 4
15
21 -6
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
x .
4
4
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô y  f x  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình f '  x   0 là hoành độ của điểm cực trị.
Trang 2

1


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

 f
 Nếu 
 f
 f
 Nếu 


.
 yCĐ . yCT  0
 yCĐ . yCT  0 .

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số y  ax3  bx2  cx  d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
1
1. Cho hàm số y  x3  mx 2   m  2  x  1 . Định m để:
3
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng  0;   .
c. Có hai cực trị trong khoảng  0;   .





2. Định m để hàm số y  x3  3mx 2  m2  1 x  2 b2  4ac đạt cực đại tại x = 2.
3

2

3. Cho hàm số y = x -3x +3mx+3m+4.
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số y  x3  3mx2  9 x  3m  5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.




8. Cho hàm số y  mx 4  m2  9 x 2  10

(1) (m là tham số).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.

(ĐH KhốiB năm 2002)
 m  3
b. ĐS : 
0  m  3

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô y  f x  có tập xác định là miền D.
 f(x) đồng biến trên D  f ' x   0 , x  D .

 f(x) nghịch biến trên D  f ' x   0 , x  D .
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c .
1. Nếu   0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
b
b
2. Nếu   0 thì f(x) có nghiệm x  
và f(x) luôn cùng dấu với a khi x   .
2a
2a
3. Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu

 (C1) và (C2) không có điểm chung.

(1) có n nghiệm

 (C1) và (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1

 (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).

(1) có nghiệm kép x0

 (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
Trang 4


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

1. Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
2

2





2

Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB 

 xB  xA 2   yB  y A 2

.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C  0 và điểm M(x0;y0) khi
Ax0  By0  C
đó d  M ,.  
.
A2  B 2
1. Cho hàm số y  x3  3mx2  3x  3m  2  Cm  . Định m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa
chúng là bé nhất.
2x  2
2. Cho hàm số  C  : y 
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ
x 1
nhất.
2x  2
3. Cho hàm số  C  : y 
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
x 1
1
4. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y  mx  (*) (m là tham số)
(ĐH KhốiA 2005)
x
1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4


y  f  x  có đồ thị (C “)

y  f  x  có đồ thị (C’)

y = f(x) có đồ thị (C)

y  f  x   0, x  D . Do đó ta phải

y  f  x  có f   x   f  x  ,

giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy
đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.

x  D nên đây là hàm số chẵn do
đó có đồ thị đối xứng qua trục tung
Oy.

y

f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5

3-2x^2-0.5

f(x)=x^3-2x^2-0.5

(C)

y



(ĐH Khối A2006)
y

x
-6

-16

-4

a.

-14

-2

-12

-10

2

-8

4

x
-6


 x '  2 x0  x
thỏa: 



 f  x   f  x '  2 y0
 f  x   f  2 x 0  x   2 y0
Vậy I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của (C)  f  x   2 y0  f  2 x0  x  .

1. Cho hàm số y  x3  3x2  m 1 (m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.
(ĐH Khối B2003)
ĐS: a. f  x0    f   x0  , x0  0  … m>0.
x3
11
có đồ thị  C  . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung.
 x 2  3x 
3
3
3. Cho hàm số y  x3  ax 2  bx  c 1 . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua

2. Cho hàm số y  

điểm M(1;1).
4. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)
(ĐH Khối D2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số
(1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

f x = 1.7x

6

g  x = 0
1. Định nghĩa:
 = lim
0 MH  0
(d) là tiệm cận của (C)h y

y

-4

M 

(d)

 M C 

2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng: lim f x     d  : x  x0 .

4

-6

(C)

x  x0


*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) y 

ax  b
mx  n

 n
+TXĐ: D= R\  
 m

+TCĐ: lim y    d  : x  
x 

n
m

n
m

+TCN: lim y 
x 

a
a
 d  : y 
m
m
y

1)

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2
-3

x 1
-4
có đồ thị (C).
x 1
-5 số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
-6
2x  1
2. Cho hàm số y 
có đồ thị (H).
-7

.
d  N, 

Series 1
1  x0
10
f(x)=-(1/3)x-13/3
-12.
-10
-8
-6
-4
d  N ,  min-14 g  x min

* Khảo sát hàm g  x0   3x0  2 
g '  x0   3 

3

1  x0 

2

y
2

M

x
-2


-8

Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
Trang 8

4

-10


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

I. a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường
thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:

y

f(x
)
g(x)

b

S

 f  x   g  x  dx
a


a

(x)
b

x

c

a

x
O

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức:
d

V     y  dy



2

c

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b])

  f x  g x dx .
b


0
-2

-5

+

1

y

f(x)=(1/3)^x

0

-5

2

3


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:



x  0
y=logax, ĐK: 
; D=(0;+)
0  a  1





Đồ thị

n(x)/ln(1/3)

4

1/3)^x

y

y=3x

4

y
y=x

3

3

x

2

2

-4
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
-6

(an)m =anm ;

-7

2

3

-2

-2

-5

1
-1

y=x

anam =an+m;

x

-3
-4
-5

(ab)n=anbn;

-8

m

a n  n am .

2. Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0)
-9
-9
Với 0
Trang 10


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

0  a  1

+logaf(x)= logag(x)  f x   0
 f x   g x 


0  a  1
+logaf(x)=g(x) 
g x
 f x   a

Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ:
a  0
 af(x)>ag(x)  
;
a  1 f x   g x   0
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì:
af(x)>ag(x)

f(x)
g(x)

a  1 f x   g x   0

f(x)>g(x);
f(x)g(x).
f(x)g(x);
f(x)g(x).
0  a  1

logaf(x)logag(x)  f x   0, g x   0
.
a  1 f x   g x   0

 f x   g x 
;

 g x   0
 f x   g x 
.

 f x   0

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x

2

x


 1 .  22 x  4   0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2  log9 x   log3 x.log3
2





2x  1  1 .





Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3 x  2log3 2 x  1  1  .log3 x  0 . Đây


là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành
tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x  2( x  2)3x  2 x  5  0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
t 2  2  x  2 t  2 x  5  0  t  1, t  5  2 x . Thay vào (*) ta tìm được x.

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log32  x  1   x  5 log3  x  1  2 x  6  0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
t 2   x  5 t  2 x  6  0  t  2, t  3  x  x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:

Xét hàm số f t   t  1  t  , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c   2;5 sao


 1
cho: f '  c   0    c  1
 c 1   0    0,   1 , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình.



Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x

2

x

 2x 1  ( x  1)2 . Viết lại phương trình dưới dạng 2x 1  x  1  2x

2

x

hàm số f t   2 t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:

 x2  x , xét

f  x  1  f  x 2  x   x  1  x 2  x  x  1 .

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x  2x  3x  2 . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không
còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f  x   3x  2x  3x  2  f ''  x   3x ln 2 3  2x ln 2 2  0  Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương

a
b
Ví dụ 6: Cho a  b  0 . Chứng minh rằng  2  a    2  b  (ĐH Khối D2007)
2 
2 


1
1
1
ln  2 x  x 
ln  2a  a  ln  2b  b 
1
1
2 
2 
2 

HD: BĐT  b ln  2a  a   a ln  2b  b   
. Xét hàm số f  x   
với x

x
a
b
2
2





5

Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log6  t  1  log5 t .



 x2  2 x  3  .



Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x  3log6 x  log6 x . Đặt t  log6 x , phương trình tương đương
t

3
6t  3t  2t  3t     1 .
2
logb  x  c 

 x ( Điều kiện: b = a + c )
log x 3
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 7    x . Đặt t  log
3. Dạng 3: a
t

7

 x  3  7t

 x  3 , phương trình tương đương


7  6  y  1  1
7  6 y  5

 7 x 1  6 x  7 y 1  6 y . Xét hàm số f  t   7t 1  6t suy ra x=y, Khi đó:

 y 1

 y  1  log 7  6 x  5
7  6 x  5


7 x 1  6 x  5  0 . Xét hàm số g x   7 x 1  6 x  5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của
phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
8
2x
18
Ví dụ: Giải phương trình x1
 x
 x 1 1 x
2 1 2  2 2  2  2
8
1
18
HD: Viết phương trình dưới dạng x1
, đặt u  2x1  1, v  21 x  1.u, v  0 .
 1 x
 x1 1 x
2 1 2  2 2  2  2

c.  7  4 3   3  2  3   2  0
x

x

d.  3  5   16  3  5   2x3
x

e.



x

 
x

2 1 



x

2  1  2 2  0 (ĐH_Khối B 2007)

f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006)
g. 2

x2  x
x2  x


1

1

1

j. 2.4 x  6 x  9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
5 x  y  125

b. 
2
4( x  y ) 1  1

4 x  y  128
a. 
53 x 2 y 3  1

2 x  2 y  12
c. 
 x  y  5
2
2

log 2  x  y   1  log 2  xy 
d.  2
x  xy  y 2
 81



a .  m  2  .2 x  m.2 x  m  0 .

b . m.3x  m.3 x  8 .

Bài 4: Cho phương trình log32 x  log32 x  1  2m  1  0 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  .







Bài 5: Cho bất phương trình 4 x1  m. 2 x  1  0
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x  log5  x  6   log5  x  2 



b. log5 x  log 25 x  log0,2 3



x3
0
x 1
(ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
(ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.

b. log 0,7  log 6
0
x4 


c. log5  4x  144  4 log5 2  1  log5  2x2  1

(ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8.
(ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.

Trang 14


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

x 2  3x  2
0
x

d. log 1
2

  2; 2 

(ĐH_Khối D 2008) ĐS:  2  2;1

2  .




1
2

x

1

 sin

2

x





x

 cos








dx  tan x  C

1
dx  tanax  b   C
2
a
cos ax  b 
1
1
dx   cotax  b   C
2
a
sin ax  b 

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

 du  u  C


u  du 

u  1
 C   1
 1

 u  ln u  C u  0
 e du  e  C
du
u

u

f[u(x)]u/ (x)dx ta thực hiện các bước sau:

Để tính tích phân
a

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt
Bước 2. Đổi cận: x
a
t

u/ (x)dx .
u(a)
, x

b

t

u(b)

.

b

f[u(x)]u/ (x)dx

Bước 3.

f(t)dt .


e2

ln t

Trang 15

2
1

dx
x
t
ln 2 .

2


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Vậy I
4

Ví dụ 8. Tính tích phân I
0

ln 2 .

cos x
dx .


dx
x) 2x

(1

1
2

dx
. Đặt t
.
1)3 cos2 x

3

tan x

1

.

Hướng dẫn:
Đặt t
ĐS: I

2x
3
ln .
2

8
1

3

t2 dt
; đặt t
(t2 1)2

tan u

2.

Chú ý:
1

3
1

Phân tích I
0

x
dx , rồi đặt t
x

1

x sẽ tính nhanh hơn.



1
1

x2

dx .
Giải

Đặt x

sin t, t

x

0

2

t

;

dx

2

0, x

Trang 16

cos t

Vậy I

6

dt

t 06

0

6

.

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I

x2 dx .

4
0

Hướng dẫn:
Đặt x
2 sin t
ĐS: I
.

Ví dụ 4. Tính tích phân I

x

0

dx
2x

2

2

2

0, x

1

4

.

Hướng dẫn:
3 1

I
0

Đặt x

Ví dụ 5. Tính tích phân I
0

ĐS: I

2

dx
.
(x 1)2

.
3 1

Ví dụ 6. Tính tích phân I
0

ĐS: I

12

x

2

dx
2x

2



dt
0

.

4

.

1)dt

0

6

.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

Đặt t

cos x
2
.
15

ĐS: I

1
16

2

1
4

cos4 x sin2 xdx

I

cos2 x sin2 2xdx
0

2

(1
0

Ví dụ 14. Tính tích phân I
0

x
16

0

dx
cos x sin x


cos 2x sin2 2xdx
0

sin3 2x
24

1
sin 4x
64

2

32

0

.

.

32

.

Hướng dẫn:

x
.
2

Ví dụ 15. Tính tích phân I
0

xdx
.
sin x 1
Giải

x
0

I

(
sin(

t)dt
t) 1
dt

2

0

t
sin
2

t
cos

sin t

1

dt
t 0

dt
0

t
d
2
4

2

Vậy I
Tổng quát:
Trang 18

0

.

cos

2

dt


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

xf(sin x)dx

2

0
2

Ví dụ 16. Tính tích phân I
0

f(sin x)dx .
0

sin2007 x
dx .
sin2007 x cos2007 x
Giải
Đặt x

x
sin2007

0

I
2


t

2

dx
0

0

cos2007 t
dx
sin2007 t cos2007 t

2

Mặt khác I

J

dx

2

0

(2). Từ (1) và (2) suy ra I

4


4

,n

.

cos2 x
dx .
sin x
3 cos x

0

Giải

I

3J

1

3 (1).

6

I

J
0


ln 3 (2).
4
1
3
1
, J
ln 3
4
16
1
ln(1 x)
dx .
1 x2
0

dx  I

3
ln 3
16

Ví dụ 18. Tính tích phân I

J

1

3
4


4

tan2 t)dt

t

4
4

tan2 t dt

ln(1
0

u

dt

Trang 19

du

tan t)dt .

J (1).


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:


u du

4

0
4
4

1
1

ln 1
0

4

ln
0

2
du
tan u

1

4

ln 2du

ln 1

Ví dụ 19. Tính tích phân I
4

Hướng dẫn:
Đặt x
t
ĐS: I

2
.
2

Tổng quát:
Với a > 0 ,

0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn

f(x)
a
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên

x

1

dx

;

thì

2

x

t

2

2

, x

2

I

t

2

2

2

f( t)dt

J

3I



2
.
3

Vy I
3.3. Cỏc kt qu cn nh

a

f(x)dx

i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

0.

a
a

a

f(x)dx

ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ

2

a

f(x)dx .


0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5;
2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 .

2

Vớ d 21.

cos11 xdx

10 !!
11!!

sin10 xdx

9 !!
.
10 !! 2

0
2

Vớ d 22.
0

2.4.6.8.10
1.3.5.7.9.11

256
.

b

d uv

vdu

udv

d(uv)

uv

b
a

a

b

vdu
a

b

vdu

a
b

uv/ dx


udv

uv

b
a

vdu (1).

a

a

Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b

b
/

f(x)g (x)dx

f(x)g(x)

b
a

a

a


vdu phải tính được.

u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
a

Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b

b

P(x) sin axdx,

i/ Nếu gặp

b

a
b

a

a

P(x) ln xdx thì đặt u

ii/ Nếu gặp

eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u


x

du

ex dx

dv

dx
ex

v

1

(chọn C

0)

1
x

xe dx

xe

x 1
0


xdx

1

x2
2

v
e

x ln xdx

dx
x

du

ln x

x2
ln x
2
1

1
2

e

xdx

du

cos xdx

v

x

2

2

ex sin xdx

I

e

ex sin x

ex cos xdx

2
0

0

0

u


J

x

e cos xdx

e cos x

e x sin xdx

2
0

0

1

0

I

e2

( 1

I)

e2



2.

0

e

Ví dụ 8. Tính tích phân I

sin(ln x)dx .
1

ĐS: I

(sin1

cos1)e
2

1

.

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
b

Giả sử cần tính tích phân I



a

b

f(x)dx

f(x)dx .

x1

x2

2

x2

Ví dụ 9. Tính tích phân I

3x

2 dx .

3

Giải
Bảng xét dấu

x2



2

Ví dụ 10. Tính tích phân I

2
0

1
0

2

5

4 cos2 x

4 sin xdx .

0

Trang 23

3x

2 dx

59
.
2


Tách I

b

f(x)

b

g(x) dx

f(x) dx

a

g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

a

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

Ví dụ 11. Tính tích phân I

x


(x

0

0

1

1)dx

1

2

x2
2

0

1 dx

(x

1)dx

1

1

x2

Bảng xét dấu
–1

x
x
x–1

–
–

0

0
0

1
+ 
– 0

2
+
+

1

I

x

x


Vậy I

x 12

0

0.

0.

3. Dạng 3
b

Để tính các tích phân I

b

max f(x), g(x) dx và J
a

min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các bước sau:
a

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)
Bước 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x)

f(x)

Bảng xét dấu
Trang 24

2

x2

4x

3.


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 LUYỆN THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC
 0937 944 688 Email:

x
h(x)

0

1
0

+

1

3
0



1 dx

3

80
.
3

Vậy I
2

min 3x , 4

Ví dụ 13. Tính tích phân I

x dx .

0

Giải
x

Đặt h(x)

3

4

–

2
+

3x 1
ln 3 0

x dx

1

2

x2
2

4x

1

2
ln 3

Vậy I

2
ln 3

f(x)dx

0 ) ta chứng minh f(x)

a; b .
1
3

Ví dụ 14. Chứng minh

x 6 dx

1

0.

0

Giải
1

x

Với

0; 1 : x

6

1

3

1

g(x) với x

a; b .

a
2

Ví dụ 15. Chứng minh
0

1

2

dx
sin10 x

dx
.
sin11 x

1

0

Giải
Với

1



3. Dạng 3
Trang 25

1
2

0

1

sin11 x

1
sin10 x
dx
.
sin11 x

sin10 x

1

1
.
sin11 x

0 ) với