Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;
Câu 2: (5,0 điểm)
A=(

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

2 + x 4x2
2−x
x 2 − 3x
− 2
−
):( 2 3)
2 − x x − 4 2 + x 2x − x

Cho biểu thức :
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho

x y z
+ + =1
a b c

và


− 24

x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0

b. Giải phương trình:
a
b
c
a2
b2
c2
+
+
=1
+
+
=0
b+c c+a a+b
b+c c+a a+b
c. Cho
. Chứng minh rằng:
2
1  
10 − x 2 
 x
A= 2
+
+
:

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
1 1 1
+ + ≥9
a b c

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 . Tính : a2011 + b2011
ĐỀ SỐ 3
a − 4a 2 − a + 4
a 3 − 7a 2 + 14a − 8
3

Câu 1 : (2 điểm)
Cho
P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập
phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3 : (2 điểm)
1
1
1
1
+ 2

4

a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo
diện tích bằng số đo chu vi .
ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (2đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15

Câu 2 (2đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:

( x − a ) ( x − 10 ) + 1
phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3 (1đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) =
đa
thức

x 4 − 3 x3 + ax + b

chia hết cho

B ( x) = x 2 − 3 x + 4

Câu 4 (3đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và
phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5 (2đ): Chứng minh rằng

.


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
Bài 3: (3 điểm)

( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )
2
2
( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )
2

Tìm x biết:
Bài 4: (3 điểm)

2

A=

=

19
49

.

2010x + 2680
x2 + 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
0

b)

x − 17 x − 21 x + 1
+
+
=4
1990
1986 1004

c) 4x – 12.2x + 32 =

1 1 1
+ + =0
x y z

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
yz
xz
xy
A= 2
+ 2
+ 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta

3
 1− x
 1− x − x + x

Cho biểu thức A =
a, Rút gọn biểu thức A.

= −1

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)

( a − b) + ( b − c) + ( c − a )
2

Cho

2

2

2
3

(AB + BC + CA) 2
AA ' 2 + BB' 2 + CC' 2

đạt giá trị nhỏ



Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và
N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1
1
2
+
=
AB CD MN

b, Chứng minh rằng
.
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
ĐỀ SỐ 8

Bài 1:
Bài 2:

Cho x =

b2 + c 2 − a 2
2bc

;y=

Giải phương trình:


( x + 1)3

(x là ẩn số)

2

=0
a
( x + 1)3

b
( x + 1) 2

Bài 3: Xác định các số a, b biết:
=
+
Bài 4: Chứng minh phương trình:2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 5: Cho

∆

ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ SỐ 9
 2 1 
1
 1
 x − 1
A=
+ 1÷ + 2

Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn
hơn 3, thì k chia hết cho 6.
ĐỀ SỐ 10
3   x2
1 
1
A= + 2
+
÷: 
2
x + 3÷
 3 x − 3x   27 − 3x


Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1.
nguyên.

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
1
6y
2
= 2
+
3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y
2

a)


7


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8

ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
N=
a) Cho

x 2 − 2xy + 2y 2 − 2x + 6y + 13 = 0

. Tính

3x 2 y − 1
4xy

b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số
A = a 3 + b 3 + c3 − 3abc

dương:
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
a
b 
 a − b b − c c − a  c
A=
+
+
+


Biết x , y, z thoả mãn:
Bài 3:
8

x2 + y2 + z 2
a 2 + b2 + c 2

=

x2
a2

+

y2
b2

8

+

z2
c2


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8

a) Cho a, b > 0. CMR:



+

c−a
a+d ≥

0

với x,y > 0

x
( x + 1995) 2

với x > 0

∈

Bài 5: a) Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
∈

b) Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
VABC

VABC

∈

Bài 6: Cho
M là một điểm miền trong của
. D, E, F là trung điểm


( y − 4,5) 4 + ( y − 5,5) 4 − 1 = 0

Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút,
người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi
9

9


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng
đường AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF
vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
3 x 2 + 5 y 2 = 345
Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

ĐỀ SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
5

a) x + x +1
Bài 2 : (1,5điểm)

2

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0. Tính:
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N
vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F.
Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
·
·
ANB
+ ACB
=?

c) Tính :
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC
để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.

10

10


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
ĐỀ SỐ 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số:

d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm)
22499
 ..........
   9100
 ..........
   ...09

Chứng minh rằng số:

n-2 sè 9

n sè 0

là số chính phương. (

n≥2

).

ĐỀ SỐ 16
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình
phương của một đa thức khác .

Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : P =

11


trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn
thẳng MN nhỏ nhất .
ĐỀ SỐ 17
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

a)

x2 + 7 x + 6

b)

x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008

Bài 2: (2điểm) Giải phương trình:
2

x2 − 3x + 2 + x −1 = 0

b)

a)

2

2

1
1 
1 

∈

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC
tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn
BE theo

12

m = AB

.

12


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và

BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

GB
HD
=
BC AH + HC

.


a)

b)

1
2

d) Tìm x để P > 0.

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x
+
+
+
= 10
25
23
21
19

c)

x −2 +3 = 5

Bài 3 (2điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận
tốc dự định đi của ngời đó.
Bài 4 (7điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối
xứng của điểm C qua P.

Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8

ĐỀ SỐ 19
Bài 1: (3đ)
a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
M

b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
≠

c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng :
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

2( x − y)
x
y
− 3
+ 2 2
=0
y −1 x −1 x y + 3
3

b)

x+1 x+ 2 x+ 3 x+ 4 x+ 5 x+ 6
+
+
=
+

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.
Bài 4:
x+2 1
2
− =
x − 2 x x ( x − 2)

a) Giải phương trình :
b) Giải bất phương trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
14

14


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm.
Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trớc
kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản
xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày.
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và
trung tuyến AM.
a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
b) Tính : BC; AH; BH; CH ?
c) Tính diện tích ∆ AHM ?
ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25

x − 17 x − 21 x + 1

AA ' BB' CC'

tâm.
a) Tính tổng
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC
và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA) 2
≥4
AA '2 + BB'2 + CC'2
c) Chứng minh rằng:
.
ĐỀ SỐ 22
Câu 1: (5điểm)
15

Tìm số tự nhiên n để:
15


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8
a) A = n3 – n2+n – 1 là số nguyên tố.
b) B =

n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n − 2
n2 + 2

Có giá trị là một số nguyên.
≥
c) D = n5 – n + 2 là số chính phương. (n 2)
Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng :

82

a)
b) 2x(8x – 1)2(4x – 1) = 9
c) x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x, y nguyên dương.
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đường
chéo.Qua 0 kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a) Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
1
1
2
+
=
AB CD EF

b) Chứng minh:
c) Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đôi
diện tích tam giác DEF.
ĐỀ SỐ 23
Câu 1: Tìm x, biết:
a)

x 2 − 12 x + 36 = 81

b)

3x
x
3x
+

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


Tuyển tập đề thi HSG huyện Toán 8

Câu 3 : a) Cho hàm số : f(x) xác định
 f (1) = 1
 1
1

 f ( ) = 2 . f ( x)
x
 x
 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 )

Tính

∀x ≠ 0

thõa mãn :

5
f( )
7

1 1 1
+ + =3
a b c

1 1 1

>

1
2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với các giá trị nào của x thì P
.
Bài 2: a) Giải phương trình: x3 – 2x + 1 = 0.
b) Cho đa thức f(x) = 2x3 + x2 – 2x + 2011. Hãy tìm 3 giá trị khác nhau của
x mà tại đó giá trị của f(x) bằng nhau và bằng 2012.
2a
2b
2c
a+b+c=
+
+
b+c a+c a+b
Bài 3: Cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:
.
2012
2012
2012
Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c .
Bài 4: Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3 + c3 – 3abc + 3ab – 3c + 5.
Bài 5:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Gọi K là hình chiếu vuông
góccủa H trên cạnh AC; O là trung điểm của HK. BK cắt AO và AH thứ tự tại M
và N; AH cắt OB tại P.