i

Nghiên cứu một số bài toán
nhận dạng tam giác


ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa.............................................................................................................................i
Lời cảm ơn........................................................................................................ii
Mục lục .....................................................................................................................................ii
Danh mục các từ viết tắt ..................................................................................iv
1.1.2. Định lý hàm số cosin...................................................................................4
1.1.3. Các công thức về diện tích............................................................................4
1.1.4. Định lý đường phân giác..............................................................................4
1.1.5. Công thức đường phân giác..........................................................................5
1.1.6. Định lý đường trung tuyến............................................................................5
1.1.7. Công thức đường trung tuyến.......................................................................5
1.1.8. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp ........................................................5
1.1.9. Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp.......................................................5
1.1.10. Các hệ thức lượng giác cơ bản....................................................................5
1.2. Các bất đẳng thức trong tam giác...................................................................17
1.2.1. Bất đẳng thức tam giác...............................................................................17
1.2.2. Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản............................................................17
1.3. Một số bất đẳng thức đại số...........................................................................23
1.3.1. Bất đẳng thức Côsi.....................................................................................23
1.3.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.......................................................................24
1.3.3. Bất đẳng thức Chebyshev...........................................................................24
CHƯƠNG 2......................................................................................................25
BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC.............................................................25
2.1. Nhận dạng tam giác vuông............................................................................25

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình toán học
phổ thông. Tuy nhiên khả năng đi sâu vào vấn đề này của người học còn
nhiều mặt hạn chế. Nhận dạng tam giác là một lớp bài toán trong phần hệ thức
lượng trong tam giác nói riêng và trong chương trình môn học lượng giác ở
nhà trường phổ thông nói chung. Nhận dạng tam giác là một dạng toán hay và
khó, thường gặp trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hoặc
các Kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh. Nội dung cơ bản của nó có thể
tóm tắt như sau: Cho một tam giác thỏa mãn một điều kiện nào đó (thường là
dưới dạng một đẳng thức lượng giác), chúng ta cần chỉ ra tam giác đó có đặc
điểm gì. Ngoài ra, nhận dạng tam giác còn được đưa vào như một bước trung
gian của rất nhiều bài toán. Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác là
đều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất nhiều cho việc tính
diện tích, chu vi hay các yếu tố khác trong tam giác…
Các bài tập về nhận dạng tam giác rất phong phú và đa dạng, bên cạnh
những bài toán có thuật giải còn có không ít những bài toán không có thuật
giải. Vì vậy, việc giải bài toán nhận dạng tam giác học sinh gặp không ít khó
khăn cần thiết phải có những định hướng hoặc một bước nào đó trong quá
trình giải bài toán. Từ những hướng đó học sinh cần phải có những kỹ năng
biến đổi công thức và nhận ra những dấu hiệu để đi đến lời giải cho lớp bài
toán tương tự.
Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài " Nghiên cứu một số bài toán nhận
dạng tam giác” làm khóa luận tốt nghiệp nhằm cung cấp thêm kiến thức cho
người học thể hiện ở hệ thống lại các kiến thức cơ bản, các ý tưởng và
phương pháp giải điển hình về bài toán nhận dạng tam giác.
2. Mục tiêu khóa luận
Hệ thống các phương pháp giải bài toán nhận dạng tam giác. Xây dựng
ví dụ minh họa cho từng phương pháp kèm phân tích, nhận xét làm cơ sở cho
Nguyễn Hiền

tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Đối tượng: Bài toán nhận dạng tam giác.

•

Phạm vi: Sử dụng kiến thức về lượng giác, hệ thức lượng trong tam

giác và một số bất đẳng thức đại số để giải các bài toán nhận dạng tam giác.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán khi muốn tìm
hiểu về bài toán nhận nhận dạng tam giác. Góp phần rèn luyện thói quen phân
tích tìm hiểu về các vấn đề trong quá trình giải toán, phát triển kĩ năng phân

Nguyễn Hiền


3
tích, tư duy và thực hành giải toán thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy sau
này ở trường Phổ thông.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành 3 chương:
Chương 1. Một số đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài
toán nhận dạng tam giác
Trong chương 1, chúng tôi hệ thống các kiến thức cơ bản về một số
đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài toán nhận dạng tam giác.

b2 = c 2 + a 2 - ca cos B
c 2 = a 2 + b2 - ab cosC
1.1.3. Các công thức về diện tích
Diện tích tam giác A BC được tính theo một trong các công thức sau:
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
S =

abc
4R

S = 2R 2 sin A sin B sin C
S = pr
S = ( p - a ) ra = ( p - b) rb = ( p - c ) rc

S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )
1.1.4. Định lý đường phân giác
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện

1.1.6. Định lý đường trung tuyến
Trong một tam giác, ba đường trung tuyến gặp nhau tại một điểm được
gọi là trọng tâm của tam giác. Trên mỗi đường trung tuyến, khoảng cách từ
trọng tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ trọng tâm đến chân đường
trung tuyến.
1.1.7. Công thức đường trung tuyến
Trong tam giác A BC ta có
m a2 =

b2 + c 2 a 2
a 2 + c 2 b2
a 2 + b2 c 2
, m b2 =
, m c2 =
2
4
2
4
2
4

1.1.8. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp
Trong tam giác A BC ta có
r = ( p - a ) t an

A
B
C
= ( p - b) t an = ( p - c ) t an
2

Nguyễn Hiền

3A
3B
3C
cos
cos
2
2
2


6
4. sin 4A + sin 4B + sin 4C = - 4 sin 2A .sin2B . sin 2C
5. sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C
= (- 1)k .4 cos(2k + 1)

A
B
C
cos(2k + 1) cos(2k + 1)
2
2
2

6. sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (- 1)k + 1 4 sin kA. sin kB . sin kC
7. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A . cos B . cos C
8. sin 2 2A + sin 2 2B + sin 2 2C = 2 - 2 cos 2A . cos 2B . cos 2C
9. sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + ( - 1)


ữ
ỗ
2ố
2
2 ứ

= 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

2. Ta cú:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B ) cos(A - B ) + 2 sin C cos C
= 2 sin C

ộcos(A - B ) - cos(A + B )ự
ờ
ỳ
ở
ỷ

= 4 sin A sin B sin C
3. Ta cú:
sin 3A + sin 3B + sin 3C = 2 sin
v A + B = p - C ị

ữ
ỗ
2
2 ứ
2
ố2

Nguyn Hin


7
Tng t C = p - ( A + B ) ị
ị sin

3C
3p 3A + 3B
=
2
2
2

ổ
3C
3p 3A + 3B ử
3A + 3B
ữ
ữ
= sin ỗ
=
cos

2
ố
ứ

3A
3B
3C
cos
cos
2
2
2

4. Ta cú:
sin 4A + sin 4B + sin 4C = 2 sin ( 2A + 2B ) cos ( 2A - 2B ) + 2 sin 2C cos 2C
ự
= - 2 sin 2C ộ
ờcos ( 2A - 2B ) - cos ( 2A + 2B ) ỷ
ỳ
ở
=- 4 sin 2A . sin 2B . sin 2C
5. Ta cú:
sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C
= 2 sin

(2k + 1)A + (2k + 1)B
(2k + 1)A - (2k + 1)B
2k + 1
2k + 1
. cos

(
)
ữ
ờ
ỗ
ữ
2 ỳ
ố 2 ứ
ở
ỷ

= ( - 1) .4 cos(2k + 1)
vỡ:

A
B
C
. cos(2k + 1) . cos(2k + 1)
2
2
2

ổ
A+B
p C
A+B
p Cử
ữ
ữ
= ị ( 2k + 1)

ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ
2
2ứ
ố

Nguyn Hin


8
ổ
Cử
ữ
= cos ỗ
ỗk p - (2k + 1) ữ
ữ
ữ

A + Bử
ữ
ữ
= sin ỗ
ỗ( 2k + 1) - ( 2k + 1)
ữ
ữ
ỗ
2
2
2 ứ
ố
ổ
p
A + Bử
ữ
ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ


Li cú:
A + B = p - C ị k ( A + B ) = k p - kC
ị sin k ( A + B ) = sin ( k p - kC ) = ( - 1)

k+1

sin kC

V kC = k p - k (A + B )

(

k

)

ị cos kC = cos k p - k ( A + B ) = ( - 1) p cos k ( A + B )
ị sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC
k

k

= 2 ( - 1) sin kC cos k ( A - B ) + 2 ( - 1) cos ( A + B ) k . sin kC
k
= 2 ( - 1) sin kC ộ
- cos k ( A - B ) + cosk ( A + B ) ự
ờ
ỳ
ở

ú
ë
û

= 2 + cos A cos B cos C
8. Ta có:
sin 2 2A+ sin 2 2B + sin 2 2C =

1 - cos 4A 1 - cos 4B
+
+ 1 - cos2 2C
2
2

=2-

1
cos 4A + cos 4B ) - cos2 2C
(
2

= 2 - cos ( 2A + 2B ) + cos ( 2A - 2B ) - cos2 2C
ù
= 2 - cos 2C é
êcos ( 2A - 2B ) + cos ( 2A + 2B ) û
ú
ë
= 2 - 2 cos 2A. cos 2B . cos 2C
9. Ta có:
sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC =


2 cos kA . cos kB . cos kC


10
1.1.10.2. Các đẳng thức cơ bản của hàm số cos
Trong tam giác A BC ta có các đẳng thức sau:
1. cos A + cos B + cosC = 1 + 4 sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

2. cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 - 4 cos A . cos B . cos C
3A
3B
3C
sin
sin
2
2
2

3.

cos 3A + cos 3B + cos 3C = 1 - 4 sin

2

= 2 sin

Cæ
A- B
Cö
ç
÷
cos
- sin ÷
+1
ç
÷
÷
2ç
2
2
è
ø

= 2 sin

ö
Cæ
A- B
A + B÷
ç
÷
- sin

Nguyễn Hiền


11
3. Ta có:
cos 3A + cos 3B + cos 3C = 2 cos

3A + 3B
3A - 3B
3C
. cos
+ 1 - 2 sin 2
2
2
2

= - 2 sin

3C
2

= 1 - 4 sin

æ 3A - 3B
3A + 3B ö
÷
ç
÷
- cos
+1

ê
ú
ë
û
= - 1 + 4 cos 2A . cos 2B . cos 2C
5. Ta có:
cos ( 2k + 1) A + cos ( 2k + 1) B + cos ( 2k + 1) C
= 2 cos ( 2k + 1)
Mà ( 2k + 1)

A+B
A- B
C
sin ( 2k + 1)
+ 1 - 2 sin 2 ( 2k + 1)
2
2
2

æ
A+B
p Cö
÷
÷
= ( 2k + 1) ç
ç
÷
ç
÷
2

= cos ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ
2
2ứ
ố
ổ
ử
Cữ
ữ
= - sin ỗ
k
p
2
k
+
1
ỗ
(

ữ
ỗ
ữ
2
2 ứ
ố2
ổ
ử
p ổ
A + Bử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ

1
+
1
cos
ỗ
(
)
(
)
( 2k + 1)
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
2
ố 2 ứ
ứ

Do ú:
cos ( 2k + 1) A + cos ( 2k + 1) B + cos ( 2k + 1) C
k

= 1 + 2 ( - 1) sin ( 2k + 1)

C
2

= 1 + (- 1)k .4 sin ( 2k + 1)
6. Ta cú:

ú
ë
û

= - 1 + (- 1)k .4 cos kA . cos kB . cos kC
1.1.10.3. Các đẳng thức cơ bản của hàm số t an
Trong tam giác A BC ta có các đẳng thức sau:
1. t an A + t an B + t an C = t an A . t an B . t an C ( D A BC không vuông)
2. t an 2A + t an 2B + t an 2C = t an 2A. t an 2B . t an 2C
3. t an

A
B
B
C
C
A
t an + t an t an + t an t an = 1
2
2
2
2
2
2

4. t an kA + t an kB + t an kC = t an kA . t an kB . t an kC

5. t an ( 2k + 1)

A

Nguyễn Hiền


14
Þ t an ( 2A + 2B ) = t an ( 2p - 2C )
Û

t an 2A + t an 2B
= - t an 2C
1 - t an 2A . t an 2B

Û t an 2A + t an 2B + t an 2C = t an 2A . t an 2B . t an 2C
3. Ta có
A+ B +C =pÞ

A B
p C
+
= 2
2
2 2

æ
æ
A Bö
p Cö
÷
ç
÷
÷

è2
A
B
+ t an
2
2 = 1
Û
A
B
C
1 - t an . t an
t an
2
2
2
t an

Û t an

A
B
B
C
C
A
t an + t an t an + t an t an = 1
2
2
2
2

æ
æ
A
Bö
p
Cö
÷
ç
÷
÷
Þ t an ç
=
t
an
2
k
+
1
2
k
+
1
ç( 2k + 1) + ( 2k + 1) ÷
ç
(
)
(
)
÷
÷

÷
÷
2
è
ø
A
B
+ ( 2k + 1) t an
1
2
2 =
Û
A
B
C
1 - t an ( 2k + 1) . t an ( 2k + 1)
t an ( 2k + 1)
2
2
2
t an ( 2k + 1)

Û t an ( 2k + 1)
+ t an ( 2k + 1)

A
B
B
C
t an ( 2k + 1) + t an ( 2k + 1) t an ( 2k + 1)

4. cot ( 2k + 1)

A
B
C
+ cot ( 2k + 1) + ( 2k + 1) cot
2
2
2

= cot ( 2k + 1)

A
B
C
. cot ( 2k + 1) . cot ( 2k + 1)
2
2
2

Chứng minh:
1. Ta có: A + B = p - C Þ t an ( A + B ) = - t an C = Û

t an A + t an B
1
=1 - t an A . t an B
cot C

1
1

+
= Þ t an ç
= cot
ç + ÷
÷
÷
ç
2
2
2
2
2ø
2
è2
A
B
+ t an
2
2 = cot C
Û
A
B
2
1 - t an .t an
2
2
t an

1


A
B
2
1 - cot .cot
2
2
cot

Û cot

A
B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2

3. Ta có: kA + kB = k p - kC Þ t an ( kA + kB ) = - t an kC = Û

1
cot kC

t an kA + t an kB

p C
A Bö
C
÷
+
= Þ t an ç
= cot
ç + ÷
÷
÷
ç
2
2
2
2
2ø
2
è2
A
B
+ t an ( 2k + 1)
2
2 = cot ( 2k + 1) C
Û
A
B
2
1 - t an ( 2k + 1) . t an ( 2k + 1)
2
2


C
2

A
B
cot ( 2k + 1)
2
2

A
B
+ cot ( 2k + 1)
2
2 = cot ( 2k + 1) C
Û
A
B
2
cot ( 2k + 1) .cot ( 2k + 1) - 1
2
2
cot ( 2k + 1)

Û cot ( 2k + 1)

A
B
C
+ cot ( 2k + 1) + cot ( 2k + 1)

3
2

Nguyễn Hiền

a - b < c < a + b.


18
3. sin

A
B
C
3
+ sin + sin £
2
2
2
2

4. cos A + cos B + cos C £ 3 3
2
2
2
2
5. sin

A
B

3

Chứng minh:
Để chứng minh 1,3 ,4 ta cần các kết quả phụ trợ sau:
ù, ta có
a, Nếu x , y Î é
ê
ë0, pú
û

sin x + sin y
x+y
£ sin
.
2
2
é p pù
- , ú
b, Nếu x , y Î ê
ê 2 2 ú, ta có
ë
û
cos x + cos y
x+y
£ cos
2
2
Dấu bằng xảy ra trong cả hai đẳng thức trên khi và chỉ khi x = y .
1. sin A + sin B + sin C £ 3 3
2

£ sin
2

C +

C +

p
3

2

p
3

2

Hay
sin A + sin B
+
2
2

sin C + sin

p
3

2


ïï
ïï
p
C +
ïï A + B
3
ïï
=
ïî 2
2
2. cos A + cos B + cosC £
Û 2 cos

3
2

A+B
A- B
C
3
cos
+ 1 - 2 sin 2 £
2
2
2
2

Û 4 sin 2

C

Dấu " = " xảy ra trong (1) khi và chỉ khi
Nguyễn Hiền

( 1)


20
ìï
ïï 2 sin C - cos A - B = 0
ïï
2
2
í
ïï
ïï sin A - B = 0
ïî
2

( 2)
( 3)

Từ ( 3) suy ra A = B . Thay vào ( 2) có 2 sin

C
p
=1Þ C = .
2
3

Vậy dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi D A BC đều.

÷
sin
+ sin ç
+
ç
÷
ç
÷
4
4
12
è
ø
2
2
£
2
2
æ
A+ B +C
pö
÷
÷
£ sin ç
+
ç
÷
÷
ç
2

2
2
2
6
2

4. cos A + cos B + cos C £ 3 3
2
2
2
2
Ta có
cos

A
B
C
p
æ
+ cos
cos + cos
A+B
C
pö
÷
2
2 +
2
6
÷


Nguyễn Hiền


21
Hay
cos

A
B
C
p
+ cos
cos + cos
2
2 +
2
6
p
2
2
Ê cos
2
6

cos

A
B
C

2

4 sin

ử
Cổ
A- B
A + Bữ
ỗ
ữ
cos
cos
- 1Ê 0
ỗ
ữ
2ỗ
2
2 ữ
ố
ứ

4 sin 2

C
C
A- B
- 4 sin cos
+ 1 0
2
2

8

1ộ
1
cos ( A - B ) + cos ( A - B ) ự
cosC Ê
ờ
ỳ
ỷ
2ở
8

- 4 cos2 C + 4 cos ( A - B ) . cosC - 1 Ê 0
4 cos2 C - 4 cos ( A - B ) . cos C + 1 0
2

ự + sin 2 ( A - B ) 0 (luụn ỳng)
ộ
ờcos C - cos ( A - B ) ỳ
ở
ỷ

Nguyn Hin

p
hay D A BC
3


22

2 cosC - cos ( A - B ) ù
+ sin 2 ( A - B ) ³ 0 (luôn đúng)
ê
ú
ë
û
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi D A BC đều.
A
B
C
+ t an + t an ³
2
2
2

8. t an

Rõ ràng trong mọi tam giác t an
t an

3
A
B
C
, t an , t an
đều là số dương nên
2
2
2


ç
÷
2
2
2
è
ø
Û t an 2

A
B
C
A
B
C
B
C
+ t an 2 + t an 2 + 2 t an t an t an + 2 t an t an
2
2
2
2
2
2
2
2

+ 2 t an

C