Bộ bài tập bồi dưỡng HSG Toán lớp 9 (N.1)

I.- Số học (số vô tỷ và phép khai căn)

***Bài 1.

Chứng minh

7 là số vô tỉ.

HD giải
Giả sử

7 là số hữu tỉ thì có thể đặt

m2
m
(tối giản).  7  2 hay 7n 2  m 2 (1).
7
n
n

Đẳng thức này chứng tỏ m 2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m

7.

Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2  n2 = 7k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2

7 và vì 7 là số nguyên tố nên n

27

b)

17  5  1 và

d)

3 2 và

45

2 3

HD giải: Đưa về căn của các số chính phương > hơn hoặc < hơn rồi so sánh
. a)
b)
c)

7  15  9  16  3  4  7 . Vậy

7  15 < 7

17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 .

23  2 19 23  2 16 23  2.4


 5  25  27 .
3


HD giải: Chứng minh như bài 1.

***Bài 6 . Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
1 2

a)

b) m 

3
với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
n

HD giải
2 = m2 – 1 

a) Giả sử 1  2 = m (m : số hữu tỉ) 
b) Giả sử m +


3
= a (a : số hữu tỉ) 
n

3
=a–m 
n

2 là số hữu tỉ (vô lí)


0,9999....9 (20 chữ số 9)

9 . Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :

Giải:
Đặt 0,999…9 = a. Cần chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của
Muốn vậy chỉ cần chứng minh a

1
x 2  5x  6

H  x 2  2x  3  3 1  x 2

HD giải: Đặt các biểu thức trong căn > 0; Giải ra tim x

***Bài

12. So sánh :

5  13  4 3 và
c)

a)

a  2  3 và b=

3 1
2

b)

3 1

n  2  n  1 và

n+1  n (n là số nguyên dương)
3





n  1  n  1.

n+2  n  1  n  1  n .

II. Đại Số học (bất đẳng thức Cauchy)

***Bài 13 .

Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức:

1 1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b c
a b c
HD giải: Biến đổi BT trong căn
2

1 1 1
1
1  1 1 1 2(c  b  a
1 1 1
 1
   2  2  2 
.      2  2  2  2

c)

5  13  4 3 và

3 1

n+1  n (n là số nguyên dương)

HD giải. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b)

5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1 . Vậy hai số này bằng nhau.

c) Ta có :
Mà



n  2  n 1





n  2  n  1  1 và

n  2  n  1  n  1  n nên

***Bài 15. Giải phương trình :


1
1
1

 .... 
 ... 
.
1.1998
2.1997
k(1998  k  1)
1998  1

Hãy so sánh S và 2.

1998
.
1999

HD giải. Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng :
Thay vào ta có S > 2.

***Bài 17

1
2
.

ab a  b

1998

bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
 2
.  2c;

2
.  2b ; 
2
.  2a
a
b
a b
a
c
a c
b
c
b c

cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
b) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤

3a  5b
 3a.5b .
2


3

3

1
2
max A =   khi và chỉ khi x = y = z = .
3
9

***Bài

19:

Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:

x 2  y2
2 2.
xy

55. Cách 1 : Xét;

x 2  y 2  2 2(x  y)  x 2  y 2  2 2(x  y)  2  2xy  (x  y  2) 2  0 .
Cách 2 :
2

x 2  y2 

x 2  y2
Biến đổi tương đương

;y
hoặc x 
2
2
2
2

***Bà 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của : A 

x y z
 
với x, y, z > 0.
y z x

HD giải: giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :

A

x y z
x y z
   33 . .  3
y z x
y z x

6



(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm
được giá trị nhỏ nhất của

x y z
  .
y z x

PHH sưu tầm & soạn lại HD giải 9 - 2015

7