LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn
Quang Học, TS Nguyễn Thị Hòa – người thầy, người cô đã tận tình hướng dẫn chỉ
bảo em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Bộ môn Vật lý lý thuyết,
Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học, ĐHSP Hà Nội, các bạn Lớp Cao học Vật lý lý
thuyết K22 và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em thực hiện đề tài luận
văn.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằngluận vănmang tên “Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của
hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C ” là công trình nghiên cứu riêng của tôi.
Các số liệu trình bày trong luận văn là trung thực, đã được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác.
Hà Nội, ngày 4 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


MỤC LỤC
2.2.3. Hệ số nén đẳng nhiệt..........................................................................................34
2.2.4. Môđun đàn hồi đẳng nhiệt..................................................................................35
Môđun đàn hồi đẳng nhiệt được cho bởi......................................................................35
2.2.5. Nhiệt dung đẳng tích..........................................................................................35

Lập phương tâm khối

LPTD

Lập phương tâm diện

LGXC

Lục giác xếp chặt

NXB

Nhà xuất bản

ĐHSP

Đại học Sư phạm

ĐHQG

Đại học Quốc gia

KH& KT

Khoa học và Kỹ thuật

GD

Giáo dục


Động lực học phân tử

CPA

Gần đúng thế kết hợp

GGA

Gần đúng građiên suy rộng

QHA

Gần đúng chuẩn điều hòa

TB

Liên kết chặt

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn

MDSM

Phương pháp mô phỏng động lực học phân tử


DANH MỤC CÁC BẢNG SỐ
Bảng 3.1. Các thông số thế n-m và hệ số Poisson của các kim loại....................64
Bảng 3.2. Các thông số thế n-m của một số vật liệu phi kim..............................65

Bảng 3.17. Sự phụ thuôc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Zn của các
hằng số đàn hồi C11, C12, C44 (1011Pa) đối với HKTT Cu-Zn ở P = 0...........82
Bảng 3.18. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng số đàn hồi C11, C12, C44
(1011Pa) đối với Cu, Al ở P = 0 theo PPTKMM và TN [15,47]..........................82
Bảng 3.19. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của khoảng
lân cận gần nhất trung bình giữa các nguyên tử Au trong HKXK Au-Li ở P = 0
................................................................................................................................. 86
Bảng 3.20. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các môđun đàn hồi E, K, G (1010Pa) đối
với HKXK Au-0,05Li ở P = 0................................................................................87
Bảng 3.21. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽLi của các môđun đàn hồi
E, K, G (1010Pa) đối với HKXK AuLi ở P = 0, T=300K....................................88
Bảng 3.22. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng số đàn hồi C11, C12 (1010Pa)
đối với HKXK Au-0,05Li ở P = 0..........................................................................88
Bảng 3.23. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các hằng số đàn hồi
(1010Pa) đối với HKXK AuLi ở P = 0, T = 300K................................................89
Bảng 3.24. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của khoảng
lân cận gần nhất trung bình a đối với Au-0,06Cu-xLi ở P = 0...........................90
Bảng 3.25. Sự phụ thuộc nhiệt độ và nồng độ nguyên tử thay thế Cu của
khoảng lân cận trung bình a đối với Au-xCu-0,05Li ở P = 0..............................90
Bảng 3.26. Sự phụ thuộc nhiệt độcủa các môđun đàn hồi E, K, G (1010Pa) đói
với Au-0,1Cu-0,05Li ở P = 0..................................................................................92
Bảng 3.27. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử thay thế Cu của các môđun đàn
hồi E, K, G (1010Pa) đối với Au-xCu-0,05Li ở P = 0, T=300K...........................92
Bảng 3.28. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các môđun đàn hồi
E, K, G (1010Pa) đối với Au-10Cu-xLi ở P = 0, T=300K....................................92


Bảng 3.29. Sự phụ thuộc nhiệt độ của các hằng sốđàn hồi C11, C12 (1010Pa)
đối với Au-0,1Cu-0,05Li ở P = 0...........................................................................94
Bảng 3.30. Sự phụ thuộc nồng độ nguyên tử xen kẽ Li của các hằng số đàn hồi

Hình 3.11. ở P = 0, T = 300K (a) và T= 700K (b).................................................79
. Hình 3.12. ở P = 0, (a) và (b)...............................................................................83
Hình 3.13. ở P = 0, T = 300K (a) và T= 700K (b).................................................83
Hình 3.14. ở P = 0, (a) và (b).................................................................................84
Hình 3.15. ở P = 0,T =300K (a) và T= 700K (b)...................................................85
Hình 3.16. ở P = 0, (a) và (b).................................................................................85
Hình 3.17. ở P = 0, T = 300, 600 và 800K.............................................................86


Hình 3.18. ở P = 0,..................................................................................................86
Hình 3.19. ở P = 0 và T = 100, 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-Li................87
Hình 3.20. ở P = 0 và 0, 0,3, 1, 3 và 5% đối với Au-Li.........................................87
Hình 3.21.ở P = 0,...................................................................................................88
Hình 3.22.ở P = 0,T = 300K...................................................................................88
Hình 3.23.ở P = 0,...................................................................................................89
Hình 3.24. ở P = 0,..................................................................................................89
Hình 3.25. ở P = 0, T = 100, 500,700 và 1000K đối với Au-0,06Cu-Li...............91
Hình 3.26. ở P = 0, T = 300, 500, 700 và 1000K đối với Au-xCu-0,05Li.............91
Hình 3.27. a(T) ở P = 0,0, 0,5, 0,7và 1% đối với Au-0,06Cu-xLi........................91
Hình 3.28. a(T) ở P = 0, 0, 2, 4 và 6 % đối với Au-xCu-0,05Li...........................91
Hình 3.29................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.30................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.31................................................................................................................93
ở P = 0,.................................................................................................................... 93
Hình 3.32................................................................................................................95
ở P = 0,.................................................................................................................... 95
Hình 3.33................................................................................................................95
ở P = 0,.................................................................................................................... 95

nguyên tử xen kẽ rất nhỏ cỡ một vài phần trăm.
Hợp kim nói chung và HKXK nói riêng là những vật liệu phổ biến trong
khoa học và công nghệ vật liệu. Việc nghiên cứu hợp kim xen kẽ đã và đang thu hút

1


sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) do GS Nguyễn Hữu Tăng đề
xuất và được nhóm nghiên cứu của GS Vũ Văn Hùng tại Đại học Sư phạm Hà Nội
phát triển mạnh trong khoảng 30 năm trở lại đây. Về nguyên tắc, có thể áp dụng
PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán,
chuyển pha, … của các loại tinh thể khác nhau như kim loại, hợp kim, tinh thể và
hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích thước nano, tinh thể ion, tinh thể phân tử,
tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng tử, màng mỏng, grafen,…với các cấu trúc
LPTK, LPTD, LGXC, kim cương, sunfua kẽm,… trong khoảng rộng của nhiệt độ từ
0K đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất. Gần đây, một số kết quả
nghiên cứu về HKTT và HKXK bằng PPTKMM được đề cập trong một số công
trình chẳng hạn như nghiên cứu tính chất nhiệt động của HKTT AB với các cấu trúc
LPTD và LPTK trong luận án TS của Phạm Đình Tám (1998)[10], nghiên cứu tính
chất đàn hồi của HKXK AB với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của Nguyễn Thị
Thu Hiền (2009)[6], nghiên cứu biến dạng đàn hồi của HKTT AB xen kẽ nguyên tử
C với cấu trúc LPTK trong luận văn ThS của Hồ Thị Thu Hiền (2009)[8], ,… Có
nhiều kết quả thu được phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm đã công bố. Việc nghiên
cứu tính chất đàn hồi của HKXK AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc LPTD bằng
PPTKMM còn là một vấn đề bỏ ngỏ.
Với tất cả những lý do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài là“Nghiên cứu
biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB xen kẽ nguyên tử C với cấu trúc
LPTD bằng phương pháp thống kê mômen”.
2. Mục đích nghiên cứu

nghien cứu từ 0 đến 25% và vùng nồng độ nguyên tử xen kẽ nghiên cứu từ 0 đến 25%.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là PPTKMM.
PPTKMM dựa vào một công thức truy chứng đối với các mômen được xây
dựng trên cơ sở ma trận mật độ trong cơ học thống kê lượng tử. Công thức này cho
phép biểu diễn các mômen cấp cao qua các mômen cấp thấp hơn và do đó có thể
xác định tất cả các mômen của hệ mạng. Công thức mômen cho phép nghiên cứu
các tính chất nhiệt động phi tuyến của vật liệu khi tính đến tính phi điều hòa của dao
động mạng.

3


Về nguyên tắc, có thể áp dụng PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu
trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán, chuyển pha, … của các loại tinh thể khác
nhau như kim loại, hợp kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích
thước nano, tinh thể ion, tinh thể phân tử, tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng
tử, màng mỏng, graphen,… với các cấu trúc LPTK, LPTD, LGXC, kim cương,
sunfua kẽm, florite,… trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0 K đến nhiệt độ nóng
chảy và dưới tác dụng của áp suất. PPTKMM đơn giản và rõ ràng về mặt vật lý.
Một loạt tính chất cơ nhiệt của tinh thể được biểu diễn dưới dạng các biểu thức giải
tích trong đó có tính đến các hiệu ứng phi điều hòa và tương quan của các dao động
mạng. Có thể dễ dàng tính số biểu thức giải tích của các đại lượng cơ nhiệt.
PPTKMM không phải sử dụng sự làm khớp và lấy trung bình như phương pháp
bình phương tối thiểu. Các tính toán theo PPTKMM trong nhiều trường hợp phù
hợp tốt với thực nghiệm hơn các phương pháp tính toán khác. Có thể kết hợp
PPTKMM với các phương pháp khác như phương pháp biến phân 4ung, phương
pháp từ các nguyên lý đầu tiên, mô hình tương quan phi điều hòa của Einstein,
phương pháp phonon tự hợp, phương pháp hàm phân bố một hạt, phương pháp
trường tự hợp, … Một nhóm các nhà nghiên cứu ở Việt Nam, Nhật Bản và Hàn

Một hợp chất xen kẽ hoặc một hợp kim xen kẽ là một hợp chất được tạo
thành khi một nguyên tử có bán kính đủ nhỏ nằm trong một “lỗ trống” xen kẽ trong
một mạng kim loại. Các ví dụ về các nguyên tử nhỏ là hiđrô, bo, cacbon và nitơ.
Các hợp chất này đóng vai trò quan trọng trong công nghiệp chẳng hạn như một số
cacbua và nitrua kim loại chuyển tiếp.
Ý tưởng về các hợp chất xen kẽ đã được đưa ra thảo luận vào cuối những
năm 1930 và chúng thường được gọi là các pha Hagg. Các kim loại chuyển tiếp
thường kết tinh theo các cấu trúc LPTD và LGXC. Cả hai cấu trúc này có thể được
xem như được tạo thành bởi các lớp nguyên tử xếp chặt theo kiểu lục giác. Trong cả
hai loại mạng giống nhau này, có hai loại khoảng trống hay lỗ trống. Loại thứ nhất

5


có 2 lỗ trống tứ diện ứng với một nguyên tử kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa
bốn nguyên tử kim loại. Loại thứ hai có một lỗ trống bát diện ứng với một nguyên
tử kim loại, nghĩa là một lỗ trống ở giữa sáu nguyên tử kim loại.
Một sự hiểu biết đầy đủ hơn về cấu trúc của các kim loại, các pha nhị nguyên
và tam nguyên của các kim loại và phi kim loại chứng tỏ rằng nói chung ở nồng độ
thấp của nguyên tử nhỏ, có thể mô tả pha như một dung dịch và điều này gần đúng
với mô tả lịch sử của hợp chất xen kẽ nói trên. Ở các nồng độ cao hơn của nguyên
tử nhỏ, có thể có mặt các pha với các cấu trúc mạng khác nhau và chúng có thể có
một phạm vi của các phép hợp thức (stoichiometry).
Một ví dụ là sự hòa tan của cacbon trong sắt. Dạng của sắt nguyên chất bền
vững trong khoảng nhiệt độ từ 910 đến 1390 oC được ký hiệu là γ − Fe. Nó tạo thành
một dung dịch rắn với cacbon được gọi là austenit.
Người ta thường hiểu « hợp kim » như là « một hỗn hợp của các kim loại ».
Đó là một sự nhầm lẫn vì một số hợp kim chỉ chứa một kim loại và nó tạo hỗn hợp
với các chất khác không phải là kim loại. Ví dụ như gang là một hợp kim của chỉ
một kim loại là sắt với một chất không phải là kim loại là cacbon. Hợp kim là một

nguyên tử xen kẽ tham gia vào hợp kim và các quá trình có liên quan. Các hợp kim
xen kẽ rõ ràng là sản phẩm chủ yếu của công nghiệp thép một cách chủ ý để làm
cứng và tạo thành cacbua hoặc một cách tự nhiên làm tạp chất cần được làm cực
tiểu. Các kim loại cứng chịu nóng được sử dụng trong các công cụ cacbua hoặc cái
tương tự là các hợp kim xen kẽ cơ bản. Các quá trình khuếch tán và ôxi hóa chất rắn
phụ thuộc vào sự có mặt của các nguyên tử xen kẽ trong dòng chảy. Các quá trình
làm cứng bề mặt như sự nitrua hóa bao hàm việc đi vào mạng tinh thể của chúng
(nói chung không bền nhưng kéo dài). Việc có mặt các nguyên tử xen kẽ trong các
chia tách vi mô chẳng hạn như tại các lệch mạng, các biên hat thường xác định độ
bền cơ học hoặc đứt gãy của các hợp kim. Các hợp kim « xen kẽ nhân tạo » được
tạo ra khi chiếu xạ hạt nhân vào các kim loại và nhiều mối liên quan mới có thể
sinh ra từ đó.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các HKXK ba thành phần
như AuAlNi, AuAgNi, AuCuLi với kim loại chính là Au. Ở áp suất 0,1 MPa, vàng
có cấu trúc LPTD với hằng số mạng a = 0,40785 nm tại 25oC và điểm nóng chảy ở
1064oC. Giản đồ pha của Au được chỉ ra trên Hình 1.2[42].

7


Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu HKXK ba thành phần ABC với cấu
trúc LPTD. Hợp kim này là một HKTT AB xen kẽ nguyên tử C. Trong mô hình
nghiên cứu của chúng tôi đối với hợp kim này, các nguyên tử chính A nằm ở các
đỉnh và tâm mặt của ô cơ sở hình lập phương. Các nguyên tử thay thế B thay thế các
nguyên tử A ở các tâm mặt của ô cơ sở. Còn nguyên tử xen kẽ C nằm ở vị trí tâm
khối của ô cơ sở.

Hình 1.1. Hợp kim thay thế và hợp kim xen kẽ.

8

r

tương ứng là P1 ,P2 ,...,Pn và Ne electron có tọa độ r1 , r2 ,..., rNe , có spin tương ứng là

9


s1, s2,…,sNe. Hamiltoniên của hệ có dạng:

r
r
Ne
PI2
Pi 2 1
e2
1
Z I Z J e2
Z I e2
H =∑
+∑
+ ∑ r r + ∑ r r −∑ r r
2 i > j ri − rj 2 I > J RI − RJ
I =1 2 M I
i =1 2mi
i , I RI − ri
N

r
r
r r

r r

)

Ký hiệu hàm sóng mô tả trạng thái của hệ là ψ X , R với X ( r , s ) là tập
hợp các biến số tọa độ và spin của các electron. Khi đó phương trình trị riêng của
toán tử H có dạng:

r
r
r r
r r
TN + Te + Vee ( rr ) + VNN R + VeN rr, R ψ X , R = E.ψ X , R



( )

(

) (

)

(

)

(1.2)



( )

(1.3)

(

r r

)

trong đó χ R là hàm sóng của hạt nhân, còn φ X , R là hàm sóng của electron.
Chú ý rằng
r r
r h2 N 1
r r
r
r
r r
r r
r
φ X , R ∇ 2I χ R + χ R ∇ 2I φ X , R + 2∇ Iφ X , R ∇ I χ R 
TN φ X , R χ R = ∑

2 I =1 M I 

(

) ( )


r
r r
∇ I χ R >> ∇ Iφ X , R

( )

( )

(

10

)


Thay (1.3) vào (1.2), ta có
r
r r
r
r r
r
r
r r
r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr, R  φ X , R χ R + φ X , R TN χ R + VNN R φ X , R χ R



(


) ( )

Chia hai vế của (1.5) cho hàm φ X , R χ R , ta có

r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R 

 φ Xr , Rr = E − TN
r r
φ X,R
r
Vế phải của (1.6) chỉ là hàm của R nên ta có thể viết
r
r r
r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R  φ X , R = ε R φ



(

)

(

)

(

)

r r
H e R = Te + Vee ( r ) + VeN r , R

( )

(

)

r r
r
r
Từ đó suy ra hàm riêng ϕn X , R ứng với trị riêng ε R phụ thuộc tham số R là

(

)

( )

r

( )

vị trí của các hạt nhân.Đối với mỗi nghiệm ε R

ta

sẽ có một phương


( )

( ) ( )

(1.9)

Trong nhiều trường hợp, có thể bỏ qua các hiệu ứng không đoạnnhiệt và tacó thể
chỉ nghiên cứu chuyển động ở trạng thái cơ bản của các electron

r
r r
r
r r
Te + Vee ( rr ) + VeN rr , R  φo X , R = ε o R φo X , R ,



(

ih

) (

)

( ) (

)

r


r

mật độ electron n ( r )

r
n( r ) =

∑

s1 , s2 ,... s Ne

r r
r
r
r
∫ dr1...drNe ϕo r1, s1, r1, s1..., rNe , sNe

(

)

2

r
trong đó r và s là vị trí riêng và spin tương ứng.

(1.11)

r


)

Số hạng thứ nhất là động năng, số hạng thứ hai là tương tác Coulomb trực tiếp từ lý
thuyết Hartree-Fork, số hạng thứ ba là các năng lượng tương quan và trao đổi và số
hạng thứ tư là tương tác giữa mật độ electron với thế năng ngoài gây bởi hạt nhân.
Hàm ε { ψ i }  này được cực tiểu hóa đối với { ψ i } thỏa mãn điều kiện trực chuẩn

ψ i ψ j = δ ij

(1.14)

Kết hợp sự cực tiểu hóa này với phương trình động lực học mô tả chuyển động cổ
điển của hạt nhân có dạng

r
r
r
r
r
M 1 R1 '' = −∇1Eo R , Eo R = ε o R + VNN R .

( )

( ) ( )
12

( )

( )

r
E Ri

({ } ) = E

BS

+ U rep = ∑ ε n + U rep ,

(1.16)

n

r

{ }

trong đó EBS là năng lượng cấu trúc vùng và Urep là thế đẩy, Ri

13

(i=1,2,…N) là


vectơ vị trí nguyên tử. Năng lượng cấu trúc vùng EBS là tổng các giá trị riêng ε n đối
với điện tử lấp đầy trong đó { ε n } là một hệ trị riêng đối với Hamiltonien H của hệ

H ψ n = εn ψ n .

(1.17)


1
∑ ( Z i Z j / Rij ) − EDC .
2 i, j

(1.21)

Ở đây ta đã giả thiết rằng U rep có một sự phụ thuộc đơn giản từ hình học
nguyên tử và có thể được biểu diễn như là một tổng của các thế tương tác cặp tác
dụng gần. Mỗi một thế chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cặp nguyên tử
tương ứng và thế đẩy có thể được làm khớp với số liệu abinitio.
Phương pháp TB được sử dụng để xây dựng mô hình tính các hằng số đàn
hồi, các môđun khối, thể tích nguyên tử,…của các tinh thể có cấu trúc LPTD và

14


LGXC [30]. Trong quá trình áp dụng, phương pháp TB tỏ ra là một phương pháp có
nhiều ưu điểm như cung cấp thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu mô hình và
có hiệu quả tính toán cao hơn nhiều so với các phương pháp abinitio.Tuy nhiên
phương pháp TB có nhược điểm ở chỗ nó phụ thuộc vào việc làm khớp với số liệu
thực nghiệm hoặc các số liệu tính toán từ phương pháp ab-initio.Số hạng năng
lượng đẩy chỉ có thể xác định bằng một công thức kinh nghiệm.Phương pháp đòi
hỏi giải ít nhất một bài toán trị riêng hoặc vectơ riêng của ma trận bằng mô phỏng
MD. Điều này dẫn tới khả năng ứng dụng của phương pháp TB bị thu hẹp lại và chỉ
phù hợp với các hệ có số nguyên tử nhỏ.
Trong những năm gần đây, một phương pháp là phương pháp phần tử hữu
hạn FEM (Finite Element Method) được phát triển mạnh và sử dụng rộng rãi trong
nghiên cứu tính chất cơ của kim loại, hợp kim nói chung và nghiên cứu về các quá
trình đàn- dẻo cũng như đàn hồi của các vật liệu nói riêng [30,31].Phương pháp này

Ở đây, K là ma trận cứng, ∆v là độ biến thiên của vectơ vận tốc và F là vectơ lực

15


không cân bằng.
Trong [32], một nguyên lý tương tự đã được áp dụng. Trong phần thể tích Ω
, theo nguyên lý công ảo đối với bất kỳ trường vận tốc ảo nào, tenxơ tốc độ biến
dạng ảo ε&∗ đều được trộn với áp suất theo công thức [16]

σ
∗
∗
∫Ω ε&∗ dv − ∂Ω∫ τ v dv − Ω∫ pdiv ( v ) dV = 0.
C

(1.24)

Ở đây, σ ' là tenxơ ứng suất lệch, τ là ứng suất trượt và p là áp suất.
Đối với quá trình đàn-dẻo trong [30], mô hình tính toán dựa trên cơ sở sử
dụng lý thuyết đàn-dẻo. Trung tâm của lý thuyết này là việc giải phương trình cân
bằng động lực học

&= P − I .
Mu&

(1.25)

&là gia tốc nút, P là lực toàn phần tác dụng lên
Ở đây, M là ma trận khối lượng nút, u&

+

t +∆t )

+ ∆t( t )

2

) u&&, u
t

( t +∆t )

= u ( t ) + ∆t ( t +∆t ) u& t + ∆t  . (1.27)



÷
2

Khi áp dụng phương pháp FEM vào nghiên cứu quá trình biến dạng phi
tuyếncủa vật liệu, quá trình tính toán khá phức tạp. Các biểu thức thu được thường
mô tả dưới dạng tenxơ khá cồng kềnh và khó tính toán [27]
Trên đây là các phương pháp phổ biến trong nghiên cứu tính chất cơ và đàn
hồi của vật liệu được áp dụng gần đây.Một phương pháp thường được sử dụng
trước đây là phương pháp động lực học phân tử(MD). Đây là phương pháp thống
kê cổ điển dùng để nghiên cứu tính chất cơ của vật rắn nói chung và đặc biệt thường
được sử dụng trong nghiên cứu các biến dạng của tinh thể, kim loại và hợp kim
[28].