Tạp chí Đại học Công nghiệp

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI PHẦN TỬ TỰ DO GALERKIN CHO BÀI
TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH VÀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Tôn Thất Hoàng Lân*
TÓM TẮT
Trong bài báo này, tôi đề cập phương pháp không lưới dựa trên phần tử tự do Galerkin
(EFG) cho mô hình đàn hồi tuyến tính trong không gian hai chiều. Ví dụ số được trình bày nhằm
minh họa hiệu quả của cách tiếp cận này.
Từ khóa: Phương pháp không lưới, phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG), đàn hồi
tuyến tính.
A MESHLESS ELEMENT FREE GALERKIN METHOD FOR LINEAR ELASTICITY
AND NUMERICAL COMPARISON WITH THE FINITE ELEMENT METHOD
SUMMARY

LI

B

In this paper we discussed one meshless method on the element free Galerkin (EFG) for
linear elasticity model in two dimensions. Numerical results is presented to illustrate the
effectiveness of this approach.

1. Giới thiệu

N
TT

U


u h (x) = ∑ P (x)α (x) = pT (x)α ( x )
i
i=1 i
trong đó p(x) là một tổ hợp m hàm độc lập
tuyến tính,
p T (x) = ⎡⎢ p (x)
⎣ 1

*

p (x) .... p (x) ⎤⎥ (2)
2
m ⎦

ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc TPHCM

11
/>

Phương pháp không lưới phần tử tự do…

và α(x) là một tổ hợp các thông số chưa xác
3. Công thức thể hiện phương pháp
định,
xấp xỉ không lưới EFG
(3)
α T (x) = α 0 (x) α1 (x) α 2 (x) .... α m (x)
Áp dụng công thức dạng yếu Galerkin
kết hợp phương pháp nhân tử Lagrange, cụ thể
Các thông số α(x) được tìm thấy tại điểm x bất

G jk = − ⎢
i
i
Φ j (x k )⎥⎦
⎣ 0
miền ảnh hưởng của nút xi. Chỉ có các nút xi mà
miền ảnh hưởng chứa điểm x sẽ xuất hiện trong
q k = −u (x k )
công thức trên. Kích thước miền ảnh hưởng của
mỗi nút và cách lựa chọn hàm trọng số là yếu tố K ij = ∫ B iT CB j dΩ f i = ∫ f * Φ i dΩ − ∫ tΦ i dΓ (14)
Ω
Ω
Γt
quyết định sự gần đúng của MLS. Cực tiểu J (x)
để biết các thông số α(x):
⎛ ∂Φ i
⎞
⎜
0 ⎟
⎜ ∂x
⎟
(6)
α(x) = A −1 (x).B(x).u
⎜
∂Φ i ⎟
t là lực mặt, f* là
Bi = ⎜ 0
⎟
∂y ⎟
⎜

i=1 i

[

]

[

]

]

N
TT

U

LI

B

[

[

]

Với:

m

tại
ngàm

Hình 1. Sơ đồ thể hiện miền bài toán và nút ảnh hưởng

N
TT

U

LI

B

Biến dạng của dầm

Hình 2. Kết quả thể hiện biến dạng sau khi chịu lực
* nghiệm Meshless
o nghiệm Fem

Chuyển
vị
uy

nút i
Hình 3. So sánh kết quả

13
/>


Lu YY, Belytschko T, Gu L, A new implementation of the element free Galerkin method,
Comput Meth Appl Mech Engng 1994;113:397–414

[5]

T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, and P. Krysl, Meshless methods: An
overview and recent developments. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. , 139:3–47, 1996.

[6]

Atluri SN, Cho JY, Kim H-G, Analysis of thin beams, using the meshless local Petrov–
Galerkin method, with generalized moving least squares interpolations, Comput Mech 1999;
24:334–47.

[7]

GR Liu, Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method, CRC Press, 2003.

N
TT

U

LI

B

[1]

14