NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

THÂN T NG CÁC EM CHÚC CÁC EM H C GI I
HÃY S NG CÓ KHÁT V NG CÓ NI M TIN VÀO B N THÂN
CÁC EM S THÀNH CÔNG

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

1

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

I.Quy t c nhân
M t công vi c H đ c th c hi n qua K giai đo n H1, H2 ,H3 ….Hk
,trong đó:
Giai đo n H1 có n1 cách th c hi n
Giai đo n H2 có n2 cách th c hi n
Giai đo n H3 có n3 cách th c hi n
………………………………….
Giai đo n Hk có nk cách th c hi n
Khi đó đ hoàn thành công vi c H ph i th c hi n đ ng th i K giai đo n
thì suy ra có (n1.n2.n3….nk ) cách đ hoàn thành công vi c H
Ví d 1: thi cu i khó môn toán kh i 12 m t tr ng trung h c g m hai lo i đ t lu n
và tr c nghi m.M t h c sinh d thi ph i th c hi n hai đ thi g m 1 t lu n và m t tr c
nghi m,trong đó t lu n có 12 đ , tr c nghi m có 15 đ .H i m i h c sinh có bao nhiêu
cách ch n đ thi?
Gi i
- S cách ch đ t lu n là cách


T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ví d 3:Cho t p A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s đôi m t
khác nhau l y ra t t p A
Gi i
G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 trong đó
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có t t c
cách
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên gòm ch s đôi m t khác nhau và
các ch s này l chia h t cho
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau sao
cho ch s đ ng cu i chia h t cho
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 trong đó
s n l chia h t cho nên a
- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n


V y có t t c
Ví D
Cho t p A
a T t p A có th l p đ

s
c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau và

b T t p A có th l đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s đôi m t khác nhau sao
cho ch s đ ng v trí th
chia h t cho và ch s cu i l
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
Vì n
nên a có th chon trong các ch s
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y có
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6 theo đ ta có
- a chia h t cho nên a
ch s c n tìm là s l  a
có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n

- a có cách ch n
4
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có
s có ch s đôi m t khác nhau
Ch n s có ch s b t đ u t
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n

s b t đ u b ng
V y ycbt tùy ý ph n bù
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5
Tr ng h p n u a
thì s c n tìm có d ng n 1a2 a3a4 a5
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có

a a
a có cách ch n
a có cách
a có cách
5
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 có
s
Tr ng h p
a a nên a có cách ch n a
có v trí cho s a gi s a a
a có cách
a có cách
 có
mà
có th đ i ch cho nhau nên ta đc
V y YCBT
cách

s

có v trí cho a
II Qui t c c ng
M t công vi c H bao g m K công vi c H H H
Giai đo n H có n cách th c hi n

b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s có ch s khác nhau sao cho các s này chia
h t cho
Gi i
a Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
- a
có cách ch n
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

6

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- a có cách ch n vì a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
V y ta đ c
s
b Tìm S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
Vì s này chia hêt cho nên a
Tr ng h p a
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 có

- Ch s này là s ch n nên a
có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
- a có cách ch n
 s c n tìm là
s
Ví d
Cho t p A
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

7

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m ch s đôi m t khác
nhau sao ch s có m t đúng m t l n
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
t ng c a ch s đ u nh h n t ng ba ch s sau đ n v
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
ch s đ ng gi a và cu đ u l
Gi i
a Tìm S ch n có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4
- Tr ng h p a
- a có cách ch n
- a có cách ch n

a có cách ch n
V y có
s nh v y
Ví d
T các s
có th l p đ c bao nhiêu s g m ch s trong đó hai
ch s li n k nhau phai khác nhau
Gi i
S có ch s là n a1a2 a3a4
a a a a
a có cách ch n a
a có cách ch n a a
a có cách ch n a a
a có cách ch n a a
V y có t t c
s
8
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN
T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

CH NH H P

Đ nh Nghĩa và công th c
Cho t p A g m n ph n t khác nhau đôi m t T t p n rút ra k ph n t khác nhau đôi
m t r i s p x p chúng theo m t th t nào đó thì đ c ch nh h p ch p k c a n ph n
t
Công th c

 2520 s
(7  5)!

b S có ch s khác nhau đôi m t là n
vì n là s ch n nên a

a1a2 a3a4 a5a6

có cách ch n

ch n ch s còn l i t t p có

a

ph n t ta có A65 

A65
s
V y có t t c
c S có ch s khác nhau đôi m t là n

6!
 720
(6  5)!

a1a2 a3a4 a5a6

theo gi thiêt a a
nên b s này có th là
ng v i m i b a có cách ch n a có cách nên s cách là


c A43 

Ch n ch s l trong t ng ch s l ta có A53 

4!
 24
(4  3)!

5!
 60
(5  3)!

V y có
s c n tìm
Ví d Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l g m có ch s đôi m t khác nhau
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s đôi m t khác nhau sao cho
ch s đ u l ch s cu i ch n
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có ch s khác nhau đôi m t sao ch
s đ u và cu i đ u ch n
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5a6
Vì n là s l nên a

 a có cách ch n

Ch n ch s còn l i trong t ng s còn l i ta đ
V y có t t c
s nh v y

 a có cách ch n a có cách ch n
Vì a a ch n nên 
- Ch n ch s còn l i trong t ng

ph n t ta có

A73 

7!
 210
(7  3)!

- V y có t t c
s
Ví d
Cho t p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s khác nhau đôi m t và
không b t đ u b ng
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m ch s khác nhau đôi m t và
ch s luôn có m t đúng m t l n
c T t p A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n g m ch s khác nhau đôi
m t và ch s luôn có m t đúng m t l n
Gi i
a S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

10

T H P XÁC SU T P I


(5  3)!

ph n t còn l i

V y có
s
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 do n ch n nên a 
Ch s luôn có m t đúng m t l n nên xét tr ng h p
Tr

ng h p

a

Tr ng h p a
- có v trí cho s
-

s cách ch n cho ch s còn l i lai

A53 

5!
 60
(5  3)!

nên a có cách ch n

ch n v trí còn l i trong t ng ph n t là


 840
(7  4)!

TH a
- a có cách ch n
- có v trí cho s
- có A63 cách ch n ch s còn l i
V y có
A63 A74
s
c S có ch s khác nhau đôi m t là n a1a2 a3a4 a5
TH N u a
- a có cách ch n
11
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

- ch n ch s còn l i có A64 cách
 có A64 s
TH a
N ua
thì a có cách ch n ch n ch s còn l i đ
N ua
a có cách ch n a có cách ch n có v trí cho ch s

c A64  có

Cách Xét các tr ng h p sau
TH a
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A73 cách
 có A73 s
TH a
a có cách ch n
a có cách ch n do a
và a a
có v trí có ch s
Ch n hai ch s còn l i có A62 cách
 có
A62 s
A73
A62
s c n tìm
V y có t t c
Cách Dùng phép lo i tr
B tính s các s l có năm ch s trong đó ch s luôn có m t đúng m t l n là
A84

A73

B Tính s các s l có năm ch s trong đó a
V y có t t c A84
A73
A73
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Cách Chia tr ng h p

s c n tìm
Cách
Khi hai ch s
và luôn đ ng c nh nhau thì ta xem nh hai ch s
là m t ch s
a Khi đó ta l p m t s có năm ch s sao cho ch s a luôn có m t m t l n r i hoán
đ i v trí gi a hai ch s
s đ c các s c n tìm theo yêu c u bài toán
Ch s a có v trí
Ch n ch s còn l i A47 cách
 có A73 s
Hoán đ i v trí gi a hai ch s và ta đ c s các s c n tìm là
A74
s
Ví d
Cho t p h p A
a T t p A có th l p đ c bao nhiêu s g m có sáu ch s đôi m t khác nhau sao cho
hai ch s và không đ ng c nh nhau
b T t p A có th l p đ c bao nhiêu ch s g m có sáu ch s đôi m t khác nhau sao
cho hai ch s l không đ ng c nh nhau
Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Bài toán này đ c gi i b ng cách lo i tr theo hai b c sau
B Tính s các s có sáu ch s trong đó hai ch s
luôn có m t
Ch s có v trí
Ch sô có v trí
Ch n b n ch s còn l i có A74 cách
A74 s
 có

13

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ví d
ch n t p A
a T t p A có th l p đ
sao cho ha ch s và
b T t p A có th l p đ
sao cho hai ch s và

c bao nhiêu s ch n g m có sáu ch s đôi m t khác nhau
luôn đ ng c nh nhau
c bao nhiêu s ch n g m có sáu ch s đôi m t khác nhai
luôn đ ng chanh nhau
Gi i

a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
S n là s ch n nên a
 a có cách ch n
Đ đ n gi n h n lúc này ta qui bài toán v yêu c u m i là Tìm các s có năm ch
s
sao cho ch s và luôn đ ng c nh nhau r i đem ghép v i ch s a s
đ c ch s n c n tìm
Khi hai ch s và luôn đ ng c nh nhau ta xem
là m t ch s a Ta l p m t
s có b n ch s sao cho ch s a luôn có m t

A63
s c n tìm
Ví d
cho t p h p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s l g m có sáu ch s sao cho ch s
m t l n Các ch s còn l i có m t m t l n

luôn có

Gi i
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

14

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6
Cách Xét hai tr ng h p
TH a
Do ch s luôn có m t l n nên v trí còn l i thì ch s có v trí
Ch n ch s còn l i có A84 cách
 có s có sau ch sô mà a
I TH a
a có cách
Tha a
a
a có cách ch n a a và a a

- Ch n ch s còn l i ta có A64 cách
- Hoán đ i v trí c a
ta có Cách
4
V y có
A6
s c n tìm
D ng T p A có ch a s
Ph ng pháp gi i toán
B c G i s c n tìm là n a1a2 a3 ....an a
B c Li t kê các tính ch t mà s n c n th a mãn
B c X lý các tính ch t
- N u có nhi u tính ch t đ c l p nhau thì ta không chia tr ng h p
- N u m t ch s a nào đó c th có m t
l n thì ph i chia tr ng h p vì a a
s
khác v i a a
- N u hay nhi u ch s trong n có cùng tính ch t thì chia tr ng h p
B c Dùng các qui t c c ng nhân gi i quy t bài toán
Cho t p A
T t p A có th l p đ c
Ví d
a Bao nhiêu s có ch s đôi m t khác nhau
b Bao nhiêu s có ch s đôi m t khác nhau sao cho các s này đ u l
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

15

T H P XÁC SU T P I


hi n nhiên a
v y s còn l i có A53 cách
TH N a
thì a có cách ch n vì a
và
2
2
Ch n s còn l i ta có A4  có A4
V y có t t c A53
A42
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4
Vì n là s ch n nên a
ta chia bài toán làm hai tr ng h p
TH N u a
thì ch n s còn l i ta đ c A53 cách
TH N u a
thì s có cách ch n a
- có cách chon a
- ch n s còn l i ta có A42
 có A42
V y có t t c A53
A42
s c n tìm
Cách Dùng phép đ m lo i tr
- Đ m s có ch s khác nhau chia h t cho
a có cách ch n
ch n ba ch s còn l i là A53  có A53
- Đ m s có ch s chia h t cho mà a
là A42

s c n tìm
Cách dùng phép lo i tr
Tính s có ch s khác nhau và chia h t cho
- a có cách ch n
só còn l i có A74 cách ch n
 có A74 s
Tính s có ch s khác nhau mà chia h t cho và a
- a có cách ch n
- ch n ch s còn l i ta có A63
 có
A74
A63
s
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
ch n ch s còn l i ta đ c A75 cách
TH N u a
TH N u a
- a có cách ch n do a
- có v trí cho ch s
- ch n ch s còn l i có A64
có
A64
V y có t t c A75
A64
s
Ví d
Cho t p A
T t p A có th l p đ c bao nhiêu s
a Có năm ch s khác nhau và l n h n
b Có năm ch s khác nhau và đ u là các s ch n


Gi i
a G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Xét hai tr ng h p sau
TH n u a1a2 13
Ch n ch s còn l i A84 cách  có A84 s
TH N u a1a2 13
a có cách ch n a
a
Có v trí cho 13
Ch n ch s còn l i có A73 cách
A73 s
 có
A73 s mà
luôn đ ng c nh nhau
V y có A84
Do vai trò c a 13 cũng gi ng vai trò c a 31 nên có t t c
A84
A73
s c n tìm
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5a6
Gi i theo các b c sau
B Tính s t o thành có sáu ch s b t kì
a có cách ch n a
Ch n ch s còn l i có A95 cách
 có A95 s
B Tính s các s có
đ ng c nh nhau
Tha hai ch 70
có v trí 70


c bao nhiêu s

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 có A85 s có ch s mà hai ch s 90
TH Hai ch s 09
có v trí có ch s 09
ch n ch s còn l i có A85 cách
 có A85 s có ch s mà hai ch s 09
V y có t t c
A85
A75
A85 s c n tìm
b g i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6 a7
Gi i theo các b c sau
B tính s các s có ch s khác nhau b t kỳ
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A96 cách
 có A96 s
B Tính s các s có ch s khác nhau có ch a hai ch sô
tr ng h p
TH a1a2 16
Có A85 cách ch n ch s còn l i
TH a1a2 16
Có v trí cho ch 16
a có cách ch n do a

Ch n ch s còn l i có A84 cách
b G i s c n tìm là n a1a2 a3a4 a5 a6 a7
Cách Gi i theo các b c sau
B Tính s các s có ch s b t kỳ
a có cách ch n
Ch n ch s còn l i có A96 cách
 có A96 s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

19

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

B Tính s các s có ch s có m t ch s mà không có m t ch s
TH a
Ch n ch s còn l i có A86 cách b đi ch s
 có A86 s
TH a
a có cách ch n a
a
a
Có v trí cho ch s
Ch n ch s còn l i có A75 cách b đi ch s
 có
A75 s
T hai tr ng h p trên  có A86
A75 s

4
Ch n ch s còn l i có A7 cách
A74 s
 có
V y có t t c
A85
A74
s c n tìm
Cách tính theo b c sau
B Tính s các s t o thành ch a ch s
và luôn có ch s và
có cahcsh ch n cho ch sô
có A62 v trí cho ch sô và
có A74 cách ch n ch s còn l i
 có A62 A74 s
B Tính s các s t o thành không có ch a c
và luôn có ch s và
2
có A7 cách ch n v trí cho hai ch s và
có A85 cách ch n ch s còn l i
 có A72 A85 s
NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

20

gi ng nh

T H P XÁC SU T P I



 có
A63 s
TH a
a
a
và a
a có cách ch n
Có A64 v trí cho ch s
Ch n hai ch s còn l i có A52 s
V y có t t c
A63
A64 A52
s c n tìm
Cách Gi i theo hai b c sau
B Tính s các s có ch s
và luôn có m t ch s
Có v trí cho ch s
Có A64 cách ch n v trí cho ch s

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN

21

T H P XÁC SU T P I


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

NGUY N TI N CHINH VINASTUDY VN