Hình học 12
5
TỌA
ĐỘ
TRONG
KHƠNG
GIAN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hoctoancapba.com
CÁC DẠNG TỐN

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A )
2. AB  AB 



 x B  x A  2   y B  y A 2   z B  z A  2



3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3 
4. k.a  ka1 , ka2 , ka3 
5. a  a12  a 22  a32






a  b
3
 3



ABCD là hbh 

AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3



a1 a 2 a3


b1 b2 b3

8. a // b  a  k .b  a  b  0 



 





3


16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1)
17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz
18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz
1
1
a12  a 22  a32
19. S ABC  AB  AC 
2
2
1
20. V ABCD  ( AB  AC ).AD
6
21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD).AA /





Đường cao AH của tứ diện ABCD
1
V  S BCD . AH  AH  3V
3
S BCD

9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0
 a a3 a3 a1 a1 a 2 


Thể tích hình hộp :





V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA /
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

Viết phương trình mp qua M và vuông góc
với (d): ta có n  a d


Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM/



qua A ( hay B hay C )

°



° Cặp vtcp: AB , AC

 

vtpt n  [ AB , AC ]

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
° 

qua M trung điể m AB


vtpt n  AB

Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;

C(0,0,c) :


ª     A1 A2  B1 B2  C1C2  0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0
d(M, ) 

Ax o  By o  Cz o  D
A 2  B2  C2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos( ,  )   
n1 . n 2

qua M

° 

 
Vì   (d) nên vtpt n  a ....(AB)
d

Dạng 4: Mp qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0
° 

qua M


Vì  //  nê n vtpt n



qua M (hay N)

°

 

vtpt n  [ MN , n ]



Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua
■

Mp chứa d nên a d  a

■

Mp đi qua M  (d ) và A nên AM  b
qua A

°


(Cách 2: sử dụng chùm mp)

vtpt n  [ a , AM]
d

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

qua A

2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x  xo
a



y  yo

1

a2



z-z

0

a3

(d )
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

qua A



 d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)


 d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0






/
 d,d’ song song nhau  { a d // a d / và M  ( d ) }

 d,d’ trùng nhau  { a d // a d / và M  ( d / ) }


Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /
Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) 

Kc giữa 2 đường thẳng :


n
d


d (d ; d / ) 

 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp



,a

d2

]

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :


+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

[a d ; AM ]



d=

ad

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d =   

[a d ; a d / ].MN

với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d //  và cắt d1,d2 : d = 1  2
với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 




Vì (d) // () nê n vtcp a



6.Góc : (d) có vtcp a d ; ’ có vtcp a d / ; ( ) có vtpt n

a d .a d /
Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d,d' ) 

ad . ad /
 
ad . n
Góc giữa đường và mặt : sin(d, )  

ad . n

Dạng 9: PT d qua A và  d1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A,  d1 ; B = d2  
Dạng 10: PT d  (P) cắt d1, d2 : d =   
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Hình học 12
8
MẶT
CẦU

2
Tâm I(a ; b ; c) và R  a  b  c  d

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2
và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mp :
 d > R : (S)   = 
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, :
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt
(S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2

 : Ax  By  Cz  D  0

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r  R2  d2 ( I ,  )
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mp : ta có a d  n 
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
x  x o  a1t

d : y  y o  a 2 t (1) và

R  d(I, ) 

A.x  B. y  C . z  D
I
I
I
A2  B 2  C 2

Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc ()

(S )

tâ m I
R  d(I, )

Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0
A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I,R) : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2)

A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A




Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A, vtpt n  IA

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------