SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƢỜNG THPT SỐ 1 BẮC HÀ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƢỚNG DẪN HỌC SINH
DÙNG PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

Họ và tên: Nguyễn Khánh Chi
Chức vụ : TTCM
Tổ chuyên môn: Toán - lý - Tin- CN
Đơn vị công tác: Trƣờng THPT số 1 Bắc Hà

Năm học: 2013 - 2014

Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

1


Mục lục
Nội dung

STT
1

2

3

Trang


3.3 Các dạng bài tập tƣơng tự

17

4. Kết quả thực hiện:

18

III. Kết luận.

20

Tài liệu tham khảo

Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

2


I. Lí do chọn đề tài
Việc dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian
tổng hợp là một vấn đề cần thiết với học sinh lớp 12 vì đó là một nội dung quan
trọng để học sinh dự thi các trường Đại học và Cao đẳng, trung học chuyên
nghiệp. Đây vốn là dạng bài khó đối với học sinh, đa phần các em học ở mức độ
trung bình khá trở xuống đều cảm thấy hết sức bồi rối khi đứng trước 1 bài hình
không gian, không biết bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào thì tới đích và cuối
cùng là bỏ qua, thậm chí có em còn không cần đọc kĩ đề và bỏ qua luôn nếu
trong đề có xuất hiện dạng này. Một giải pháp có thể giúp các em này không
mất điểm một cách đáng tiếc là chuyển bài toán hình học không gian tổng hợp

dạng kiến thức lí thuyết vừa học.
3.1. Phần Lý thuyết
3.1.1. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau
với ba vectơ đơn vị i , j , k  i  j  k  1 .
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

3


a  a1; a2; a3   a  a1i  a2 j  a3 k ; M(x;y;z) OM  xi  y j  zk
3.1.2. Tọa độ của vectơ: cho u( x; y; z), v( x '; y '; z ')
1. u  v  x  x '; y  y '; z  z '
2. u  v   x  x '; y  y '; z  z ' 3. ku  (kx; ky; kz)
4.

u.v  xx ' yy ' zz '
y z

5. u  v  xx ' yy ' zz '  0 6. u  x2  y 2  z 2

z x x y 
;
   yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y 

y
'
z
'
z
'

z A  zB  zC
3

xA  kxB
y  kyB
z  kzB
; yM  A
; zM  A
;
1 k
1 k
1 k
x x
y y
z z
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM  A B ; yM  A B ; zM  A B .
2
2
2

4. M chia AB theo tỉ số k: xM 

3.1.4. Các công thức về góc
1. Góc giữa hai véctơ: cos(u, v) 

u.v
u.v

2. Góc giữa hai đường thẳng: cos(1 ,  2 ) 



Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

4


3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d (1 ,  2 ) 

M 1M 2 . u1 , u2 
u1 , u2 



( M1 1 , M 2 2 , u1 , u2 là véctơ chỉ phương của 1 ,  2 )
3.1.6. Các công thức về diện tích và thể tích
1. Diện tích hình bình hành ABCD:
S ABCD   AB, AD 
1
 AB, AC 
2

2. Diện tích tam giác ABC:

S ABC 

3. Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:

VABCD. A ' B 'C ' D '  [ AB, AD].AA '

4. Thể tích tứ diện ABCD:

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Góc giữa hai mặt phẳng
 Thể tích khối đa diện
 Diện tích thiết diện
 Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
 Bài toán cực trị, quỹ tích
Bổ sung kiến thức :
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

5


1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng
tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu
S '  S. cos 

2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B',
V

'

C khác với S. Ta luôn có:

S . A ' B 'C '

V S . ABC

3.2.2 Các dạng toán
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông

khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng đó.
Bµi to¸n .
Cho hình chóp S.ABC có (SAB) 
(ABC), SABcân tại S, ABC
vuông tại A (vuông tại B làm tương
tự). Ta nên

z

* Gọi O, I lần lượt là trung điểm AB
và BC.
* Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ

A
C
O

I

y

B
x

Ví dụ 1. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3;
AC = AD= 4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

6


O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d(M, (OAB))= 3 Þ zM = 3.
Tương tự Þ M(1; 2; 3).
x y z
phương trình mặt phẳng(ABC): + + = 1
a

b

c

Z

1 2 3
M Î (ABC) Þ
+ + = 1
a b c

C

(1).

VO.ABC =
(1) Þ 1 =

1
abc (2).
6
1 2 3
1 2 3

vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo
a, b, c và chứng minh rằng : 2S  abc  a  b  c
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

7


Hng dn gii
Chn h trc ta nh
hỡnh v, ta cú ta cỏc
im l :A(0;0;0),
B(c;0;0), C(0;b;0),
D(0;0;a)
BC c; b;0 , BD c;0; a ,

BC , BD ab; ac; bc



S BCD

1
1 a 2 b2 a 2 c 2 b2 c 2
BC
,
BD
2
2

ủpcm a 2 b2 a 2 c 2 b2 c 2 abc(a b c) a 2 b2 a 2 c2 b2 c2 abc(a b c)

B
I

O

y

A
x

Vớ d 1. (trớch thi i hc khi A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc u
S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC. Tớnh theo a
din tớch D AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC).
Hng dn gii
Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O l trng tõm D ABC .
Gi I l trung im ca BC, ta cú : AI =

3
a 3
a 3
a 3
BC =
ị OA =
, OI =
2
2
3
6

Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA. t SO = h, chn h trc ta

C
;
;
0
ữ
6
2 ữ
6
2 ữ
ố
ứ ỗố
ứ
ổ a 3 a hữ
ử
M ỗỗỗ; ; ữ
ữ
ố 12 4 2 ứ
ổ a 3
a hử
v N ỗỗỗ;- ; ữ
ữ.
4 2ữ
ố 12
ứ
uuur uuur
ổah
ử
r
5a 2 3 ữ
ộ

2
ị n (AMN) .n (SBC) = ị h =
12
1 ộuuur uuur ự a 2 10
ị SD AMN =
AM, AN ỳ
ỷ = 16
2 ờở
.Vớ

d 2.(H khi A 2011).
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = 2a;
hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi (ABC). Gi M l trung
im ca AB; mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N. Bit gúc
gia hai mt phng (SBC) v (ABC) bng 600. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM
v khong cỏch gia hai ng thng AB v SN theo a.
Hng dn gii
Theo gi thit (SAB), (SAC) cựng vuụng gúc vi (ABC) nờn SA (ABC)
Gúc gia (SBC) v (ABC) l SBA 60 SA AB. tan 60 2a 3 .
Mt phng qua SM, song song BC, ct AC ti N MN // BC N l trung im
AC. Do ú tam giỏc AMN vuụng cõn ti M.
Khi ú, ta cú

VS . BCNM

1
1
SA.S BCNM SA.( S ABC S AMN )
3
3


M

.

B

A

Lại có BN  (a; a;0)
 d ( SN , AB) 

y

N

 SN , BA .BN


 SN , BA

 .

C
x

4a 3 3 2a 39
 2

13

với đáy. Ta chọn hệ trục tọa
độ tia OA, OB, OS lần lượt
là Ox, Oy, Oz.
Giả sử SO = h, OA = a, OB
= b có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(–a; 0; 0),
D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

z
S

A
D
O

x

B

Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

C
y

10


c, Bài toán 3.Cho hình
chóp S.ABCD có SA 
(ABCD), tứ giác ABCD là

S, tứ giác ABCD là hình
thoi,....
I
Ta nên:
* Gọi M, N, I lần lượt là
A
D
trung điểm AB, CD, SN,
và O là tâm hình thoi.
M
O
N
* Chọn hệ trục Oxyz như
B
C
x
y
hình vẽ.
Ví dụ 1: (ĐH - Khối B- 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Hƣớng dẫn giải
z
Gọi
H  O; SH  Oz; AB  Ox; HI  Oy,

khi ñoù : H (0; 0; 0), S (0; 0;
a
a




,


I

H


a
a
3
SB  
  2 ; 0; 
2




,



a
a
3
SC  
  2 ; a; 

VS .ABCD  VSABC  VSACD

1
1  a3 3 a3 3  a3 3





SA, SC SB  SA , SC SD  




  6  2
6  
2
6



Mặt khác :(SCD ) có n SCD   SC , SD   (0; a 2 3; 2a 2 )
 pt(SCD ) có dạng : a2 3y  2a2 z  a3 3  0
 ptđt  đi qua A và vuông góc (SCD) có dạng :
a

x  2 t


2

7

Lưu ý sử dụng cơng thức khoảng cách nhanh hơn
d ( A,(SCD)) 

a
a2 3.  a3 3
2
3a 4  4a4



a 3
)
7

Ví dụ 2: (ĐH - Khối A- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng
cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao
điểm của CN và DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SH= a 3 .
Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM và SC theo a.
Hƣớng dẫn giải
S
z
Dễ thấy
VS .CDNM  VS . ABCD  VS . BCM  VS . AMN
1
 SH .( S ABCD  SBCM  S AMN )
3
1

B

x

12


a
2

M là trung điểm AB  M (a; ;0)
N là trung điểm AD
a
 N ( ; a;0) H  (Oxy )  H ( x; y;0)
2
H  DM  CN  CH , CN cùng phương và DH , DM cùng phương
2a
4a
2a 4a
2a 4a
x ya
x y
. Vậy H( ; ;0 )  S ( ; ; a 3)
x
,y
  và 
a
a a
5
5



2

Ví dụ 3: (ĐH - Khối A- 2009)
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I
là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với (ABCD), tính thể tích khối chóp S. ABCD theo a.
Hƣớng dẫn giải
z
Vì (SBI)  (ABCD), (SCI)  (ABCD)
S
 SI  (ABCD), giả sử SI=h.
Dựng đường thẳng qua A và song song
với SI
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
Khiđó:A(0;0;0),B(2a;0;0),
D(0;2a;0),C(a;2a;0)I(0;a;0),S(0;a;h)

BS  (2a; a; h); BC  (a; a;0)

 n ( SBC )   BC , BS   (2ah; ah;3a 2 );
D

  60o

1

2


n ( SBC ) .k
1


2
n ( SBC ) k

 h 

a3 15
5

1
1
3 15
 VS . ABCD  .SI .S ABCD  h(a  2a)2a  a3
3
6
5
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

13


3. Hình lăng trụ
Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
a, Hình lăng trụ đứng: (Với hình hộp chữ nhật hay hình lập phương hay hình
lăng trụ tứ giác đều) thì việc thiết lập hệ tọa độ thường có hai cách:
+ Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp.


n (A'BC) = (1;1;1) mà
AC' = (1;1;1)
Vậy AC' vuông góc (A'BC)
Ví dụ 2: (ĐH - Khối B- 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có BB’=a góc giữa hai đường
thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và
BAC  600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (ABC) trùng với
trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’. ABC.
Hƣớng dẫn giải
Giả sử AC=b,  ABC vuông tại C có BAC  600 nên CB= b 3 ,
 B’GB vuông tại G có B ' BG  600 , BB’=a nên B’G== B ' G  a

3
a
, BG  .
2
2

Từ C dựng trục Cz song song với B’G. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
b b 3
b b 3
3
;0), B '( ;
;a
)
3 3
3 3
2


 A '(

B'

2a  3a a 3
;
;
)
2
13 13

 VA '. ABC

A'

CA, CB  .CA '



6

C

9a 3

(dvtt )
208

G



A
C

3

VA'. ABC

1
1 1
a
 SABC . A ' I  . a.a 3.a 3  (đ
3
3 2
2

y

I
B
x

vtt)
Cách 2: VA'. ABC 

3
1
 . A ' C  a (đvtt)
A
'

của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo
a.
Hƣớng dẫn giải
z
B'
Gọi I = AC  BD. Ta có
C'
A ' I  ( ABCD) .
Chọn hệ trục Oxyz với B là
A'
gốc tọa độ, tia BA là tia Ox,
D'
tia BC là tia Oy, tia Oz là tia
Bz song song và cùng hướng
với tia IA’.
Khi đó B(0;0;0), A(a;0;0),
B
C
y
C(0; a 3 ;0),
a a 3
;0 ).
2 2

I

D(a; a 3 ;0), I( ;

A’ có hình chiếu lên (Oxy) là I


 cos60 

1
a
1
a 3

 z
2
2
2
2
2
4z  a

(z > 0).

a a 3 a 3
).
;
2 2
2

Vậy A’( ;

a 3
3a 3
.a.a 3 
Do đó VABCD. A' B ' C ' D '  A ' I .S ABCD 


a 3
2

Ngoài các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song
song, vuông góc và các tính chất của đường cao, đáy,... để thiết lập hệ tọa độ
cho thích hợp.
Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

16


3.3 Các dạng bài tập tƣơng tự
3.3.1. Các bài toán về hình chóp tam giác
Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD
vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách
từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với
AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng
vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a.
Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.
1. Tính diện tích D MAB theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
Bài 4. Cho tứ diện S.ABC có D ABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại
K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.


·
4. Tìm điều kiện của a và b để cos CMN
=

3
. Trong trường hợp đó tính
3

thể tích hình chóp S.BCNM.
3.3.3. Các bài toán về hình hộp - Hình lăng trụ đứng
Bài 10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt
là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.
1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.
2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.
3. Tính diện tích tứ giác IKNM.
Bài 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh
AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là
trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’.
1.Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.
2.Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mc (S’)qua A’, B,
C’, D.
3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 13 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng
·
ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD
= 600. Gọi M, N là trung điểm
cạnh AA’, CC’.
1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.


0

1

0

2,08

8

1

3

2,13

6,25

7

8

9

17,02

18,75

6


5

4

10,64

8,34

2

2

1

4,26

2,08

Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

18


Qua bảng trên ta thấy về trình độ của hai lớp ngang nhau, điểm kiểm tra
trung bình chiếm phần lớn, số điểm dưới trung bình cũng khá nhiều.
4.2- Bài kiểm tra số 2:
- Thời gian: tiến hành kiểm tra sau khi dạy học thực nghiệm.
- Mục đích: đánh giá kết quả sau khi thực nghiệm.
Bảng 2:

8

2

5

4,26

10,42

7

10

15

21,28

31,25

6

13

17

27,66

35,42


2

1

0

2,12

0

1

0

0

0

Căn cứ vào kết quả thực nghiệm trên ta thấy kết quả làm bài của lớp thực
nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Ở lớp thực nghiệm số điểm khá, giỏi
tăng, số điểm dưới trung bình giảm đáng kể so với lớp đối chứng.
Như vậy, có thể nói việc hệ thống hoá các kiến thức và phân dạng các bài
tập dùng phương pháp toạ độ để giải các bài tập hình học không gian tổng hợp
đã kích thích được tính tích cực của các em học sinh giúp các em đã biết giải
các bài tập và biết cách phân dạng và định hướng được cách làm và cách trình
bày bài.
III. Kết luận.
Thông qua các ví dụ minh họa các trường hợp đơn giản và lời giải các bài
toán trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, tôi tự nhận thấy phương pháp tọa độ
hóa thật sự là một công cụ rất hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian

Nguyễn Khánh Chi

Nguyễn Khánh Chi - THPT số 1 Bắc Hà

20