Chuyên đề: Bất đẳng thức
Tác giả : Phan Văn Lâm
chỉnh sửa năm :9/2008
A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .
Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và
biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố
của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải bài tập , năng
lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phat triển đa dang và phong phú
vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả.
Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới
một cách lôgíc có hệ thống.
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên
học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi
theo hương nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng
bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức
và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không
thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện
Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp
cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức .
Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học
sinh học tốt hơn.

Danh mục của chuyên đề
S.t.t Nội dung trang
1. Phần mở đầu 1
2. Nội dung chuyên đề 2
3. Các kiến thức cần lưu ý 3
4. Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức 4
5. Phương pháp 1:dùng định nghiã 4

6- Phương pháp làm trội
7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phương pháp đổi biến số
9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phương pháp quy nạp
11- Phương pháp phản chứng
Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên
1
Phần I : các kiến thức cần lưu ý
1-Đinhnghĩa

0
0
A B A B
A B A B
≥ ⇔ − ≥


≤ ⇔ − ≤


2-tính chất
+ A>B
AB
<⇔
+ A>B và B >C

n
với n lẻ
+
A
>
B

⇒
A
n
> B
n
với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1
⇒
A
m
> A
n

+ m > n > 0 và 0 <A < 1
⇒
A
m
< A
n

+A < B và A.B > 0
⇒


A B A B+ ≥ +
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+
BABA
−≤−
( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1
Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2

≥
0 với( M
Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2

≥
xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2

+ z
2
- xy – yz – zx)
=
2
1
[ ]
0)()()(
222
≥−+−+−
zyzxyx
đúng với mọi x;y;z
R∈
Vì (x-y)2
≥
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2
≥
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2
≥
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

≥

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R∈
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x
2
+ y
2
+ z
2
+3 – 2( x+ y +z )
= x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)
2
≥
0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2

22
22






+
−
+
baba

=
( )
4
2
4
2
2222
bababa
++
−
+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222

33






++
−
++
cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
≥−+−+−
accbba
Vậy
2
222
33







B tho định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)
2
hoặc H=(C+D)
2
+….+(E+F)
2
Bước 3:Kết luận A ( B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh (m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1( m(n+p+q+1)
Giải:
01
4444
2
2
2
2
2
2
2







+−⇔
m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222
≥






−+












=−
=−
=−
=−
01
2
0
2
0
2
0
2
m
q
m
p
m
n
m
⇔




m
Bài tập bổ xung
1
phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng
thức đã được chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:

( )
22
2
2 BABABA
++=+

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3223
3
33 BABBAABA
+++=+
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
ab

044
22
≥+−⇔
baa

( )
02
2
≥−⇔
ba
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
ab
b
a
≥+
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
baabba
++≥++
1
22

)
)(21(2
22
baabba
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
≥+−++−++−++−
cacadadacacababa

⇔
( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
≥−+−+−+−
cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++≥++
Giải:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++≥++

⇔
128448121210221012

yx
−
+
22
≥
22
vì :x
〉
y nên x- y
〉
0
⇒
x2+y2
≥

22
( x-y)

⇒
x2+y2-
22
x+
22
y
≥
0
⇔
x2+y2+2-
22
x+

2)CM:
cbacba
++≤++
222
(gợi ý :bình phương 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:






++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
zyx
111
++
)=x+y+z - (
0)
111

2
≥+
d)
2
≥+
a
b
b
a
2)Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
....
....
321
321
≥
++++
Với
0
>
i
a
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

( )

33
CBAcbacCbBaA
++++
≥
++
Nếu



≥≥
≤≤
CBA
cba

⇒

3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++
≤
++
Dấu bằng xảy ra khi



==
==
CBA

( )
2
ba +
( )
2
cb +
( )
2
ac +
≥
( )
2
222
864 abccba
=

⇒
(a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
9
111
≥++
cba
(403-1001)
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
)1)(1)(1(4 zyx
−−−≥

≥

ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++
cba
chứng minh rằng
3 3 3
1
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a
≥
b
≥
c
⇒






+
≥

+
+ ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c
c
ca
b
b
cb
a
a .
3
...
222
222
=
2
3
.
3
1
=
2
1
Vậy

cddc 2
22
≥+
Do abcd =1 nên cd =
ab
1
(dùng
2
11
≥+
x
x
)
Ta có
4)
1
(2)(2
222
≥+=+≥++
ab
abcdabcba
(1)
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
acddcbcba
+++++

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
222

( ) ( ) ( )
10
2222
≥+++++++++ acddcbcbadcba
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca
+++≤+++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd
≤
2222
. dcba
++
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca +++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba
++++++≤
⇒
222222
)()( dcbadbca
+++≤+++
1
ví dụ 6: Chứng minh rằng

L ưu ý: A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x
2
<x
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
Tacó



+>
+>
dcb
dca

⇒




>>−
>>−
0
0
cdb
dca

⇒

⇒
ac+bc-ab
6
5
≤
〈
1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
cba
111
−+
〈

abc
1
ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0

⇒
(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có

⇒
(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

⇒
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

1-b-
2
a
+
2
a
b > 0

⇒
1+
2
a
2
b
>
2
a
+ b
mà 0< a,b <1
⇒

2
a
>
3
a
,
2
b
>

3
c
cb
2
1
+≤

c
3
+
3
a
(
ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có :

accbbacba
222333
3222
+++≤++
b)Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222
=+=+
dcba
thì (ac+bd (=1998
(Chuyên Anh –98 – 99)


1998
≤+
bdac
2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1
c hứng minh rằng : a
2
1
+
2
2003
2
3
2
2
.... aaa
+++
2003
1
≥
( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
2,Cho a;b;c
0
≥
thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (
8)1
1
).(1
1

a
+
+
<
2)Nếu b,d >0 thì từ

d
c
db
ca
b
a
d
c
b
a
<
+
+
<⇒<

`
ví dụ 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng

21
<
++
+
++

Mặt khác :
dcba
a
cba
a
+++
>
++
(2)
Từ (1) và (2) ta có
dcba
a
+++
<
cba
a
++
<
dcba
da
+++
+
(3)
Tương tự ta có

dcba
ab
dcb
b
dcba

+
<
++
<
+++
(6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
điều phải chứng minh
ví dụ 2 :
Cho:
b
a

c
d
cd
db
cdab
b
ab
=<
+
+
<
2222
Vậy
b
a
<
d
c
db
cdab
<
+
+
22
điều phải chứng minh
ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b
c

a
vì a+b = c+d
1
a, Nếu :b
998
≤
thì
d
b
998
≤

⇒

d
b
c
a
+
≤
999
b, Nếu: b=998 thì a=1
⇒
d
b
c
a
+
=
dc

−=
kkk
aau
Khi đó :
S =
( ) ( ) ( )
1113221
....
++
−=−++−+−
nnn
aaaaaaaa
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
P =
n
uuu ....
21
1