BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Quỳnh Mai

PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Quỳnh Mai

PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Hình học
Mã số:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – Năm 2016

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, là kết quả của em dưới sự giúp
đỡ của thầy PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Trần Thị Quỳnh Mai

i


Mục lục
Lời mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1 Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2


Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Phép biến hình đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En
2.1 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


12

2.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3 Phép đối xứng qua siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC

17

3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh . . . . . . . . . .


25

3.2.2

Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán .

25

3.2.3

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3 Phép đối xứng và bài toán dựng hình . . . . . . . . . . .

32

3.3.1

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

Sử dụng phép đối xứng giải bài toán dựng hình .

34


iii


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.4.3

Sáng tạo bài toán tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng

44

3.4.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

iv


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến phép đối xứng.
Nghiên cứu, sử dụng các lí luận, các công cụ toán học, tài liệu tham
khảo.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 phần:
Mở đầu
Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1.Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2.Phép đối xứng trong En .
Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học.
Kết luận

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong Chương này chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị
cho chương sau, những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo.

1.1
1.1.1

Phép biến hình
Định nghĩa


nếu f (H) = H.
c. Hình H ⊂ En được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f
nếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f .
Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M
thành điểm M . Ta có f (M) = M . Khi đó phép biến hình biến điểm M
thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã
cho.
→
−
→
Ví dụ: Phép tịnh tiến T−
v theo vecto v có phép biến hình đảo ngược
−1
.
là phép tịnh tiến T−
→
v

Định nghĩa 1.4. Phép biến hình f : En → En mà f ◦ f = idEn được gọi
là phép biến hình đối hợp.
Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong En là phép
−−→
−−→
biến hình biến điểm M thành điểm M sao OM = −OM )
4


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất. Ta thường ký hiệu e là
phép đồng nhất. Như vậy ta có e : En → En và e(M) = M với mọi điểm
M thuộc En . Đối với phép đồng nhất e: En → En mọi điểm đều là điểm
bất động.
1.1.3

Sự xác định

Muốn xác định một phép biến hình f :En → En ta cần nêu rõ quy
tắc f đó bằng các cách sau đây:
- Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định
nào đó, dựng đường thẳng đi qua một giao điểm và vuông góc với một
đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho.
5


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x, y)
của điểm M với tọa độ (x , y ) của điểm M = f (M) đối với hệ tọa độ
Oxy cho trước nào đó. Thí dụ như phép biến hình f được cho bởi hệ
thức :



x



Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 1.2.4. Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
1.2.3

Định lý

Định lý 1.1. Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép
afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
và biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.

1.3
1.3.1

Phép biến hình đẳng cự
Định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Cho hai điểm M, N của không gian Ơclit En. Khoảng
cách giữa hai điểm đó, kí hiệu d(M, N ), được định nghĩa là d(M, N ) =
−−→
−−→
MN = MN 2 .
Định nghĩa 1.8. Phép biến hình f : En → En được gọi là phép biến hình
đẳng cự của En nếu nó bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kỳ, tức là:
f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M, N ) = d(f (M), f (N )) ∀M, N ∈ En
trong đó d(M, N ) là khoảng cách của hai điểm M, N .
1.3.2


Chương 2
PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En
Trong Chương này chúng ta sẽ trình bày về một vài phép đối xứng,
những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo.

2.1
2.1.1

Phép đối xứng tâm
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Trong không gian En , cho một điểm O. Phép biến hình
−−→
−−→
của không gian cho ứng điểm M’ sao cho OM = −OM gọi là phép đối
xứng qua tâm O và được ký hiệu là Do . Điểm O được gọi là tâm đối
xứng.
2.1.2

Tính chất

Tính chất 2.1.1. Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó
có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duy
nhất là O.
Chứng minh
9


Trần Thị Quỳnh Mai

−→
−−→
Theo định nghĩa ta có OA = −OA và OB = −OB. Suy ra:
−−→ −−→ −−→
A B = OB − OA
−−→ −→
= −OB + OA
−−→ −→
= −(OB − OA)
−→
= −AB
Suy ra đpcm.
10


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 2.1.3. Phép đối xứng tâm O là phép biến đổi 1-1.
Chứng minh
Thật vậy, nếu điểm A là ảnh của các điểm A và B trong phép đối xứng
−−→
−−→
−→
−−→
Do thì ta có OA = −OA và OA = −OB.
−→
−−→
Suy ra OA = −OB nên A ≡ B.

và O.
Do M ∈ d nên d ≡ d. Gọi (P ) là mặt phẳng qua O. Xét hai đường
thẳng d và d nằm trong (P ) và cắt nhau tại O. Khi đó Do biến d thành
11


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

d, biến d thành d nên (P ) cũng biến thành (P ) qua Do .
−−→
Xét vecto MN . Ta có Do (M) = M , Do (N ) = N .
−−→
−−→ −−→
−−→
⇒ OM = −OM , ON = −ON .
−−−→ −−→ −−→
M N = ON − OM
−−→ −−→
= −ON + OM
−−→
= NM
−−→
= −MN
Tính chất 2.1.6. Phép đối xứng tâm bảo toàn phương của mọi đường
thẳng, mặt phẳng.
Chứng minh
Giả sử Do (d) = d và M, N ∈ d, Do (M) = M , Do (N ) = N .
−−−→

xứng và là đường thẳng bất động của phép biến hình.
12


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định nghĩa 2.3. Cho trước một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm
thuộc H trong phép biến đổi S(
đối xứng với H qua

)

lập thành một hình H được gọi là hình

. Nếu H ≡ H thì ta nói H là hình có trục đối

xứng.
2.2.2

Tính chất

Tính chất 2.2.1. Phép biến hình S(

có duy nhất một đường thẳng bất

)

động.

chính là S( ) .
Chứng minh
Thật vậy, nếu M và M1 là các tạo ảnh của điểm M trong phép biến
đổi S( ) , thì

là đường trung trực của hai đoạn thẳng MM và M1 M,

tức là M, M , M1 thẳng hàng. Hai điểm M1 và M cùng phía đối với
Gọi H là giao điểm của

.

với MM thì HM = HM = HM1 . Điều đó

chứng tỏ M và M1 trùng nhau.
Tính chất này cho ta thấy nếu M là ảnh của M trong phép biến đổi S
thì M là ảnh của M trong phép biến đổi đó.
Tính chất 2.2.3. Nếu A , B là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trong
−−→ −→
phép biến đổi S thì A B = AB.
13


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chứng minh
Ta xét các trường hợp sau:
- Trường hợp AB không vuông góc với


điểm thẳng hàng trong phép biến đổi đó thẳng hàng và giữ nguyên thứ
tự của chúng.

2.3
2.3.1

Phép đối xứng qua siêu phẳng
Định nghĩa

Định nghĩa 2.4. Trong E n cho siêu phẳng α. Phép biến hình của không
gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M xác định như sau:
• MM’ vuông góc với siêu phẳng α.
14


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

• MM’ cắt α tại O là trung điểm của nó
gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng α, phép đối xứng này kí hiệu
là Dα .
Siêu phẳng α được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.
2.3.2

Tính chất

Tính chất 2.3.1. Phép đối xứng qua siêu phẳng là một phép biến hình
đẳng cự nên nó có đầy đủ tính chất của phép đẳng cự.

M N = M I + IJ 2 + JN 2 + 2M I.JN
−−−−→ −−−−→
−
−→
−
→
−→
= MI 2 + IJ 2 + JN 2 + 2(−MI).(−JN )
−−−→
−−→
Suy ra d(M, N ) = |MN | = |M N | = d(M , N )
Vậy phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.
15


Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tính chất 2.3.2. Dα là phép đối hợp.
Chứng minh
Gọi M = Dα (M) ta có Dα (Dα (M)) = Dα (M ) = M = id(M).
⇒ Dα là phép đối hợp.
Tính chất 2.3.3. α là quỹ tích điểm bất động của Dα .

16


Chương 3
SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ

3.1.3

Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng

Nếu mệnh đề A ⇒ B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối
xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B ⇒ A, xét
các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề
này ta sẽ được bài toán mới.
3.1.4

Một số ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 3.1.1. Cho hình chóp S.ABC đều. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là
trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng tứ diện S.ABA’ và
S.BCB’ bằng nhau.
Bài giải
Xét phép đối xứng qua hai mặt phẳng (SAA’) và (SCC’)

Hình 3.1:

18