Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ



Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang Huy.
Tác giả xin khẳng định kết quả của khóa luận này là trung thực. Đề
tài "Các khái niệm và tính chất chất cơ bản về tính liên tục của
ánh xạ đa trị" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của
bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 26 tháng 04 năm 2016
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng.

Footer Page 4 of 161.

ii


Header Page 5 of 161.

Mục lục


của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge . . . . . .

1.2.2

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới
của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Hausdorff . . . .

1.2.3

11

13

Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa
liên tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge
và Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục
2.1

14
16

Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ đơn trị liên
tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 5 of 161.

iii



Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

Footer Page 6 of 161.

iv


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu mới trong Toán học, mặc
dù từ những năm 30 của thế kỉ 20 các nhà toán học đã thấy cần nghiên
cứu ánh xạ đa trị - xạ nhận giá trị là các tập con của một tập nào đó. Sự
ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysic” vào năm 1993 là một
mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này. Vai trò
của giải tích đa trị trong toán học đã được công nhận rộng rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng, biểu thức biến phân và phương trình
suy rộng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa

4. Đối tượng nghiên cứu
Các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ
đa trị theo nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff; tính liên thông, tính
compắc và điểm bất động.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết tôpô và giải tích
hàm.

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Các kí hiệu và chữ viết tắt
F :X⇒Y

ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F

miền hữu hiệu của F

rge F

miền ảnh của F


tập số thực {t ∈ R : 0 ≤ t ≤ 1}

(0, 1)

tập số thực {t ∈ R : 0 < t < 1}

Rn

không gian Euclide n chiều

x

chuẩn của véctơ x

x, y

tích vô hướng của các véctơ x và y

B (x, ε)

hình cầu mở tâm x bán kính ε

B (x, ε)

hình cầu đóng tâm x bán kính ε

BX

hình cầu đơn vị mở trong không gian X


co Ω

bao lồi của Ω

co Ω

bao lồi đóng của Ω

d (x, Ω)

khoảng cách từ điểm x đến Ω

cone M

hình nón sinh bởi tập M

TΩ (x)

nón tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.

Chương 1
Các khái niệm về tính liên tục của

gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)},
dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅},
rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình đa thức trên tập số phức C
xn + a1 xn−1 + .... + an−1 x + an = 0
với ai ∈ R.
Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm
F (a) của phương trình trên thì có một ánh xạ đa trị
F : Rn ⇒ C. Ta có
gph F = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0 ,
dom F = Rn ,
rge F = {x ∈ C : xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, a ∈ Rn }.
Ví dụ 1.1.2. Cho ánh xạ đa trị F : R⇒ R
x → F (x)= y ∈ R, y 2 = x .
Khi đó
gph F ={(x, y) ∈ R × R : y ∈ F (x)}= (x, y) ∈ R × R : y 2 = x ,
dom F ={x ∈ R : F (x) = ∅} = x ∈ R : ∃y ∈ R : y 2 = x = R+ ,
rge F = {y ∈ R : ∃x ∈ R sao cho y ∈ F (x)}
√
√
= {y ∈ R : ∃x ∈ R : y ∈ { x, − x}} = R.
Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1. Ánh xạ ngược F −1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị
F : X ⇒ Y được xác định bởi công thức

Footer Page 12 of 161.

6




Footer Page 13 of 161.

7


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

ii) αx là một hàm liên tục của α, x; nói rõ hơn, mọi lân cận V của điểm
αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho
| α - α| < ε, với mọi x ∈ U thì α x ∈ V.
Mệnh đề 1.1. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không
gian tuyến tính tôpô
i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F là ánh xạ có giá trị đóng.
ii) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ có giá trị lồi.
iii) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi
(1-λ )F(x)+λF(x ) ⊂ F((1-λ )x + λx ) với ∀ x, x ∈ X; λ ∈ (0,1).
Định nghĩa 1.3. Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô và
F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, ta dùng các kí hiệu F và co F để chỉ các
ánh xạ đa trị được cho bởi các công thức
F (x) = F (x) với ∀x ∈ X
và
(co F ) (x) = co (F (x)) với ∀x ∈ X,
ở đó F là bao đóng tôpô của F và co F là bao lồi của F (tức là co F là
tập lồi nhỏ nhất chứa F).
Hiển nhiên F là ánh xạ có giá trị đóng và co F là ánh xạ có giá trị
lồi. Tuy nhiên, F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể

 {0}

khi x = 0
khi x = 0

không là ánh xạ đa trị đóng.
Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X, Y là các không
gian tuyến tính tôpô, ký hiệu tương ứng cl F và conv F , được xác đinh
bởi
cl F (x) = y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F

với ∀x ∈ X

và
conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} với ∀x ∈ X.
Dễ dàng thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 thì
cl F (x) = {sin x, cosx} và conv F (x) = [−1, 1] với ∀x ∈ R.
Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.4 ta có
cl F (x) = [0, 1] với ∀x ∈ R
và

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Ta nhắc lại rằng một họ các tập con τ ⊂ 2X của tập hợp X được

gọi là một tôpô trong X nếu
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ ;
iii) hợp của một họ tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ .
Các tập thuộc τ được gọi là tập mở. Phần bù của một tập mở trong
X được gọi là tập đóng. Tập X được trang bị một τ được gọi là một
không gian tôpô, và được kí hiệu bởi (X, τ ). Với (X, τ ) là một không
gian tôpô và M ⊂ X là một tập con tùy ý thì

Footer Page 16 of 161.

10


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

τM := {U ∩ M : U ∈ τ },
được gọi là một tôpô trên M. Tôpô τM được gọi là tôpô cảm sinh của
của τ trên M. Tập UM := U ∩ M được gọi là vết của U trên M.
Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y . Ta đã biết rằng f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với
mỗi tập mở V trong Y chứa f (x), tồn tại một lân cận mở U của x trong
X sao cho
f (x) ∈ V với ∀ x ∈ U.
Mục tiếp theo chúng ta tìm hiểu một mở rộng khái niệm về tính

F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge tại
x. F liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục.
Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ đa trị

F (x)=




{0} nếu x < 0



[−1, 1] nếu x = 0



 {1} nếu x > 0.

Ta thấy rằng ánh xạ F từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R nhưng
không là nửa liên tục dưới tại x =0. Như vậy F không phải là ánh xạ
liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.2. Ánh xạ đa trị

 [0, 1] nếu x = 0
F (x)=
 {0} nếu x = 0.
Ta thấy F là nửa liên tục dưới tại x =0 nhưng không là nửa liên tục
trên tại điểm đó. Như vậy F không là ánh xạ liên tục ở trong R.
Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ đa trị


Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian mêtric Y .
i ) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff tại x
∈ domF nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một lân cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U.
Ở đó
B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}
với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x) . Ta
z∈F (x)

nói F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa
liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff.
ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại
x ∈ dom F nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một cận mở U của x sao cho
F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U.
Ở đó:

Footer Page 19 of 161.

13


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}
với d(y, F (x))= inf d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x). Ta

2) Tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff kéo theo tính nửa liên
tục dưới theo nghĩa Berge.
Thật vậy

Footer Page 20 of 161.

14


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không
gian mêtric Y và F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại
x ∈ dom F .
Lấy V ∈ τY sao cho F (x) ∩ V = ∅.
Khi đó ∃y ∈ F (x) và ∃ε > 0 sao cho
B (y, 2ε) ⊂ V

(1.1)

Vì F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x nên tồn tại
lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ B (F (x) , ε) với ∀x ∈ U .
Rõ ràng B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε) = ∅ với ∀x ∈ U .
Với mỗi ∀x ∈ U , lấy z ∈ B (F (x) , ε) ∩ B (y, ε), khi đó ∃y ∈ F (x) sao
cho
d (z, y) ≤ ε.


đơn trị liên tục
Không gian tôpô X được gọi là compắc nếu từ mỗi phủ mở {Uα }α∈A

của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ số
{α1 , ..., αs } ⊂ A sao cho
s

X=

Uαi .
i=1

Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai
tập mở U, V sao cho
U ∩ V = ∅ và U ∪ V = X.
Định lý 2.1. Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

thông X vào không gian tôpô Y. Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với
tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông.
Định lý 2.2. Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô



Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Phượng

b) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục dưới ở trong X và nếu dom F là tập
liên thông thì rge F là tập liên thông.
Chứng minh
a) Giả sử F là nửa liên tục trên ở trong X, dom F là tập liên thông và
F (x) cũng là tập liên thông với ∀ x ∈ X.
Ta chứng minh bằng phản chứng bởi giả sử rằng M = rge F không
là tập liên thông. Khi đó tồn tại 2 tập mở U, V của Y sao cho
UM ∩ VM = ∅, UM ∪ VM = M,

(2.1)

với UM , VM = ∅, và ở đó UM = U ∩ M ,VM = V ∩ M là các vết của
V, U trên M .
Đặt
X1 = F −1 (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ U },
X2 = F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V }.
Khi đó, các tính chất sau nghiệm đúng:
i) X1 , X2 là các tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F ;
ii) X1 = ∅, X2 = ∅;
iii) X1 ∪ X2 = dom F ;
iv) X1 ∩ X2 = ∅.
Thật vậy
i) được suy ra từ phần a) của Nhận xét 1.2.

iv) Nếu tồn tại x ∈ X1 ∩ X2 thì ta có F (x) = ∅, F (x) ⊂ U , F (x) ⊂ V .
Do F (x) ⊂ M nên ta có F (x) ⊂ UM và F (x) ⊂ VM .
Vì F (x) = ∅ nên UM ∩ VM = ∅, trái với (2.1). Suy ra X1 ∩ X2 = ∅.
Từ đó suy ra dom F , xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của X không
phải là không gian liên thông, điều này trái với giả thiết.
Suy ra rge F là không gian liên thông.
b) Giả sử F là nửa liên tục dưới ở trong X, dom F là tập liên thông và
F (x) cũng là liên thông với ∀x ∈ X.
Ta chứng minh bằng phản chứng bởi giả sử rằng M = rge F không liên
thông thì tồn tại các tập mở U, V thỏa mãn UM ∩VM = ∅, UM ∪VM = M
ở đó
UM = U ∩ M , VM = V ∩ M , UM , VM = ∅.

Footer Page 25 of 161.

19