BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Nhung

LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ BA NGHIỆM

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Thạc sĩ Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017




Lời cam đoan
Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo, Th.S Nguyễn Quốc Tuấn cùng với sự cố gắng của bản thân tôi.
Trong quá trình thực hiện tôi có tham khảo một số tài liệu (như đã
nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan những nội dung trình bày trong khóa luận là
kết quả của quá trình tìm hiểu, tham khảo và học tập của bản thân,
không trùng lặp với kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trần Thị Nhung

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời nói đầu


Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Hàm khả vi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Tôpô yếu, hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1


Một số định lý tồn tại nghiệm

. . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Tài liệu tham khảo

28

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Lời nói đầu
John Von Neumann là một nhà toán học người Mỹ gốc Hungary.
Ông đã có những đóng góp vào vật lý lượng tử, giải tích, thống kê và


Không gian Banach, không gian Hilbert
Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn là một không gian
tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực
R, ký hiệu là · và đọc là chuẩn và thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i. Với mọi x ∈ X thì x ≥ 0, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
ii. Với mọi x ∈ X, mọi α ∈ R thì αx = |α|. x ;
iii. Với mọi x, y ∈ X thì x + y ≤ x + y .
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu không gian
định chuẩn là X. Các tiên đề i, ii, iii được gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {x}n∈N của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Dãy {x}n∈N của không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu mọi ε > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

N (ε) > 0 sao cho
xm − xn < ε với mọi m, n > N (ε).
Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5. Một tập A trong không gian X được gọi là compact

iii. X là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.10. Một phiếm hàm f : X −→ R xác định trên
không gian Hilbert X được gọi là bức (coercive) nếu thỏa mãn
lim f (x) = +∞.

x →+∞

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức H¨older). Cho Ω ⊂ X. Hàm f ∈ Lp (Ω),
g ∈ Lq (Ω),

1
p

+

1
q

= 1 thì f g ∈ L1 (Ω). Khi đó
|f g|dµ ≤ f p . g

q

với 1 ≤ p < ∞.

Ω


m

λi = 1, sao cho x =
i=1

λi xi .
i=1

Mệnh đề 1.2.
i. Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R. Khi đó, các tập A + B và
αA đều là các tập lồi.
ii. Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là
tập lồi.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh i. Thật vậy, lấy các phần tử
a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1). Do A và B là các tập lồi nên
λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A và λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B. Ta có
λ(a1 +b1 )+(1−λ)(a2 +b2 ) = [λa1 +(1−λ)a2 ]+[λb1 +(1−λ)b2 ] ∈ A+B,
λ(αa1 ) + (1 − λ)(αa2 ) = α(λa1 + (1 − λ)a2 ) ∈ αA.
Vậy A + B và αA là các tập lồi.
Tiếp theo ta chứng minh ii. Giả sử F ∈ L(X, Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y
là các tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có
λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) = F (λx1 + (1 − λ)x2 ) ∈ F (A),
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

suy ra F (A) là tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ F −1 (B) (tức F (x1 ), F (x2 ) ∈ B)

Hàm nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.2.5. Một hàm f : X → R được gọi là nửa liên tục
dưới tại x0 nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Nói cách khác, với mọi γ < f (x0 ) tồn tại lân cận gốc V sao cho
f (x) > γ, ∀x ∈ x0 + V.
thì hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại
mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.6. Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm nửa liên
tục dưới yếu theo dãy nếu f (x) ≤ lim inf f (xn ) với mọi dãy {xn } trong
n→∞

X hội tụ yếu đến x ∈ X.
Mệnh đề 1.3. Cho f : X −→ R, ba mệnh đề sau là tương đương
i. Hàm f nửa liên tục dưới;
ii. Tập C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R;
iii. Tập epi f là tập đóng trong X × R.
Định nghĩa 1.2.7. Cho phiếm hàm f trên không gian Hilbert X. Ta
nói x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lân
cận gốc V sao cho
f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V,

(1.1)

f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X,

(1.2)


f (x0 ; d) := lim

Hàm f gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại x∗ thuộc không gian
phiếm hàm tuyến tính liên tục X ∗ của X sao cho
f (x0 + λd) − f (x0 )
= d, x∗ , ∀d ∈ X.
λ→0
λ
lim

phiếm hàm fG (x0 ) = x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là
đạo hàm Gâteaux của f tại x0 .
Định nghĩa 1.3.2. Hàm f khả vi Gâteaux trên không gian Banach
X được gọi là thỏa mãn điều kiện Palais-Smale nếu tồn tại dãy {xn }
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

trong X sao cho sup |f (xn )| < ∞ và lim f (xn )
n→∞

n∈N

X∗

= 0 chứa một



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

là một không gian đo được và A, B là hai không gian tôpô. Ta nói hàm
f : X × A → B là một hàm Carathéodory nếu
i. Với mỗi x ∈ A, hàm f (·, x) : X → B là đo được;
ii. Với mỗi t ∈ X, hàm f (t, ·) : A → B là liên tục.

11


Chương 2
LỚP BÀI TOÁN NEUMANN CÓ
BA NGHIỆM
2.1

Không gian Sobolev W 1,p(Ω)

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng mở hữu hạn hoặc
vô hạn trong Rn , p là số thực dương thỏa mãn 1 ≤ p ≤ ∞. Ký hiệu
W 1,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}.
Thấy W 1,p (Ω) cùng với phép toán cộng hai hàm số, phép nhân một số
với một hàm thông thường làm thành một không gian vectơ trên Rn .
Trên W 1,p (Ω), chúng ta trang bị chuẩn
u

W 1,p (Ω)

và chuẩn tương ứng
u

W 1,p (Ω)

=

u

2
L2

+ Du

2
L2

1
2

.

Chúng ta đặt H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω).
Định lý 2.1. (Định lý nhúng Sobolev) Các phép nhúng sau là liên
tục
W 1,p (Ω) ⊂


np


ở đây hằng số c chỉ phụ thuộc vào p và n.

2.2

Một số định lý tồn tại nghiệm

Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian tôpô Hausdorff địa phương
và hàm J, Φ : X → R sao cho với mỗi λ > 0 hàm số J + λΦ có các
tập mức dưới compact theo dãy. M là tập (có thể rỗng) gồm tất cả
cực tiểu toàn cục của J. Giả sử
inf Φ < β := min inf Φ, sup Φ ,
X

M

X

quy ước inf Φ = +∞. Khi đó, ít nhất một trong những khẳng định
∅

sau đúng:
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

i. Với mỗi t ∈ inf Φ, β , hạn chế của J trên Φ−1 (t) có duy nhất
X


r≤ x−x0 ≤s

J(x)

(2.2)

ˆ > 0 sao cho phương trình
Khi đó, tồn tại λ
ˆ (x) = x0
x + λJ
có ít nhất ba nghiệm.
Chứng minh. Xét hàm số Φ : X → R




x − x0 2



Φ(x) =
r2





 x − x0 2 + r2 − s2



∅

theo bất đẳng thức đầu trong (2.2), chúng ta suy ra β > r2 và
inf x − x0 > s.

x∈M

Giả sử, g : (0, β) → X là hàm sao cho Φ(g(t)) = t, với mọi t ∈ (0, β).
Đặc biệt, chúng ta có
r ≤ g(r2 ) − x0 ≤ s,
g(t) − x0 < r,
mọi t ∈ (0, r2 ) và
g(t) − x0 > s với t ∈ (r2 , β).
Từ đó, chúng ta suy ra g không liên tục tại r2 . Dễ thấy, khẳng định
i của Mệnh đề 2.1 không đúng ( t → xˆt là hàm số liên tục thỏa mãn
Φ(ˆ
xt ) = t với mọi t ∈ (0, β)). Do đó, tồn tại λ∗ > 0 sao cho hàm số
J + λ∗ Φ có ít nhất hai cực tiểu toàn cục trong X, kí hiệu là x1 và x2 .
Từ bất đẳng thức cuối trong (2.2), ta suy ra
J(x0 ) + λ∗ Φ(x0 ) = J(x0 ) < J(x) + λ∗ r2 = J(x) + λ∗ Φ(x)
với mọi x ∈ X thỏa mãn r ≤ x − x0 ≤ s. Do đó, x1 và x2 thuộc một
trong các tập mở {x ∈ X : x − x0 < r} và {x ∈ X : x − x0 > s}.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

tu (t)dt + ϕ
0

0

Ta thấy J là một phiếm hàm C 1 trên L2 ([0, 1]) thỏa mãn (2.1). Ngoài
1

u2 (t)dt < δ thì

ra, ta chú ý thêm J(1) < 0. Hơn nữa, nếu ta có
0

J(u) ≥ J(0) = 0. Vì vậy, bất đẳng thức (2.2) đúng với điều kiện x0 = 0
√
và 0 < r < s < δ.
Giả sử λ ∈ R, u ∈ L2 ([0, 1]) thỏa mãn phương trình u + λJ (u) = 0.
Điều này nghĩa là với mọi v ∈ L2 ([0, 1]), ta có
1

1

u2 (τ )dτ

1 + 2λ t + ϕ

u(t)v(t)dt = 0.

0



thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Từ

bất đẳng thức đầu trong (2.1), tồn tại x˜ ∈ X với x˜ − x0 < s thỏa
)−J(˜
x)
mãn J(˜
x) < J(x0 ). Khi đó, với mỗi λ ∈ 0, J(xx˜0−x
thì phiếm hàm
2
0

x → J(x) + λ x − x0

2

bức, nửa liên tục dưới yếu theo dãy, có một cực

tiểu toàn cục khác x0 (tùy theo giá trị λ). Từ Hệ quả 1 của [14], x0
gần với cực tiểu địa phương của phiếm hàm này. Do đó, trong trường
hợp tầm thường thì ta có thể chứng minh trực tiếp mà không cần sử
dụng đến Mệnh đề 2.1. Theo điều kiện compact theo dãy trong Mệnh
đề 2.1, chúng ta không thể xét trên tôpô mạnh mà xét trên tôpô yếu
của X.
Giả sử, ta xét một hàm số g : (0, β) → X thỏa mãn Φ(g(t)) = t với
mọi t ∈ (0, β). Khi đó, g liên tục tại r2 trên tôpô yếu. Vì dim(X) = ∞,
chuẩn không liên tục yếu theo dãy nên kết luận trên là đúng . Ánh
xạ t → xˆk liên tục yếu (đưa ra trong i của Mệnh đề 2.1) là không đủ
để kết luận rằng ii đúng. Vì vậy, ánh xạ t → xˆk liên tục mạnh (nếu ii
không đúng). Theo Hệ quả 2.13 của [13], ta thấy ánh xạ này liên tục

TRẦN THỊ NHUNG

Nhận xét 2.2. Định lý 2.2 không đúng nếu thiếu điều kiện (2.1).Thật
vậy, chúng ta xét hàm J : R → R sao cho

J(x) =



0

nếu x ≤ 1;


 −(x − 1)2 nếu x > 1.
Rõ ràng, J là hàm số C 1 thỏa mãn (2.2) với x = 0 và phương trình
x + λJ (x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm với mọi λ ∈ R. Các hàm
(trong R) J(x) = x2 và J(x) = x cho chúng ta phản ví dụ cho Định lí
2.2. Khi đó, bất đẳng thức đầu tiên hoặc cuối cùng trong (2.2) không
đúng. Để kết luận, chúng ta áp dụng Định lí 2.2 với bài toán biên rời
rạc.
Xét n ∈ N, (n ≥ 2) và fk : R → R (k = 1, . . . , n) là n hàm số. Cho
λ > 0, chúng ta xét bài toán cổ điển


−(xk+1 − 2xk + xk+1 ) = λfk (xk ) k = 1, . . . , n

(Pλ )



18

sup

max |xk |.

x∈X, x =1 1≤k≤n


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TRẦN THỊ NHUNG

Định lý 2.3. Cho fk : R → R (k = 1, . . . , n) là n hàm số liên tục
thỏa mãn

t

fk (τ )dτ
lim sup

0

≤0

t2

|t|→∞

(2.5)


t

fk (τ )dτ ≤ −

sup
γr≤|t|≤δs

t

fh (τ )dτ, ∀k = 1, . . . , n (2.7)

sup
h=1,h=k |t|≤δs

0

0

ˆ > 0 sao cho bài toán (Pˆ ) có ít nhất ba nghiệm.
Khi đó, tồn tại λ
λ
Chứng minh. Với x ∈ X, đặt
n

xk

J(x) = −

fk (t)dt.