TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ HÀ MY

TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ HÀ MY

TÌM HIỂU BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ MJLS

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2017



Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết
quả của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Hà My

ii


KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Không gian Euclide n chiều.

N

Tập các số tự nhiên.

N+

Tập các số nguyên dương.

Z


sym(U )

Biểu diễn U + U T .

iii


Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

3

1.1

1.2

1.3

Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Bài toán ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ MJLS

18

2.1

Trường hợp thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Trường hợp thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . .

23

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong vài thập kỉ qua, hệ MJLS đã nhận được sự quan tâm và chú ý
của nhiều nhà khoa học. Hệ MJLS tạo bởi một số hữu hạn các hệ tuyến
tính hay phi tuyến, trong đó quá trình chuyển đổi các hệ được mô tả bởi
xích Markov với hữu hạn trạng thái. Lớp hệ này có nhiều ứng dụng trong


2


Chương 1
Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

1.1
1.1.1

Xích Markov
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. (Quá trình ngẫu nhiên). (xem [3]) Cho T là một
tập vô hạn trong R. Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là biến ngẫu nhiên thì họ
{Xt , t ∈ T } được gọi là quá trình ngẫu nhiên.
Nếu T là một tập đếm được thì ta gọi {Xt , t ∈ T } là quá trình ngẫu
nhiên với tham số rời rạc.
Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực, tức là T thuộc một trong
các tập sau
(−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b)
thì ta gọi {Xt , t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY


P(Xn+1 = j|X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 , Xn = i)
= P(Xn+1 = j|Xn = i)
= p(n, i, n + 1, j),
với mọi i0 , i1 , ..., in−1 , i, j ∈ M và n ∈ N.
Do đó, {Xn , n ∈ N} là một xích Markov.
Ví dụ 1.1.2. Cho (Xn )n≥1 là một dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, độc
lập nhận giá trị trong tập số nguyên Z. Đặt
S0 = 0 và Sn = X1 + X2 + ... + Xn , n = 1, 2, ...
Khi đó {Sn , n ∈ N} là một xích Markov.
Thật vậy, với mọi i1 , ..., in−1 , i, j ∈ Z chúng ta có (ở đây chú ý rằng
S0 = 0)
P(Sn+1 = j|Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn+1 = j, Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn = i, Sn−1 = in−1 , ..., S1 = i1 )
P(Sn+1 − Sn = j − i, ..., S2 − S1 = i2 − i1 , S1 = i1 )
=
P(Sn − Sn−1 = i − in−1 , ..., S2 − S1 = i2 − i1 , S1 = i1 )
P(Xn+1 = j − i, Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=
P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
P(Xn+1 = j − i)P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=
P(Xn = i − in−1 , ..., X2 = i2 − i1 , X1 = i1 )
=

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


bước.
Chú ý 1.1. Với mọi i, j ∈ M , pij là xác suất có điều kiện để hệ tại
thời điểm hiện tại n ở trạng thái i chuyển sang trạng thái j ở thời điểm
tương lai n + 1.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Đặt các biến cố
A = (Xn+1 = j),
B = (Xn = i),
C = (X0 = i0 , X1 = i1 , ..., Xn−1 = in−1 )
thì tính Markov của hệ có nghĩa là P(A|B) = P(A|BC).
Từ đó chúng ta có
P(ABC)
P(B)
P(BC)P(A|BC)
=
P(B)
P(B)P(C|B)P(A|B)
=
P(B)

P(AC|B) =

= P(C|B)P(A|B),
tức là quá khứ và tương lai độc lập với nhau khi biết hiện tại.

Rõ ràng pij = pij .

1.1.3

Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.3. (xem [3]) Phân phối của xích tại thời điểm n được cho
bởi công thức sau
(n)

pj = P(Xn = j); n = 0, 1, 2, . . . ; j ∈ M.
(n)

Đặt P (n) = (pj , j ∈ M) và gọi P = P (0) là phân phối ban đầu
của xích.
(n)

Chúng ta quy ước, viết (P (n) ) = (pj , j ∈ M) là véc tơ hàng. Khi đó
ta có
P (n) = P.Π(n)
P (n+1) = P (n) .Π
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

P (n+1) = P (1) .Π(n)
P (n+m) = P (n) .Π(m) .


x(0) = x

0

trong đó,
x(k) ∈ Rn là véc tơ trạng thái,
u(k) ∈ Rl là véc tơ điều khiển đầu vào,
A(rk ), B(rk ) là các ma trận hằng với số chiều thích hợp.
Quá trình chuyển đổi giữa các mode của hệ được mô tả bởi {rk , k ∈ Z+ }
là một xích Markov hữu hạn thuần nhất với không gian trạng thái
M = {1, 2, ..., N } và ma trận xác suất chuyển Π = (πij )N ×N trong
đó
P {rk+1 = j | rk = i} = πij ,
N

thỏa mãn πij ≥ 0 , ∀i, j ∈ M và

πij = 1 , ∀i ∈ M.
j=1

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Kí hiệu π = (π1 , π2 , ..., πN ) là phân phối ban đầu của xích Markov,
trong đó

πij Pj .
j=1

Giả thiết:
Đối với xích Markov rời rạc và thuần nhất {rk , k ∈ Z+ } chúng ta giả
thiết rằng ma trận xác suất chuyển Π chỉ biết thông tin một phần, tức
là, ma trận Π có dạng

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY



π
 11

 ?


 π13

?

? π13
?



(1.3)

Hơn nữa, nếu MiK = ∅, chúng ta kí hiệu
i
MiK = (K1i , ..., Km
), ∀ 1 ≤ m ≤ N,

(1.4)

i
với Km
∈ N+ là phần tử đã biết thứ m trong hàng thứ i của ma trận Π

và
πKi

πij .
j∈MiK

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

HOÀNG THỊ HÀ MY

Hệ CMJLS



1 + λ h + o(h) nếu j = i,
ii
o(h)
= 0, λij ≥ 0 ( i, j ∈ M, j = i),
h→0 h

với h > 0 , lim
N

λii = −

λij với mọi i ∈ M.
j=1,j=i

Kí hiệu λ = (λ1 , λ2 , ..., λN ) là phân phối ban đầu của quá trình
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Markov, trong đó
λj = P(r0 = j) , j ∈ M.
Chú ý 1.4. Khi rt = i ta sử dụng kí hiệu (Ai , Bi ) cho (A(rt ), B(rt )).
Định nghĩa 1.5. (Ổn định ngẫu nhiên) (xem [3]) Hệ (1.5) với u(t) =
0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu
∞


λ
 11

 ?


 λ13

?

? λ13
?

?

? λ33
? λ43
14

?





λ24 
,

? 

i
∈ N+ là phần tử đã biết thứ m trong hàng thứ i của ma trận Λ
với Km

và
λiK

1.3

λij .
j∈MiK

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.3. Cho W là ma trận khả nghịch, khi đó với bất kỳ ma trận
U, V kích thước phù hợp, ta có



−1

U −VW V
0

T

0
W



−W V

0
T

I


.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Chứng minh. Ta biến đổi vế phải về vế trái, ta có



=

=

=

I −V W
0




V −V

W

0
.
W





U − V W−1 V T
VT
U − V W−1 V T




Do đó



=

=

I −V W
0


W

V
W



.

Vậy bổ đề được chứng minh.

16



I

0

−1

−W V
I

0

−W−1 V T I

T


I
−1

−W V

0
T

I


 . Khi đó, Q là không suy biến.

Từ Bổ đề 1.1 ta có




−1 T
U V
U −VW V
0
Q = 
.
QT 
VT W
0
W
Do đó, ta có


trong đó Ki , i ∈ M là các ma trận điều khiển ngược cần phải xác định.
Với bộ điều khiển ngược (2.1), chúng ta có hệ đóng của (1.1) là
x(x + 1) = [A(rk ) + B(rk ).K(rk )] x(k), k ∈ Z+ .

(2.2)

Định nghĩa 2.1. (xem [3]) Hệ (1.1) được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại
một bộ điều khiển (2.1) sao cho hệ đóng (2.2) là ổn định ngẫu nhiên.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

HOÀNG THỊ HÀ MY

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày phương pháp tìm bộ điều khiển
ngược (2.1) sao cho hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển biết thông tin
một phần là ổn định hóa. Định lí sau đưa ra điều kiện đủ về ổn định
ngẫu nhiên của hệ ngẫu nhiên (1.1) với ma trận xác suất chuyển chỉ biết
thông tin từng phần.
Định lý 2.1. (xem [3]) Xét hệ (1.1) với ma trận xác suất chuyển chỉ
biết thông tin từng phần. Khi đó hệ là ổn định ngẫu nhiên nếu tồn tại
ma trận Pi > 0 , i ∈ M sao cho các bất đẳng thức sau đúng

trong đó P˜Ki

ATi P˜Ki Ai − πKi Pi < 0 ,

(2.3)

j∈M

Từ (1.3) ta có



Ψi = ATi 





πij Pj  Ai − 
j∈MiK



j∈MiK



+ ATi 

πij  Pi




πij Pj  Ai − 
j∈MiU K