BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------Nguyễn Minh Đức

NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT WAVELET VÀ
ỨNG DỤNG LOẠI TRỪ NHIỄU DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU
HỆ THỐNG

Chuyên ngành: Điện tử viễn thông

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Điện tử viễn thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
1.
2.

Hà Nội – Năm 2010


Lời mở đầu

Lời mở đầu
Khử nhiễu tín hiệu luôn được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện
thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề đặt ra là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên
bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu
nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín
hiệu. Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có
những ưu điểm và nhược điểm riêng. Những phương pháp khử nhiễu truyền thống
sử dụng phương pháp lọc tuyến tính như lọc Wiener (Wiener filtering), lọc phù hợp
(Matched filtering), lọc thích nghi (Adaptive filtering)... Gần đây, người ta còn sử

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Hữu Trung
và TS. Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em
hoàn thành tốt đồ án này.
Em xin chân thành cảm ơn!

2


Mục lục
Lời mở đầu ..................................................................................................................1
Mục lục........................................................................................................................3
Danh sách hình vẽ .......................................................................................................6
Danh sách bảng ...........................................................................................................7
Chương 1:....................................................................................................................8
Giới thiệu.....................................................................................................................8
1. Giới thiệu chung ..............................................................................................8
1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số........................................................10
1.2 Độ phân giải thời gian và tần số ..................................................................11
2. Tổ chức luận văn............................................................................................12
Chương 2:..................................................................................................................13
2.1 Giới thiệu chung về Wavelet .......................................................................13
Lịch sử hình thành Wavelet ......................................................................................14
2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet..........................................................16
2.2.1 Biến đổi Fourier ........................................................................................17
2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet .....................................................................20
2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier .......................21
2.2.4 Sự khác biệt giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier ..........................22
2.3 Biến đổi Wavelet liên tục ............................................................................23
2.3.1 Định nghĩa.................................................................................................23
2.3.2 Đặc điểm của CWT ..................................................................................25


Lựa chọn phân tích tối ưu ......................................................................48

2.7 Các họ Wavelet............................................................................................49
2.8 Ứng dụng của Wavelet ................................................................................51
2.8.1 Giới thiệu các ứng dụng của Wavelet.......................................................51
2.8.2 Wavelet trong các ứng dụng y sinh ..........................................................52
Chương 3:..................................................................................................................56
3.1 Giới thiệu về khử nhiễu tín hiệu ..................................................................57
3.2 Sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) ...................................................58
3.3 Khái niệm khử nhiễu....................................................................................59
3.4 Quy trình khử nhiễu.....................................................................................60
3.4.1 Phân tích ...................................................................................................61
3.4.2 Lấy ngưỡng...............................................................................................61

4


3.4.2.1 Lấy ngưỡng Wavelet..............................................................................61
3.4.2.2 Xác định ngưỡng....................................................................................65
3.4.3 Khôi phục..................................................................................................67
3.5 Khử nhiễu tín hiệu dựa trên phương pháp tối ưu hệ thống..........................67
Chương 4:..................................................................................................................69
Mô phỏng và kết luận................................................................................................69
4.1 Giới thiệu về chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp
tối ưu hệ thống ...................................................................................................69
4.1.1 Giới thiệu chung .......................................................................................69
4.1.2 Giới thiệu chung .......................................................................................72
4.2 Nhận xét kết quả khử nhiễu thu được..........................................................74
4.3 Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo .........................................74

Hình 4.2: Kết quả SNR thu được sau khi khử nhiễu................................................. 71
Hình 4.3: Kết quả SNR thu được sau khi khử nhiễu; ............................................... 73

6


Danh sách bảng
Bảng 2.1: Tổng kết tính chất của một số Wavelet .................................................... 51
Bảng 4.1: Bảng tổng hợp kết quả thu được theo mô phỏng 4.3................................ 72

7


Chương 1. Giới thiệu

Chương 1:

Giới thiệu

1. Giới thiệu chung
Khử nhiễu tín hiệu luôn được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện
thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề đặt ra là làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên
bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống với tín hiệu
nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín
hiệu. Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có
những ưu điểm và nhược điểm riêng.
Xử lý tín hiệu đã trở thành một công cụ quan trong trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của khoa học và công nghệ. Phạm vi ứng dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu bao
trùm tất cả các lĩnh vực ứng dụng từ phân tích dữ liệu đến nén tín hiệu. Một trong
những công cụ mới và rất mạnh trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đó là phép biến đổi


Trong đó a là tỷ lệ (scale), đây là yếu tố quan trọng cho phép thay đổi độ phân
giải thời gian và độ phân giải tần số khi phân tích tín hiệu. Quy trình phân tích
wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là Wavelet phân tích
(analyzing Wavelet) hay Wavelet mẹ (mother Wavelet). Phân tích thời gian được
thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong khi phân tích
tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet mẹ.
Hiện nay biến đổi Wavelet là vấn đề đang được nhiều nhà toán học và kỹ thuật
trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Biến đổi Wavelet ngày càng chứng tỏ khả năng
ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiên văn học, âm học, kỹ
thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo

9


Chương 1. Giới thiệu

động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân
từng phần (partial differential equation).
Lý thuyết Wavelet được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật y sinh kể từ khi nghiên
cứu về Wavelet đầu tiên được công bố chính thức vào cuối những năm 1980. Tạp
chí đầu tiên về Wavelet trong kỹ thuật y sinh được phát hành vào tháng ba năm
1995, công bố những nghiên cứu về tín hiệu EMG, EEG, và ECG,…cho thấy ưu thế
ứng dụng của Wavelet trong những lĩnh vực mà các công cụ phân tích truyền thống
không thể áp dụng tốt. Nhờ kỹ thuật này mà độ chính xác, độ tin cậy của các hệ
chẩn đoán ứng dụng trí tuệ nhân tạo ngày càng được nâng cao

1.1 Các công cụ phân tích thời gian-tần số
Phân tích thời gian-tần số truyền thống được thực hiện nhờ biến đổi Fourier.

biểu diễn thời gian-tần số sử dụng các hàm cơ bản như là dịch theo thời gian và lấy
tỷ lệ. Rõ ràng dịch theo thời gian bởi τ dẫn đến sự dịch ô ngói theo τ qua trục thời
jw t
gian. Tương tự như vậy, nhân với e S dẫn đến dịch ô ngói bởi wS. Ngoài ra, cần

chú ỷ rằng hình dạng của ô ngói không hoàn toàn là hình chữ nhật lý tưởng hay
không có kích thước hẹp vô hạn. Hình dạng thực của ô ngói được xác định bởi hàm
cơ sở được sử dụng cho khai triển.
Giả thiết tín hiệu f (t ) tập trung quanh t0 với phổ tần số F(w) tập trung quanh
w0,

∆ t biểu diễn độ phân giải thời gian của f (t ) , ∆ w là độ phân giải tần số của

F(w).
2

∆t =
∆w

2

∞

1
(t − t0 )2 f (t ) 2 dt
∫
E −∞

1 1
=


2

∆t ∆w ≥

1
2

(1.4)

2. Tổ chức luận văn
Mục tiêu thứ nhất của đồ án là giới thiệu và trình bày chi tiết về lý thuyết
Wavelet, đưa ra các đặc điểm chi tiết của Wavelet và ứng dụng của Wavelet, nhấn
mạnh ứng dụng của Wavelet trong xử lý nhiễu. Mục tiêu thứ hai là đề xuất ý tưởng
khôi phục các đột biến
Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài Ứng dụng Wavelet khử nhiễu tín hiệu
ECG, đồ án của em được cấu trúc như sau:
Chương 1: Giới thiệu. Giới thiệu chung một số khái niệm trong đồ án, trình bày

mục đích, nội dung và những yêu cầu đặt ra trong đồ án.
Chương 2: Lý thuyết Wavelet. Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những

đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau. Giới thiệu những ưu điểm và
ứng dụng của Wavelet.
Chương 3: Ứng dụng Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu bằng phương pháp
tối ưu hệ thống. Chương ba trình bày các kỹ thuật khử nhiễu tín hiệu, tập trung vào

phương pháp khử nhiễu lấy ngưỡng, ứng dụng phương pháp lấy ngưỡng trong khử
nhiễu tín hiệu, khôi phục các đột biến của tín hiệu.
Chương 4: Mô phỏng và kết luận. Chương bốn giới thiệu chương trình mô

Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu
diễn một hàm khác. Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân
tích dữ liệu theo một cách đặc biệt. Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ
lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau. Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ
lớn, chúng ta sẽ nhận được các đặc điểm chung. Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ
liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn.
Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là
Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet). Phân tích
thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong
khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet
mẹ. Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển
Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính
toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng. Và nếu
như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng
nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã hoá rời rạc (sparse
coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ
liệu.
Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,
kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,
âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,
turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải
phương trình vi phân từng phần (partial differential equation).

Lịch sử hình thành Wavelet
Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi
Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet.
Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên

14


0

1

π

2π

∫

f ( x) cos(kx)dx,

0

bk =

1

π

2π

∫ f ( x) sin(kx)dx

(2.2)

0

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,
và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới

(2.3)

Các nhà nghiên cứu đã tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo toàn
năng lượng khi tính toán năng lượng hàm. David Marr đã đưa ra với thuật toán hiệu
quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet.
1960-1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã
nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),
với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp
“assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các
atoms. Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa
chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra
một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý.
Cuối những năm 80

Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu
Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Stephane
Mallat đã khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters), các
thuật toán hình chóp (pyramid algorithm), và các cơ sở Wavelet trực chuẩn. Dựa
trên những kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng Wavelet Y.Meyer. Khác với Wavelet
Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục. Sau đó một vài năm, Ingrid Daubechies đã
ứng dụng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các hàm cơ sở trực
chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay.

2.2 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

16



∫ F (w)e

iwt

dw

−∞

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ
-∝ tới +∝. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi
theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó có nghĩa là biến
đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần số
nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ đó.
Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier
nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra. Trong biến đổi STFT,
tín hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân
chia có thể coi là dừng (stationary). Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn.
Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu
là phù hợp. Định nghĩa STFT:

17


Chương 2. Lý thuyết Wavelet

STFT (l , w) = ∫ [ f (t ) w* (t − l )]e − jwt dt
t

(2.5)
với w là hàm cửa sổ.


Hình 2.2: Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số. Trục hoành biểu diễn
thời gian, trục tung biểu diễn tần số

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải
tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém
hơn ở tần số thấp. Phép tính gần đúng này có ý nghĩa đặc biệt khi tín hiệu gốc có

19


Chương 2. Lý thuyết Wavelet

các thành phần tần số cao với khoảng thời gian tồn tại ngắn và các thành phần tần
số thấp với khoảng thời gian tồn tại dài, đó là trường hợp của hầu hết các tín hiệu y
sinh: tín hiệu điện não đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG
(electromyogram), và điện tâm đồ ECG (electrocardiogram).

2.2.2 Khái niệm biến đổi Wavelet
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa (Daubechies92):
+∞

C (a, b) = ∫ f (t )ψ * a ,b (t )dt
−∞

−

1

(2.6)


1. Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản.
2. Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín
hiệu. Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn. Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc
vào hình dạng của Wavelet đã chọn.
3. Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn
bộ tín hiệu.
4. Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3.

Hình 2.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (2.6)

2.2.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép
toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền
đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n.
Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là
tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị
của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép
quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm
cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ
sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay
Wavelet phân tích (analyzing wavelet).
Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân
bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng
để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất.

21


Chương 2. Lý thuyết Wavelet

của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin. Thay vào đó, các biến
đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng. Do vậy, phân tích
Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so
với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier

2.3 Biến đổi Wavelet liên tục
2.3.1 Định nghĩa
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:
+∞

W (a, b) = ∫ f (t )ψ * a ,b (t )dt
−∞

23

(2.8)


Chương 2. Lý thuyết Wavelet

với a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t) là liên hợp
phức của hàm wavelet ψa,b(t). Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψ a ,b (t ) có
thể thu được từ Wavelet cơ bản:
−

1
2

⎛t −b⎞
⎟


a ,b

(t )

dadb
a2

(2.10)
trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:
2

ψˆ (ω )
Cψ = ∫
dω < +∞
ω
−∞
+∞

(2.11)
với ψˆ (ω ) là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ a ,b (t ) . Cψ là hằng số phụ thuộc vào
hàm Wavelet ψ a ,b (t ) . Cψ là hữu hạn chỉ khi hàm ψˆ (0) = 0 hay điều kiện tương
đương:
+∞

∫ψ (t )dt = 0

−∞

(2.12)