Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

270 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh 7 l{ số vô tỉ.
2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd) 2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x 2 + y2.
ab
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
 ab .
2
bc ca ab
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
  abc
a
b
c
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm gi| trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
7. Cho a, b, c l{ c|c số dương. Chứng minh: a 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa c|c số a v{ b biết rằng: a  b  a  b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 v{ abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm c|c gi| trị của x sao cho:
a) | 2x – 3 | = | 1 – x |
2


T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

21. Cho S 

1
1
1
1
. Hãy so sánh S và

 .... 
 ... 
1.1998
2.1997
k(1998  k  1)
1998  1

1998
.
1999
22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải l{ số chính phương thì
tỉ.
23. Cho c|c số x v{ y cùng dấu. Chứng minh rằng:
x y

b) m 

x 2 y2 z 2 x y z
 
   .
y2 z 2 x 2 y z x
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ l{ một số vô tỉ.
29. Chứng minh c|c bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng:  x    y   x  y .
27. Cho c|c số x, y, z dương. Chứng minh rằng:

32. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A 

1
.
x  6x  17
2

x y z
  với x, y, z > 0.
y z x
34. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm gi| trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem c|c số a v{ b có thể l{ số vô tỉ không nếu:
a
a) ab và l{ số vô tỉ.

40. Cho số nguyên dương a. Xét c|c số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Chứng minh rằng trong c|c số đó, tồn tại hai số m{ hai chữ số đầu tiên l{ 96.
41. Tìm các gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
1
2
A= x 2  3 B 
C
D
E  x   2x
x
x 2  4x  5
1 x2  3
x  2x  1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

G  3x  1  5x  3  x 2  x  1
42. a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi n{o ?
b) Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức sau: M  x 2  4x  4  x 2  6x  9 .
c) Giải phương trình:

4x 2  20x  25  x 2  8x  16  x 2  18x  81

43. Giải phương trình: 2x 2  8x  3 x 2  4x  5  12 .
44. Tìm c|c gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa:
1
1
A  x2  x  2
B

50. Tính: a)

42 3

b)

11  6 2

d) A  m2  8m  16  m2  8m  16
51. Rút gọn biểu thức: M 

c)

27  10 2

e) B  n  2 n  1  n  2 n  1 (n ≥ 1)

8 41
45  4 41  45  4 41

.

52. Tìm c|c số x, y, z thỏa m~n đẳng thức: (2x  y)2  (y  2)2  (x  y  z) 2  0
53. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: P  25x 2  20x  4  25x 2  30x  9 .
54. Giải c|c phương trình sau:

a) x 2  x  2  x  2  0
d) x  x 4  2x 2  1  1

b) x 2  1  1  x 2

b) m  2 m  1  m  2 m  1

c) 2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3
57. Chứng minh rằng

2 3 

58. Rút gọn c|c biểu thức:
a) C 

62





d) 227  30 2  123  22 2

6
2
.

2
2

6  3  2  62



6 3 2


11  2 10

b)

9  2 14

c)

3  11  6 2  5  2 6
2  6  2 5  7  2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức:
63. Giải bất phương trình:

1 1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b c
a b c

x 2  16x  60  x  6 .

64. Tìm x sao cho: x 2  3  3  x 2 .
65. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng:
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:


.

x  x  2x x  x  2x
a) Tìm gi| trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm gi| trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập ph}n đầu tiên của số: 0,9999....9 (20 chữ số 9)
2

2

69. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của: A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm gi| trị nhỏ nhất của A = x 4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số: n  n  2 và 2 n+1 (n l{ số nguyên dương), số n{o lớn hơn ?
72. Cho biểu thức A  7  4 3  7  4 3 . Tính gi| trị của A theo hai c|ch.
73. Tính: ( 2  3  5)( 2  3  5)( 2  3  5)( 2  3  5)
74. Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:

3 5 ;

3  2 ; 2 2 3

75. H~y so s|nh hai số: a  3 3  3 và b=2 2  1 ;
76. So sánh

2  5 và

5 1
2

4  7  4  7  2 v{ số 0.


a b



2

 2 2(a  b) ab (a, b ≥ 0).

87. Chứng minh rằng nếu c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập được th{nh một tam gi|c
thì c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c cũng lập được th{nh một tam gi|c.
88. Rút gọn:

ab  b2
a

a) A 
b
b

(x  2)2  8x
b) B 
.
2
x
x

89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có:

a2  2

7 6

x  2  3 2x  5  x  2  2x  5  2 2 .
1.3.5...(2n  1)
1
94. Chứng minh rằng ta luôn có: Pn 
; n  Z+

2.4.6...2n
2n  1
93. Giải phương trình:

95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì

a b

a2
b2

.
b
a

x  4(x  1)  x  4(x  1) 
1 
. 1 
.
2
 x 1 
x  4(x  1)


5  3  29  6 20


c)  7  48 

99. So sánh:
a) 3  5 và 15

; b) 2 3  5  13  48 .


28  16 3  .


7  48 .

b) 2  15 và 12  7
16
c) 18  19 và 9
d)
và 5. 25
2
100. Cho hằng đẳng thức:
a  a2  b
a  a2  b
a b 

(a, b > 0 và a2 – b > 0).
2


a) A 

xy  x 2  1. y 2  1

1
1
1
1
với x   a   , y   b  
2
a
2
b
xy  x 2  1. y 2  1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

(a > 1 ; b > 1)

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b) B 

e) 1  2 1  3x

c) 1  2  x

g) 2x 2  2x  5

d) x  5  4

h) 1  x 2  2x  5

i)

1
2x  x  3

105. Rút gọn biểu thức: A  x  2x  1  x  2x  1 , bằng ba c|ch ?

5 3  5 48  10 7  4 3

106. Rút gọn c|c biểu thức sau: a)

b)

4  10  2 5  4  10  2 5

c)

94  42 5  94  42 5 .

107. Chứng minh c|c hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥


2

.

a2
b2
c2
a bc



111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
.
bc ca a b
2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh:
a) a  1  b  1  c  1  3,5
b) a  b  b  c  c  a  6 .
113. CM:

a

2

 c2  b2  c2  

a

2

123. Chứng minh x  2  4  x  2 .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương ph|p hình học:

a 2  b2 . b2  c2  b(a  c)

với a, b, c > 0.

125. Chứng minh (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập được th{nh một tam gi|c
thì c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c cũng lập được th{nh một tam gi|c.

(a  b)2 a  b
127. Chứng minh

 a b  b a với a, b ≥ 0.
2
4
a
b
c


 2 với a, b, c > 0.
128. Chứng minh
bc
a c
ab
129. Cho x 1  y2  y 1  x 2  1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm gi| trị nhỏ nhất của A  x  2 x  1  x  2 x  1
131. Tìm GTNN, GTLN của A  1  x  1  x .

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa m~n

139. Tìm gi| trị lớn nhất của: a) A 
b) B 



a b

 
4



a c

 
4





a b

a d



 

b
c

141. Tìm GTNN của A 
với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
cd ab
142. Giải c|c phương trình sau:
a) x 2  5x  2 3x  12  0
b) x 2  4x  8 x  1
c) 4x  1  3x  4  1

d) x  1  x  1  2

e) x  2 x  1  x  1  1

h) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2  1
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

g) x  2x  1  x  2x  1  2
i) x  x  1  x  1
T: 098 1821 807

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

k) 1  x 2  x  x  1




1
1
1

 .... 
2
2
3
n
1
.
b)
x  x 1



n 1 1 .

146. Tính:

5  3  29  6 20

a)

b) 6  2 5  13  48




10  2 . Chứng minh rằng a l{ số tự nhiên.

17  12 2
17  12 2
149. Giải c|c phương trình sau:

a)

c)

. b có phải l{ số tự nhiên không ?

b)
2





3 1 x  2





3 1 x  3 3

d) x  x  5  5


1
153. Tính: A 
.


 ... 
2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4
100 99  99 100
1
1
1
154. Chứng minh: 1 

 ... 
 n.
2
3
n
155. Cho a  17  1 . H~y tính gi| trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a –
17)2000.
156. Chứng minh: a  a  1  a  2  a  3 (a ≥ 3)
1
157. Chứng minh: x 2  x   0 (x ≥ 0)
2
158. Tìm gi| trị lớn nhất của S  x  1  y  2 , biết x + y = 4.
151. Rút gọn: A 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

7  48 

2
2



2





3 1



3  1 e) 17  4 9  4 5  5  2

161. Chứng minh c|c bất đẳng thức sau:
5 5 5 5
a) 27  6  48
b)

 10  0
5 5 5 5


5 1
5  1 


2 1 
5

2 2



7 



2  1  1,9

g)



3 5 7 3

i)

17  12 2  2  3  1
2  2  3 2 2
 0,8
4

1
 2 n  2 n  1 . Từ đó suy ra:
n

2002
x 2  3xy  y 2
166. Tính gi| trị của biểu thức: A 
với x  3  5 và y  3  5 .
xy2
6x  3
167. Giải phương trình:
 3  2 x  x2 .
x  1 x
1
b)
10x  14  1 c) 2  2 2  2x  4 .
168. Giải bất c|c pt: a) 3 3  5x  72
4
169. Rút gọn c|c biểu thức sau:
a 1
a) A  5  3  29  12 5
b) B  1  a  a(a  1)  a
a
162. Chứng minh rằng: 2 n  1  2 n 

c) C 

x  3  2 x2  9
2x  6  x 2  9

W: www.hoc247.net

d) D 


2 3 x

2

.

2
1
 với 0 < x < 1.
1 x x

172. Tìm GTLN của: a) A  x  1  y  2 biết x + y = 4 ;

b) B 

y2
x 1

x
y

173. Cho a  1997  1996 ; b  1998  1997 . So s|nh a với b, số n{o lớn hơn ?
1
174. Tìm GTNN, GTLN của: a) A 
b) B  x 2  2x  4 .
2
5 2 6x
175. Tìm gi| trị lớn nhất của A  x 1  x 2 .
176. Tìm gi| trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.

2.1998
3.1997
1999.1
183. Cho 3 số x, y v{ x  y l{ số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều l{ số
hữu tỉ
3 2
184. Cho a 
 2 6 ; b  3  2 2  6  4 2 . CMR: a, b l{ c|c số hữu tỉ.
3 2
 2 a
a  2  a a  a  a 1

185. Rút gọn biểu thức: P  
. (a > 0 ; a ≠ 1)
.
a
 a  2 a 1 a 1 
 a 1

a 1
1 

 4 a  a 
186. Chứng minh: 
  4a . (a > 0 ; a ≠ 1)
a

1
a


(a ≠ 0)
2
2
x a
187. Rút gọn:

2



W: www.hoc247.net



F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 1  a a
 1  a a

190. Cho A  1  a 2  : 
 a 
 a   1
 1  a



a  ab  
ab 
 a  ab
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm b biết | A | = -A.
c) Tính gi| trị của A khi a  5  4 2 ; b  2  6 2 .

 a 1

a 1
1 
193. Cho biểu thức A  

 4 a  a 

a 1
a
 a 1

a) Rút gọn biểu thức A.
6
b) Tìm gi| trị của A nếu a 
.
2 6
c) Tìm gi| trị của a để A  A .
 a
1  a  a a  a 
194. Cho biểu thức A  


2 3
2 3

196. Thực hiện phép tính: B 
2  2 3
2  2 3
197. Rút gọn c|c biểu thức sau:


 1
x  y  1 1 
1
2
1 
a) A 
:   .

.

 
3 
 x
xy xy  x y  x  y  2 xy
y
x

y




; 0
 ... 
 2 n  2 với n N ; n ≥ 2.
2
3
n
199. Cho a 

6  6  ...  6  6

203. Tìm phần nguyên của số

(có 100 dấu căn).

204. Cho a  2  3. Tính a) a 2 
b) a 3  .
205. Cho 3 số x, y, x  y l{ số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x , y đều l{ số hữu
tỉ
1
1
1
1
206. CMR, n ≥ 1 , n  N: 

 ... 
2
2 3 2 4 3
(n  1) n
1
1
1

 có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
b) Số  7  4 3  có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
a) Số 8  3 7

7

10

212. Kí hiệu an l{ số nguyên gần n nhất (n  N*), ví dụ:
1  1  a1  1 ;
2  1,4  a 2  1 ;
3  1,7  a 3  2 ;
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

4  2  a4  2
Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1 1 1
1
.
   ... 
a1 a 2 a 3
a1980

.

217. Tính tổng A   1   2    3   ...   24 
218. Tìm gi| trị lớn nhất của A = x2(3 – x) với x ≥ 0.
219. Giải phương trình:
a) 3 x  1  3 7  x  2
b) 3 x  2  x  1  3 .
220. Có tồn tại c|c số hữu tỉ dương a, b không nếu:
a) a  b  2 b) a  b  4 2 .
221. Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:
b) 3 2  3 4
a) 3 5
222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không }m:

abc 3
 abc .
3

a
b
c
d
1



 1 . Chứng minh rằng: abcd  .
1 a 1 b 1 c 1 d
81
2

231. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta
cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một c|i hộp hình hộp chữ nhật không
nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp l{ lớn nhất.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

232. Giải c|c phương trình sau:
a) 1  3 x  16  3 x  3

b)

x  1  3 x  1  3 5x

3

e)

3

h)

3

d) 2 3 2x  1  x 3  1

c)

3

3

a 2  3 ab  3 b 2

4

3

x 1  3 x  2  3 x  3  0

a  x  4 b  x  4 a  b  2x (a, b l{ tham số)

.

234. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x 2  x  1  x 2  x  1
235. Xác định c|c số nguyên a, b sao cho một trong c|c nghiệm của phương trình: 3x 3 +
ax2 + bx + 12 = 0 là 1  3 .
236. Chứng minh 3 3 l{ số vô tỉ.
237. Làm phép tính: a)

3

1  2. 6 3  2 2


b)

3

x  9  (x  3)2  6

c)



x 2  32  2 4 x 2  32  3







244. Tìm GTNN của biểu thức: A  x 3  2 1  x 3  1  x 3  2 1  x 3  1 .
245. Cho c|c số dương a, b, c, d. Chứng minh: a + b + c + d ≥ 4 4 abcd .
3
8 x 
x2   3
2 3 x  3 x2  4 
:
2


x


250. Chứng minh bất đẳng thức:  3 9  4 5  3 2  5  . 3 5  2  2,1  0 .


251. Rút gọn c|c biểu thức sau:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


  1 23 1
a  a b  b
4b
b
 .
a) A 
3 
3 2
3 2
3
1
3
a  ab  b
b  2   1  2.


3

4


b
b) 

 b8








 24

 b8



252. Cho M  x 2  4a  9  x 2  4x  8 . Tính gi| trị của biểu thức M biết rằng:

x 2  4x  9  x 2  4x  8  2 .
253. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: P  x 2  2ax  a 2  x 2  2bx  b2 (a < b)
254. Chứng minh rằng, nếu a, b, c l{ độ d{i 3 cạnh của một tam gi|c thì:
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)

xy  2 x y



x  y 
 xy
265. Chứng minh gi| trị biểu thức D không phụ thuộc v{o a:
 2 a
a  2  a a  a  a 1
D

với a > 0 ; a ≠ 1

a

1
a

2
a

1
a


4

1



Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


2mn
2mn 
1
267. Cho biểu thức: A=  m+
 m
1 2
2
2 
1+n
1 n 
n


với m ≥ 0 ; n ≥ 1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm gi| trị của A với m  56  24 5 .
c) Tìm gi| trị nhỏ nhất của A.

 1
1 x
1 x
1 x 
x
268. Rút gọn D  

1 

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 17


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

m
m2
(tối giản). Suy ra 7  2 hay 7n 2  m 2 (1). Đẳng
n
n
2
thức n{y chứng tỏ m 7 m{ 7 l{ số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 =
49k2 (2). Từ (1) v{ (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là
m
số nguyên tố nên n 7. m v{ n cùng chia hết cho 7 nên ph}n số
không tối giản, tr|i
n
giả thiết. Vậy 7 không phải l{ số hữu tỉ; do đó 7 l{ số vô tỉ.
2. Khai triển vế tr|i v{ đặt nh}n tử chung, ta được vế phải. Từ a)  b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1: Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó: S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2  x = y = 1.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có:
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1)  4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S  S ≥ 2.  mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho c|c cặp số dương

a c
b
c
b c
ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
3a  5b
 3a.5b .
c) Với c|c số dương 3a v{ 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
12
12
 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤
 max P =
.
5
5
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12: 2  a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼  a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x  b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra: b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên: a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 v{ a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế tr|i v{ vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên: | a + b | > | a – b |  a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
 4ab > 0  ab > 0. Vậy a v{ b l{ hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu: (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có: (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c v{ c|c bất đẳng thức n{y có hai vế
đều dương, nên: [(a + 1)(b + 1)(c + 1)] 2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥
8.
10. a) Ta có: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).

Trang | 18


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy: x = ½ .
12. Viết đẳng thức đ~ cho dưới dạng: a 2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nh}n hai vế
của (1) với 4 rồi đưa về dạng: a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có:
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra: a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥ 1998.
a  b  2  0

Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời: a  1  0
Vậy min M = 1998  a = b = 1.
b  1  0

14. Giải tương tự b{i 13.
15. Đưa đẳng thức đ~ cho về dạng: (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
1
1
1
1

 . max A=  x  2 .
16. A  2
2
x  4x  9  x  2   5 5
5
17. a) 7  15  9  16  3  4  7 . Vậy 7  15 < 7
b) 17  5  1  16  4  1  4  2  1  7  49  45 .

3 2  2 3.

2 3
2

19. Viết lại phương trình dưới dạng: 3(x  1)2  4  5(x  1)2  16  6  (x  1)2 .
Vế tr|i của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức
chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
2
ab
ab
20. Bất đẳng thức Cauchy ab 
viết lại dưới dạng ab  
 (*) (a, b ≥ 0).
2
 2 
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x v{ xy ta được:
2
 2x  xy 
2x.xy  
 4
 2 
Dấu “ = “ xảy ra khi: 2x = xy = 4: 2 tức l{ khi x = 1, y = 2.  max A = 2  x = 2, y = 2.
1998
1
2
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng:
. Áp dụng ta có S > 2.
.



2

T: 098 1821 807

Trang | 19


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 x 4 y4   x 2 y2 
x y
c) Từ c}u b suy ra:  4  4    2  2   0 . Vì   2 (c}u a). Do đó:
x  y
x 
y x
y
 x 4 y4   x 2 y2   x y 
 4  4  2  2     2.
x  y
x  y x
y
24. a) Giả sử 1  2 = m (m: số hữu tỉ) 
b) Giả sử m +

2 = m2 – 1 

3
3
= a (a: số hữu tỉ) 

Cần chứng minh tử không }m, tức l{: x 3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)
Biểu thức không đổi khi ho|n vị vòng x  y  z  x nên có thể giả sử x l{ số lớn nhất.
Xét hai trường hợp:
a) x ≥ y ≥ z > 0. T|ch z – x ở (1) th{nh – (x – y + y – z), (1) tương đương với:
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. T|ch x – y ở (1) th{nh x – z + z – y , (1) tương đương với:
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0
 z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.
C|ch kh|c: Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với:
2

x  y  z  x y z
  1    1    1       3 .
y  z  x  y z x
28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b l{ số hữu tỉ
c. Ta có: b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c v{ a l{ số hữu tỉ, nên b l{ số hữu tỉ, tr|i
với giả thiết. Vậy c phải l{ số vô tỉ.
29. a) Ta có: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét: (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển v{ rút gọn ta được:
3(a2 + b2 + c2). Vậy: (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự như c}u b
30. Giả sử a + b > 2  (a + b)3 > 8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 + 3ab(a + b) > 8
 ab(a + b) > 2  ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b: ab > a 2 – ab + b2
 (a – b)2 < 0, vô lí. Vậy a + b ≤ 2.
W: www.hoc247.net

2

nhỏ nhất  x2 – 6x + 17 nhỏ nhất.
A
1
Vậy max A =
 x = 3.
8
33. Không được dùng phép ho|n vị vòng quanh x  y  z  x v{ giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
x y z
x y z
A     33 . .  3
y z x
y z x

x y z
x y z
Do đó min      3     x  y  z
y z x
y z x
x y z x y y z y
x y
Cách 2: Ta có:            . Ta đ~ có   2 (do x, y > 0) nên để
y z x y x z x x
y x
y z y
x y z
chứng minh    3 ta chỉ cần chứng minh:    1 (1)
z x x
y z x
2

3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 21


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
4
với x, y > 0:

xy (x  y) 2
a
c
a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c 2 )
(1)



bc da
(b  c)(a  d)
(a  b  c  d) 2
b
d

96000...00 ≤ a + 15p < 97000...00
m chöõsoá0

m chöõsoá0

a 15p

< 97 (1). Gọi a + 15 l{ số có k chữ số: 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k
10m 10m
1
a
15
a 15p
15
 k  k  1 (2). Đặt x n  k  k . Theo (2) ta có x1 < 1 và k < 1.

10 10 10
10 10
10
Cho n nhận lần lượt c|c gi| trị 2, 3, 4, …, c|c gi| trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng không
qu| 1 đơn vị, khi đó  x n  sẽ trải qua c|c gi| trị 1, 2, 3, … Đến một lúc n{o đó ta có  x p  =
Tức l{ 96 ≤

a 15p

< 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh.
10k 10k
42. a) Do hai vế của bất đẳng thức không }m nên ta có:
| A + B | ≤ | A | + | B |  | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | ) 2



F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 22


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

48. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b)

5  13  4 3  5  (2 3  1)  4  2 3  3  1 . Vậy hai số n{y bằng nhau.

c) Ta có:



n  2  n 1





n  2  n  1  1 và



n+1  n

A  B
B  0
A  0

.
d) A  B    A  B
e) A  B  0  
B

0


 A  B

a) Đưa phương trình về dạng: A  B .
b) Đưa phương trình về dạng: A  B .
c) Phương trình có dạng: A  B  0 .
d) Đưa phương trình về dạng: A  B .
e) Đưa phương trình về dạng: | A | + | B | = 0
g, h, i) Phương trình vô nghiệm.
k) Đặt x  1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng: | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế tr|i.
l) Đặt: 8x  1  u  0 ; 3x  5  v  0 ; 7x  4  z  0 ; 2x  2  t  0 .

u  v  z  t
Ta được hệ:  2
. Từ đó suy ra: u = z tức l{: 8x  1  7x  4  x  3 .
2
2
2
u

xy
xy
xy

(x > y).

6 2
6 2
 6 2
 6 2
;y
;y
hoặc x 
2
2
2
2
2
1 1 1
 1 1 1
 1 1 1  1 1 1 2(c  b  a
62.      2  2  2  2     2  2  2 
=
abc
 a b c a b c
 ab bc ca  a b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi x 

W: www.hoc247.net



x 2  3 .(1 -

Đặt thừa chung:

x 2  3 ≤ x2 – 3 (1)

x2  3  0
2

x  3) ≤ 0  
1  x 2  3  0

x   3

x  2
 x  2


Vậy nghiệm của bất phương trình: x =  3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.
65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1  (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đó: A2 – 4A + 3 ≤ 0  (A – 1)(A – 3) ≤ 0  1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1  x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3  x = 0, khi đó y = ± 3 .
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.

4  x  4

2

4  x  4

2
2
x  0
x  x  2x

x   x  2x
b) A = 2 x2  2x với điều kiện trên.
c) A < 2  x 2  2x < 1  x2 – 2x < 1  (x – 1)2 < 2  - 2 < x – 1 < 2  kq
68. Đặt 0,999...99 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập ph}n đầu tiên của a là các
20chöõsoá9

chữ số 9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta có: 0 < a < 1  a(a – 1)
< 0  a2 – a < 0  a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.
Vậy 0,999...99  0,999...99 .
20chöõsoá9

20chöõsoá9

69. a) Tìm gi| trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.
A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2  max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3)
b) Tìm gi| trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b .
A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2  min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3)
70. Ta có: x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra:
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Cách 2: Tính A2 rồi suy ra A.
73. Áp dụng: (a + b)(a – b) = a2 – b2.
74. Ta chứng minh bằng phản chứng.
r2  8
a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3  5 = r  3 + 2 15 + 5 = r2  15 
. Vế
2
tr|i l{ số vô tỉ, vế phải l{ số hữu tỉ, vô lí. Vậy 3  5 l{ số vô tỉ.
b), c) Giải tương tự.
75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương: 3 3  3  2 2  1  3 3  2 2  2

   2

 3 3

2

2 2



2

 27  8  4  8 2  15  8 2  225  128 . Vậy a > b l{ đúng.

b) Bình phương hai vế lên rồi so s|nh.

4  7  4  7 , rõ ràng A > 0 và A2 = 2  A =

76. Cách 1: Đặt A =




a b

 
2

a b

 
2

2  x = ± 1 ; max A = 2  x = 0.
a b



2

 2a  2b  2 .


1
 a b
max M  2  
ab .
2

a  b  1


T: 098 1821 807

Trang | 25