■■■■■■■■ ■
TT
LÊ CẢNIị HOÀN - LÊ VÂN ANH - PHAN THÀNH NAM
TRẦN XUÂN MẠNH - LƯƠNG ANH QUốC
Mời các bạn tìm đọc:
m Ế m ư ợ r a iiT O Ể ii

Họẳmiụcọ
o u » f t f t n m Ề iio Ế

(^ c dạng bài tập
trong đ ề thỉ TH PT quốc gia
íH Ậ tt

_

_

'O

'

______

_

TÀil^UỘNTHI
TH PT QMOC GiA j

T©ÁIÌ*
__


f

i

ý

- Rèn kĩ năng giải nhanh các bài tập trọng tâm.
- Dành cho HS lớp 11,12 ôn luyện thi THPT Quốc gia
và xét tuyển OH-C0.
- Biên soạn theo nội dung ôn thi mới nhất của Bộ GD&ĐT.

M â NỘI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


-r'
^
ừ r

> .
,
NHÀ XUÂT BẢN HẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Ị
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Điện thoại: Biên tập: (04) 39714896;
Quản lí Xuất bản: (04) 39128806; tổ ng Biên tập: (04) 39715011
>

1. C hu kì, tần số và tần số góc
Từ các công thức tửửi chu kì, tần số và tần số góc để suy ra các đại lượng
cân tìm:
-C h u k ì: T - —
03

VL-9-


rr^'
„ 1 co
Tẩn số: I = -^ = —
T 2n
a. Con lắc lò xo:

+ Tần số góc: co =,
+ Chu kì; T =

+ Tần số: f = — J —
27t Vm
- Lực kéo về: F = -k x = -kAcos( cot + cp)
+ |f | tỉ lệ với |x |; Ẽluôn hướng về vị trí cân bằng.
+ F biến thiên điều hòa với chu kì T, tần số f
b. Con lác đtm:

+ Tần số góc: ®

ís '

+ Chu kì: T = 2 n J -



2 V
.2
- Liên hệ V và x: X +
=A
co
c. Gia tốc: a = v’ = x” = -co^Acos(cot + ẹ)
- ớ vị• trí biên: IlaiImax = CO^A
- ớ vị trí cân bằng: a = 0
- Liên hệ a và x: a = -co^x
- ã luôn hướng về vị trí cân bằng, a trái dấu với X.
ít
Thí dụ 1: Một vật dao động điêu hòa với phưcmg trình: X = 4cos(107ĩt - “ )
u
(cm). Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20:1 Vs (cm/s) và
\ _1 __I_I’ ^V
đang tăng kế từ lúc t = 0.
Hướng dẫn giải.
Vận tốc của vật lúc này là:
V = x ’ = - 40Ttsin(10nt---- ) = 40Ticos(107Tt H
----- ) = 2071 Vs
3
6
7Ĩ
y ỊỈ
Tí
Suy ra: cos(107it + — ) = - — = cos(± — )
7t
7Ĩ

V L - \h


9
2
Vg
, ,
50
Mà ta luôn có: ỉ v = x ị + —Y = A^- 5^ + —V
co
Cừ

co = 10(rad/s)

Ta có: k = mco^ => m =

l(Kg)
co“
10^
Thí dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi
qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ
là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 4 0 \/3 cm /s^. Biên độ dao động
của chất điểm là:
A. 4 cm
B. 5 cm
c. 8 cm
D. 10 cm
(Trích đề thi THPT Quốc gia)
Hướng dẫn giải'.
Đáp án đúng là B.


A

40\[s
Vs . 2
^ =- — Ả
2
10
co
10^

C:> A^ = 25 => A = 5(cm)

Ĩ9.
A
Thí dụ 4: Tại một noi trên mặt đất, một con lắc đcm dao động điều hoà.
Trong khoảng thời gian At, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần, thay
đổi chiều dài con lắc một đoạn 44cm thì cũng trong khoảng thời gian At
ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiểu dài ban đầu của con lắc là:
A. 144 cm
B. 100 crn
c. 60 cm
D. 80 cm
(Trích đé thi THPT Quốc gia)
Hướng dẫn giải'.
Đáp án đúng là B.
Chu kì con lắc chiều dài /: T = 2 ti, /— = —
g 60
Chu kì con lắc chiều dài / + 44: Tj = 2ti


căng dây nhỏ nhất. Giá trị củaứío là
A. 6,6“

B. 3,3“

c. 9,6“

D. 5,6“

(Trích đê thi THPT Quốc gia)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là A.
Lực căng dây; T = 3m gcosa-2m gcosaQ
Tại vị trí cân bằng;
= 3mg - 2mg cos ag
Tại vị trí biên:
= mgcosag
Ta có:
=1.02T^i^ <=> 3mg - 2mg cos tto = l,02m gcosa(j
3,02

ƠQ = 6,6°.

D Ạ N G 2: L Ậ P P H Ư Ơ N G TRÌNH D AO Đ Ộ N G ĐIÈU H Ò A
Phương pháp giải:
1. Đỏi với con lác lò xo
- Chọn gốc tọa độ: Thưòmg là VTCB.
- Chọn gốc thời gian: Thưcmg là lúc bắt đầu khảo sát dao động
- Chiều dương: Thường là chiều biến dạng (Có thể chiều ngược lại)
T-', u

+

VL-Ì3-


b. Trường hợp 2: Từ VTCB truyền cho vật vận tốc ban đầu Vq
Từ:
X = 0 = A coscp
V = Vq= -ơ) Asincp
Thì:

+

A = — , cp = -7ĩ/2 nếu Vq> 0.
co

+

A = - — , ẹ = tc/2 nếu Vq< 0.
co
c. Trường hợp 3: Kéo vật khỏi VTCB một đoạn
đầu Vq:
Từ:
x = Xo = A cosọ
(1)
V = Vg = - coAsincp
(2)
Thì:

+

Suy ra:
Thường dùng

ta n cp =
So

=> cp
SqCO

và Vq> 0 (hay Vq< 0).

Thí dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian
31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là
lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2cm theo chiều âm với tốc độ
là4oV2 cm/s. Lấy ;r = 3,14. Phưcmg trình dao động của chất điểm là:
(
^
A. X = 6cos 20t + - (cm)
l
6j

B. X = 6 cos 2 0 t - - (cm)
l
6j

í
c . X = 4 cos 20t + ^ (cm)
^
j


a

= coscp
-4 -

(0 = ^ r a d
3
A = 4cm

= 4cos 20t + - (cm).
3y
Thí dụ 2: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và
lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng theo
phưong thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm
và thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc o
trùng với vị trí cân bằng; chiều dưomg là chiều vật bắt đậu chuyển động;
gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s^. Viết phưccng trình dao động
của vật.
Hướng dẫn giải:
Vậy phưcmg trình giao động của chất điểm là:

X

Tần số góc: co =. — = 20 (rad/s)
y2
q2
Biên độ dao động: A = A = . Xq + - ^ = J ( - ^ f
5(cm)
V
co



Pha ban đầu: coscp = — = —- = - —cos(±— )
A
4
2
3
2 tĩ
Mặt khác vì V < 0 nên (T0 = 4 3

2 ti
Vây phưcíig trình dao đông của vât là: X = 4cos(20t + — ) (cm).
3
Thí dụ 4: Một con lắc đom dao động điều hòa với chu kì T = 2s.
Lấy g = 10 m/s^, 71^ = 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li
độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc a = 0,05 rad và
vận tốc V = -15,7 cm/s.
Hướng dẫn giải:
2n
Tần số góc: (0 = — = 71 (rad)
Biên đô iSg: Từ ũ) = . — = > / = - ^ = l m = 1 0 0 (cm)
VI
co
Biên đô cong: Sq = . ( a l f + -4r = 5 ^/2 cm
V
co
Pha ban đầu: coscp = — = -Ị= = cos(± —)
So V2
' 4'
Mặt khác vì V < 0 nên (p = — rad



D Ạ N G 3: Q U Ã N G Đ Ư Ờ N G ĐI Đ ư ợc V À THỜI GIAN C H U Y Ê N
Đ Ộ N G C Ủ A V Ậ T d a o ' đ ộ n g ĐIÈU h ò a
Phương pháp giải
1. Khoảng thời gian ngắn nhất đê vật đi từ vị trí có li độ Xj đến X2
- Sử dụng mối liên hộ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
Dựa vào công thức của chuyển động tròn đều: A(p =
0<-> ±- —
±
<->±A
2
2
A <-> -A /2; -A <-> A/2
^

a

V2
2

^
A<-> —

2

^

A a/2
2

^
a V3
A
A t- n .Ỷ + 0,p.Ỷ
^ Vậy quãng đường vật đi là: s = n.2A + S’
T
s là quãng đường vât đi đươc trong thời gian 0,p.— kế từ vi trí X|,Vj. Đế
2
xác định nó ta dùng đường tròn lượng giác (góc quay từ vị trí ban đầu
Acp = CD.0,p,— = 0,p.n )

2

Cách 3: Tim ngay góc quay:

co.At

n,p = n + 0,p

- Như vậy để đi hết thời gian At trên vòng tròn sẽ quay góc rni + 0,p7T
+ Khi quay góc nn vật đi được quãng đường n2A
+ Khi quay góc Acp = 7Ĩ.0, p từ vị trí ban đầu (X|, V,) ta dựa vào đường trọn
lượng giác ta tìm được quãng đường đi là s
=> Vậy quãng đưòng vật đi là:
s = n.2A + s
T
Chú ý: + Nếu không thích tính theo — (góc quay Tĩ) thì các em có thê
2
làm tính theo T (góc quay 2n)
g

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm tj đến t2: |vtj,| = — - — với s
tg

Góc quét Acp = coAt.
- Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M[ đến M2 đối xứng qua trục sin
(hình 1)
S max
_ = 2 A s m 2^ = 2 A s m í2í ^
- Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M[ đến M2 đối xứng qua trục cos
(hình 2)
= 2A(1 - c o s ^ ) = 2A(1 - c o s - ^ )
ù
ỉu
T
Chủ ỷ: - Trong trưòfng hơp At > —:
2
_
T
T
Tách At = n — + A t' trong đó n e N*; 0 < A t' < —
2
2
T
+ Trong thời gian n —quãng đường luôn là 2nA
2
+ Trong thời gian At’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tmh như trên.
Aọ
= n2A + 2 A s i n - ^ = n2A + 2A sin
2
^min = ^2A + 2A(1 - cos — ) = n2A + 2A(1 - cos
)
2
2

- Cách khác: ADCT lượng giác: cos(a + n) = -c o sa ; cos(a + 7i/2) =
-sin a ; sina = ± v l - Cos^a ; cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb để giải.
5. Bài toán xác định thời điểm vật đi qua vị trí X đã biết (hoặc V, a, w „
Wj, F) lần thứ N
- Để giải loại bài toán này cần vận dụng đặc điểm sau:
+ Trong một chu kì T (2;t) vật đi qua X 2 lần nếu không kể đến chiều
chuyển động, nếu kể đến chiều chuyển động thì sẽ đi qua 1 lần
+ Xác định Mo dựa vào pha ban đầu (Xq, V(, chỉ quan tâm < 0 hay > 0
hay - 0)
+ Xác định M dựa vào X (hoặc V, a, Wj, Wj, F)
+ Áp dụng công thức t = — (với (p = M(jOM)
Cù

Chú ý: Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để
suy ra nghiệm thứ N.
Các loại thường gặp và công thức tính nhanh
- Qua vị trí X không kể đến chiều
+ N chẵn:
N -2
T + t 2 (Í2 thời gian để vật đi qua vị trí X lần thứ 2 kể từ thời điểm
z
ban đầu).
+ N lẻ:
N -1
,
,
t = —---- T +
(t, thời gian đế vật đi qua vị trí X lần thứ 1 kế từ thời điểm
2
ban đầu).

- Để giải loại bài toán này cần vận dụng đặc điểm sau:
Trong T/2 chu kì vật đi được quãng đường 2A. Nếu quãng đường nhỏ hơn
2A thì ta dễ xác định được thời gian cần dựa vào đường tròn lượng giác
và công thức t = — (0
Phương pháp:
- Tách; -;:^ = n ,p(n + 0,p)
2A
=> Thời gian vật đi được quãng đường: t = nT/2 + t
Để tìm t ta dùng vòng tròn lượng giác và như vậy đế đi hết quãng đường
0, p2A trên đưòíng tròn quay góc Acp ( t = — ).
Cừ

_________

Thí dụ 1: Một chất điểm dao động với phương trình: X = 4cos(5nt + -^ ) (cm).
Tính quãng đường mà chất điểm đi được sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc
t = 0.
Hướng dẫn giải
2 ti
Chu kì dao động của chất điểm; T = — = 0,4 s
(ũ

Ta có; - = 5,375 = 5 + 0,25 + 0,125 =» t = 5T + - + T
4
8
Lúc t = 0; X = 4 c o s^ = 0 :^ vật ở vị trí cán bằng sau 5 chu kì vật đi được
2
quãng đưòfng 20A và trở về vị trí cân bằng sau —chu kì kể từ vị trí cân
bằng vật đi được quãng đường A và đến vị trí biên sau — chu kì kể từ vị
8

Thí dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa vói chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4
cm. Túìh vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi
từ vị ưí có li độ

X=

A đến vị trí có li độ X = ——.

Hướng dẫn giải
Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị ư í biên X = A đến vị trí cân bằng
T
x = 01à
4
Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng X = 0 đến vỊ trí có li độ
T
’
_ -A p 4 _ T
2
3
12
T T T
Vậy thòi gian chuyển động: t = — + — = —
A 3A
Quãng đường đi được trong thời gian đó là s = A + — = - —
2
2
_
s QA
=> TỐC độ trung bình Vjị, = - = - — = 90 (cm/s).
ti 2T

ưong một chu kì là:
*
m

Mà

V

^

4 A .f= 4 A —
2n
ít _ ^™ 2v

> — V(b=

n

—.

Vậy góc quay ưong một chu kì mà khoảngthời gian v> —Vjh là:
._27i
2-ĩi Ati
ttit =
t ~ 2 n — = ——=> t =
T
3
3
3
Thí dụ 5: Một vật dao động điều hoà có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s. Lấy

2

2

b. Con lác dao động với biên độ lớn a >10°
* Vận tốc tại h độ góc a: v^ = 2g/ (cosa - cosa^)
- a„. Biên độ góc.

(a < a„)

VL -23-


lúc qua vị trí cân bằng, a = 0.
- V = 0 tại biên độ góc ct =
* Động năng: W j= ỉm v ^ = mg/ (cosa - c o sa J.
- w

~

(ú

+ ~ ~ ) =“

2

~

k

2

= 250 (N/m).

X

Thí dụ 3: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều
hòa với biên độ gốc a,| nhỏ («(, < 10"). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân
bằng. Xác định vị trí (li độ góca) mà ở đó thế năng bằng động năng trong
các trường hợp:
a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.
b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dưcmg về phía vị trí biên.
Hướng dẩn giải\
K hiW j = W ,thìW = 2W, = ^ - m / a ỉ = 2 - m / a ' ^ a = ± - ^ .
2
°
2

= ± - ^ A => góc lệch giữa 2 vị

n
trí là:

a
— = —-2_
— = 107i (rad/ s)
a = — => co = ■

2
At 0,05
Vậy:
k = m.co'= 0,05.(1071)' = 50 (N/m).
T hí dụ 5: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa
cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song

VL -25-