SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
−−−−−−−−−−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 02/11/2011
(Đề thi có 01 trang)

Bài 5 (7 điểm).
Cho hai số thực x, y thỏa mãn đẳng thức x 2 + y 2 + xy = 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
M = x 3 y 3 − 3 xy ( x + y ) 2 .
Bài 6 (6 điểm).
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không bằng nhau (O; R ) và (O / ; R / ) , tiếp xúc ngoài với nhau tại
A. Điểm B di động trên đường tròn (O). Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn (O’) tại C
(khác A) .
1. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định, khi B thay đổi.

Bài 7 (7 điểm).
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n , phương trình x 2 + y 2 = z 2 + n có vô số nghiệm nguyên
dương x, y, z .

−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−


0,5đ

Ta có, M = x 3 y 3 − 3 xy ( x 2 + y 2 + xy + xy ) = P 3 − 3P (3 + P ) = P 3 − 3P 2 − 9 P .

1,0đ

 P = 3 ∉ [ −3;1]
.
 P = −1 ∈ [ −3;1]

Và M / = 3P 2 − 6 P − 9 ; M / = 0 ⇔ 

1,0đ

M (−3) = −27, M ( −1) = 5, M (1) = −11

0,5đ

min M = min{M (−3), M (−1), M (1)} = M (−3) = −27

0,5đ

[ −3;1]

max M = min{M (−3), M (−1), M (1)} = M (−1) = 5 .

0,5đ

[ −3;1]


⇒ IC = IB
IB OB
R
R

Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’).

0,5đ

0,5đ

Vì vậy, BC luôn luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm ).
2. Gọi M là trung điểm của BC ta có AG =

2
AM .
3

Gọi K là trung điểm của OO’. Vì MK là đường trung bình của hình thang
CO’OB nên KM =

R + R'
.
2

Trang 1

0,5đ
1,0đ


2
) qua phép vị tự tâm A tỷ số k = .
2
3

M
C

O

Bài 3
(7 điểm)

K A O'

I

* Xây dựng được các bộ nghiệm.
* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng.
* Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng.
Chẳng hạn,
Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) như sau :
Đặt z = y + 1 ta có y 2 − z 2 = −(2 y + 1) .
x2 − n −1
.
Khi đó ta có x + y − z = n ⇔ y =
2
Ta có tập A = {x = 2k + | n | +1: k ∈ ℕ*} gồm vô số phần tử x là số nguyên dương, khác
2