VII. TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

1. KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ

1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung

r r r

một điểm gốc O . Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

r2 r 2 r 2
rr rr r r
i  j  k  1 và i. j  i.k  k. j  0 .

z

x'

r
k

y'

x

r
i


r

r

b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R

r

r

 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

r

 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1  b1
r r

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3
r

r

r

r

 a 2  a12  a22  a32

rr
a.b
r r
 cos(a , b )  r r 
a .b

r



a1 a2 a3
  , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3

r

 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

r

 a 

a12  a22  a22

a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

r r

 2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
G A B C ; A
;

3
3
3


 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC 
G A B C
;
;


4
4
4

III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại

Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc

k  0 khi a ngược hướng b
r
a
k r
b

Định lý 4 :

uuur
uuur
A, B,C thaú
ng haø
ng  AB cuø
ng phöông AC

r
r
Định lý 5: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
r
r
a cuø
ng phöông b

a1  kb1

 a2  kb2  a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3
a  kb
3
 3




r
r
Định lý 9: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
r r
a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

r
r
Định lý 10: Cho hai véc tơ a  (a1; a2; a3 ) vaøb  (b1; b2; b3 ) ta có :
rr
r r
a1b1  a2b2  a3b3
a.b
cos(a, b)  r r 
2
a.b
a1  a22  a32 . b12  b22  b32

V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k  k  1 nếu như :

uuur
uuur
MA  k.MB






M là trung điểm của AB

xA  xB

 xM 
2

y y

  yM  A B
2

zA  zB

 zM  2


Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ), C(xC; yC ; zC )

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


xA  xB  xC

 xG 
3

y y y







r r
r
r r
r
 a; b  a vaøa; b  b
 
 
1 uuur suur
SABC  .  AB; AC 
2

SYABCD

A
B

uuur uuur
  AB; AD 

C

D

D'

A
D

B
C

A
B



r
r
r r
r
a cuø
ng phöông b  a; b  0



r r r
r r r
a, b, c ñoà
ng phaú
ng  a, b .c  0

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)



EB  
.EC ,
FB 
.FC
AC
AC
uuur uuur uuur
 A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng
uuur uuur uuur
  AB, AC .AD  0

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu  S , ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của
mặt cầu.
Dạng 1:  S có tâm I  a; b; c và bán kính R :
(S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
Dạng 2:  S có tâm I  a; b; c và đi qua điểm A :
Khi đó bán kính R  IA.
Dạng 3:  S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


–Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB :
xI 

xA  xB
y y
z z
; yI  A B ; zI  A B .


VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1  I 1, R1  và S2  I 2 , R2  .
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  trong nhau

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  ngoài nhau

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  tiếp xúc trong

 I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  tiếp xúc ngoài

 R1  R2  I1I 2  R1  R2

  S1  ,  S2  cắt nhau theo một đường tròn.

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1. Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất  P  nào đó.

a là VTCP của đường thẳng      r
c trù
ng vớ
i 

a cógiásong song hoặ

Chú ý:



Một đường thẳng có vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một đường thẳng    hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và

một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:

r
Cho mặt phẳng  xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của
r
đường thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b . Khi đó :
ur uur
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Chú ý :

Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một

thì mp  có một VTPT là :
b  (b1; b2; b3 )
r
r r
a
n   a; b   2
 b2

a3 a3 a1 a1 a2 
;
;

b3 b3 b1 b1 b2 

II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg Oxyz . Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và có
r
một VTPT n  ( A; B; C) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0

Định lý 2: Trong Kg Oxyz . Phương trình dạng :
Ax  By  Cz  D  0 với A2  B2  C2  0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
Chú ý :



r
Nếu ( ) : Ax  By  Cz D  0 thì ( ) có một VTPT là n  ( A; B; C)
M0 ( x0; y0; z0 )  ( ) : Ax  By  Cz  D  0  Ax 0  By0  Cz0  D  0


By  Cz  D  0

  // Ox hoặc    Ox

B=0

Ax  Cz  D  0

  // Oy hoặc    Oy

C=0

Ax  By  D  0

  // Oy hoặc    Oz

A=B=0

Cz  D  0

  // Oxy hoặc    Oxy

By  D  0

  Oxz

   Oxz

Ax  D  0


A

III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:

 a1  tb1
 a  tb
2
 2
(
a
,
a
,...,
a
)
 1 2
n
Hai bộ n số: 
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho .
(b1, b2 ,..., bn )
.

 an  tbn
Ký hiệu:

a1 : a2 : ...: an  b1 : b2 : ...: bn

hoặc


b

a

a

b

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


( ) cắ
t ( )  A 1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (hay:


A 1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2

( )  ( ) 

A 1 B1 C1 D1



A 2 B2 C2 D2



 

Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng  và

(  ) được gọi là một chùm mặt phẳng


 

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

d

  : A1x  B1y  C1z  D1  0 và    : A 2 x  B2y  C2z  D2  0 .



Khi đó nếu  P  là mặt phẳng chứa  d  thì phương trình mặt phẳng  P  có

P



dạng

 P : m.(A1x  B1y  C1z  D1)  n.(A 2 x  B2y  C2z  D2 )  0,

m2  n2  0

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Dạng 4:   đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C :

uuur uuur
r
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của   là: n   AB, AC
Dạng 5:   đi qua một điểm M và một đường thẳng  d  không chứa M :
r
– Trên  d  lấy điểm A và VTCP u .

uuur r
r
– Một VTPT của   là: n   AM , u
Dạng 6:   đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng  d  :
r
VTCP u của đường thẳng  d  là một VTPT của   .

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Dạng 7:   đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2 :

r r
– Xác đònh các VTCP a, b của các đường thẳng d1, d2 . .

r r r
– Một VTPT của   là: n   a, b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M    .

r
r r
– Một VTPT của   là: n  u , n  .
Dạng 12:   đi qua đường thẳng  d  cho trước và cách điểm M cho trước một
khoảng k cho trước:
– Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  0  A2  B 2  C 2  0  .
– Lấy 2 điểm A, B   d   A, B    ( ta được hai phương trình 1 ,  2).
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


– Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( ))  k , ta được phương trình  3 .
– Giải hệ phương trình 1 ,  2 ,  3 (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm
các ẩn còn lại).
Dạng 13:   là tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H :
– Giả sử mặt cẩu  S có tâm I và bán kính R.
r uur
– Một VTPT của   là: n  IH

Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh
mặt phẳng đã học ở lớp 11.

VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối của hai mặt phẳng

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng .
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
 Khoảng cách từ điểm M0  x0; y0; z0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0



Cho hai mặt phẳng   ,

   có phương trình:   : A1x  B1y  C1z  D1  0
   : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Góc giữa   ,

   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
r r
n1.n2
cos ( ),(  )   r r 
n1 . n2

Chú ý:

 00 £ ((·
a ),( b )) £ 900 .

r r
n1, n2 .

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

 ( )  (  )  A1A2  B1B2  C1C2  0

VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và mặt cầu  S : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2

tài liệu ơn chun đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1) Vectơ chỉ phương của đường phẳng:

r

r

Định nghĩa: Cho đường phẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường

r

phẳng d thì vectơ a được gọi là vectơ pháp tuyến của đường phẳng d . Kí hiệu:

r
a  (a1; a2; a3 )

 Chú ý:

r

r

1) a là VTCP của d thì k.a (k  0) cũng là VTCP của d

uuur

M0

M ( x, y , z ) y

 x  x0  ta1

() :  y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


t  R

O

x

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


3. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua
r
điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và nhận a  (a1; a2; a3 ) làm VTCP là :
( ) :

x  x0 y  y0 z  z0




a ( )

M

a


a ( )

 x  x0  a1t (1)
r

Định lý: Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () :  y  y0  a2t (2) có VTCP a  (a1; a2; a3 ) và
 z  z  a t (3)
0
3

r
qua M0 ( x0; y0; z0 ) và mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n  ( A; B; C)
Khi đó :

() caé
t ( )
() // ( )
(  )  ( )

Đặc biệt:



a

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)




a1 : a2 : a3  A : B : C

 pt ( )
PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M của    và   ta giải hệ phương trình: 
tìm
 pt ( )

x, y, z. Suy ra: M  x, y, z

 

 

Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình mp P và rút gọn đưa về dạng: at  b  0 (* )

 



 d cắt mp P tại một điểm  Pt * có một nghiệm t .



M 0 M 0'

b

1
u
'
2
2

M 0'

M0


u


u'


u

M0

2
M

'

(1) :

r ur uuuuuuur

 (1) vaø(2 ) ñoà
ng phaú
ng  u, u'  .M0 M0'  0


L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,
tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


 (1 ) caé
t ( 2 )

r ur uuuuuuur
 ' 
'
 u, u  .M 0 M 0  0

 
a : b : c  a' : b' : c'


 (1 ) // ( 2 )

 a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )

 (1 )  ( 2 )

PP HÌNH HỌC
uuuur r
 IM .a
 0 
B1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu  S đến đường thẳng d là h  d( I , d) 
r
a
B2. So sánh d( I , d) và bán kính R của mặt cầu:

 

● Nếu d(I , d)  R thì d không cắt S

 

● Nếu d(I , d)  R thì d tiếp xúc S

 

● Nếu d(I , d)  R thì d cắt S tại hai điểm phân biệt M , N và MN vuông góc với đường kính
(bán kính) mặt cầu

PP ĐẠI SỐ: Thế 1 ,  2 ,  3 vào phương trình  S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai



theo t *




n2  ( A2 ; B2 ; C 2 )

(  ) : A2 x  B2 y  C2z  D2  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có công thức:

a

0 0    90 0
b

cos  

A1 A2  B1B2  C1C2
A  B12  C12 . A22  B22  C22
2
1

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg Oxyz cho đường thẳng () :

( )
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c


a  (a; b; c)