B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

PH M THANH TÙNG

NT
I V I BÀI TOÁN D M

H UH N

CÓ XÉT BI N D NG

T NGANG CH U T I TR NG PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS.



u ki n thu n l

trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng

tác gi trong su t quá

.

Tác gi xin chân thành c

lu n

sâu s c nh t

c, các chuyên gia trong và ngoài
u ki

, quan tâm góp ý cho b n

c hoàn thi
Tác gi xin trân tr ng c
i h c và

nghi
thành lu n

i h c-

Các

Tuy


Trong

xây

.

1.

2. Trình bày

- Bernoulli

ngang
3.
ng
4.

.


1.
NG
VÀ GI
Tr


minh h a.

1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi

ki n cân b ng l c c a phân t

u

c tách ra kh i k t c u.Trong s c b n v t li u khi

nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc v i tr c
d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su
lên phân t d m (hình 1.3), ng su
nh t d

x và
zb

các ng su t ti

xz

zx tác


l h/l

cao z so v i tr c d m b ng
u

TTH

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m


d2y
d2y
Ez 2
z 2 ; xx
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
Ebz
dz
dx 2

h/2

Ebh3 d 2 y
12 dx 2


i và s

n trình bày,

cg i
ng

h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen
ti p gây ra. T ng các ng su t ti

n bi n d
zx trên

t do các ng su t

m t c t s cho ta l c c t Q tác d ng lên

tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên
c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c d m.


iv

Q

0 (1.8)

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có


L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
dx

q

0

ng:

(1.9)
8

gi a momen u n và l c c

trình (1.9

ng l c c t Q và ngo i l c phân b


EJ

d4y
dx 4

q (1.11)

11
b c ba c
Các

u ki

c gi i v

u ki n biên t i m

u cu i thanh.

u ki

a) Liên k tkh p t i x=0:
, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra
dx 2


ng ng su t trên tr

zx

trên chi u dày h c a d

c


xx

xz

x

0 hay

z

xz

z

x

:
Hàm

nh t


8 dx

xz

h2

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr b ng
xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta có
l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m
Ebh3 d 3 y
12 dx 3

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:
T l

gi a

ng su t ti p max t i tr c d m và

1.

Eh 2 d 3 y
12 dx 3


ng l c là l c có

là l c không th .

i
1.12)
ng ph i b ng không


1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi n phân
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l

th

nd

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên lý th


bài toán

không ràng bu c sau:

là th a s
phi m hàm (1.17) ta nh

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân t
Lagrange).


có th nguyên là chuy n v

1.18) bi u th quan h gi a M

và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

võng c a d

1.20

d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

ng c a

trên.


nd
gi a chuy n v và bi n d ng.

i v i d m ch u u n, ta có
2

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t trong

(1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th hai là th
n d ng bi u th qua bi n d ng u n.
Thay t (1.22) vào (1.21), ta có


Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c


0,

(1.26)

Z

X U

Y V

Z W

0,

(1.27)


x

x

u;

y

XU

0

1 d2y


ZW

1 d2y
2 dx 2

0,

0

(1.28)

(1.29)

2

qy dx 0

(1.30)


d4y
EJ 4
dx

q

0

i

n

T

1
EJ
1 2

n
i

2

yi
x2

(1.32)

2

(1.33)
i


t

T
yi

t

x là

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

x

2

2

y

2

i
2

x2


yi

2 yi 1
x2
2 yi 1
x2

2
1

2

yi
yi

(1.36)
2

2

i.

yi

2 yi 1

EJ
EJ


2 yi 1

i
4

EJ

2

(1.37)

4
i

x4

yi

Ta tính

y

x4

.
i


i


q (1.40)


,

o


tr


2.
LÝ THUY T D M CÓ XÉT

Trong ch

N BI N D

T NGANG

c tiên trình bàylý thuy t d m

d m Euler -

i thi u lý thuy t d m có xét bi n d

ng, lý thuy t
t ngang

nghiên c u n i l c và chuy n v c a h d m ch u u n có xét bi n

nh
ng cong, nh
ng th ng
vuông góc v i tr c d m v n th ng và
vuông góc v i tr c d m. T
i ta
thi

Hình 2.1. D m ch u u n thu n túy
M t c t ngang d
u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n d ng
v n ph ng và vuông góc v i tr c d m (gi thi t v m t c t ngang, gi thi t Bernoulli).
Trong quá trình bi n d ng các th d c c a d m không ép lên nhau và không
y xa nhau (gi thi t v các th d c).
Ngoài ra khi tính toán d m ta còn d a vào các gi thi t sau:
V t li u có tính ch t liên t c, ng nh
ng
Bi n d ng c a v t th là bi n d
i tuy
i.
Bi n d ng c a v t th do ngo i l c gây ra là nh so v
c c a chúng.
c l p tác d ng
T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i, các th
i giãn ra. Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không co, không
giãn. Th này g i là th trung hòa. T p h p các th trung hòa g i là l p trung hòa,
giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g
ng trung hòa. N u ta xét m t m t
c
a d m thì sau khi b u n nó s cho hình d

(2.1)
Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)
T (2.2) ta suy ra:
(2.3)
Xét ng su t t
m b t k A(x,y) trên m t c
a d m (hình
2
c oy là tr
i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng v
ng
trung hòa c a m t c t ngang.


Ta tách ra t i A m t phân t hình h p b ng
các m t c t song song v i các m t t
(hình
2
thi t th nh t thì góc c a
phân t sau bi n d
i, nên ta suy ra trên
các m t c a phân t không có ng su t ti p. M t
khác theo gi thi t th hai thì trên các m t c a
phân t song song v i tr c Z không có ng su t
. Do v y trên các m t
c a phân t ch có ng su t pháp

nh


i v i y.

Nh
m trên m tc
à nh
mn m
ng th ng song song v i tr c trung hòa x) s có tr s b ng nhau và nó t l v i
kho ng cách t
i tr c trung hòa.


Nh
m n m trên tr c trung hòa y=0 có tr s
trung hòa nh t s có tr s ng su t l n nh t và bé nh t.

. Nh

m xa tr c

2.1.1. D m ch u u n ngang ph ng
D m ch u u n ngang ph ng là d m mà các m t c t ngang c a nó có các thành
ph n n i l c là l c c t Qy và mômen u n Mx n m trong m t ph ng quán tính chính
trung tâm c a d m.
ng su t trên m t c t ngang
Xét d m ch u u n ngang ph ng
2.5a. Ta quan sát thí
nghi m sau:
c khi d m ch u l c ta v ch
lên m t ngoài d m nh
ng

m ch u u n ngang
ph ng thì trên m t c t ngang d m có hai
thành ph n ng su t là: ng su t pháp
và ng su t ti p hình 2.6.
Hình 2.6. Phân t d m ch u u n
ngang ph ng
a.

ng su t pháp :
Trong m
c nh gi thi t Bernoulli v m t c t ngang ph

công th c tính ng su t pháp

i

trên m t c t ngang d m là:
(2.11)

d mb
th c (2

ng h p d m b u n ngang ph ng thì sau bi n d ng m t c t ngang
ng n
y m i l p lu
i công
tính ng su t pháp

không phù h p n a. Tuy nhiên trong lý thuy t
c r ng

nh lu

i ng

c a ng su t ti p thì ta có:
(

vì m t bên d m theo gi thi t

không có t i tr ng tác d ng) hình 2.7.
Hình 2.7.
i oy. Do tính ch
i x ng ta suy ra

Do v y
.

i x ng và gi thi t hình ch

nh t h p nên

.
Do gi thi t hình ch nh t h p nên CD=b/2 càng nh mà ng su t ti p t i C và
D ch

y ta suy ra là ng su t ti p t i A ch

.

ng th i:


là

.