Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng a
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Cho hai số thực x, y thoả mãn:
x 0
y 1
x y 3








ữ



Bài 3. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dơng n luôn tồn tại duy nhất số thực x
n
sao cho
n
n
x
1
x n 0
2008
+ =
. Xét dãy số (x
n
), tìm giới hạn: lim(x
n + 1
- x
n
).
Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3

ĐK: x 0; Đặt t =
x
, t 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t
2
+ 3 - m = 0 <=> m =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
(2)
0,5
Xét f(t) =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
, t 0
f
/
(t) =
2
2 2
t 2t
(t t 1)

m 3
3

.
0,5
b.

3
sinx
cosx
x

>
ữ

(1).
3,0
(1) <=> tgx.sin
2
x - x
3
> 0.
Xét f(x) = tgx.sin
2
x - x
3
> 0 ; x
(0; )
2


cos x
+
+
0,5
Trang / 52
=
2 2
2
4
2cos x 6sin x
8cos x 10
cos x
+
+ − =
6 4 2
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
− − +
=
2 2 2
4
2(cos x 1) (4cos x 3)
0
cos x
− +
>
x (0; )
2
π

2
π
∀ ∈
0,5
=> f(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f(x) > f(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
Bµi 2.
6,0
a.
x + y = 3 <=> y = 3 - x. Ta cã
x 0
y 1
≥


≥

=> x
[ ]
0; 2∈
0,5
Thay vµo P: P = x

=


−

=

1,0
Ta cã: f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20
0,5
VËy
max P 20 t
min P 15 t
¹i x = 2 ; y = 1

¹i x = 1 ; y = 2
=


=

0,5
b.
3,0

x y
sinx
e (1)
sin y
cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)

e
, t
0;
4
π
 
∈
 ÷
 
f
/
(t) =
t
2t t t
2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t
4
0 , t (0; )
4
e e e
π
+
− − π
= = > ∀ ∈
.
0,5
=> f
/
(t) ®ång biÕn trªn
0;


+ + + =



0,5
Xét phơng trình (*) ta có:
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
- 3
=
2 2
8x 3 2(2x 1) 2 3+ + +

3 2 3 0+ >
=> phơng trình vô nghiệm.
0,5
Với 8x - 1 = 0 <=> x =
1
0;
8 4



ữ

Vậy hệ có nghiệm
1
x
8

- 1 < 0 x R.
=> f(x) nghịch biến trên R (1). 0,5
Ta có:
n
n 1
1
f (n) 0
2008
1
f (n 1) 1 0
2008
+

= >




+ = <


=> f(x) =0 có nghiệm x
n
(n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm. 0,5
Ta có: x
n
- n =
n
x

n
- n) + 1} = 1
0,5
Trang / 54
Bài 4.
5,5
a.
Gọi C(a; b)
3,0
S =
1
2
CH.AB (1).
Ta có: AB =
2
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =
a b 5
2

do đó: (1) <=>
a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3
2 2
2

= =
.
<=>
a b 8

= =

=> C(-2; -10)
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 65 89+ +
=> r =
2S 3
2p
2 65 89
=
+ +
.
0,5
TH
2
:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
= =



= =

=> C(1; -1)
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2+
=> r =

- R
2
= x
0
2
<=> y
0
2
= 2Rx
0
.
=> M (P): y
2
= 2Rx ; (P) có tiêu điểm F(
R
;0
2
)
1,0
Trang / 5
A
H

y
F
O
x
T
M(x
0;