Chương III: Ứng suất và biến dạng

Chương III

Ứng suất và Biến dạng


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.2. Trạng thái ứng suất.
3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.5. Biến dạng
3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm

Chia vật bằng một mặt cắt và khảo sát tính chất của các lực tiếp xúc
truyền qua mặt này do phần tách ra tác động lên. Các lực tiếp xúc
phân bố khắp mặt cắt với chiếu và giá trị thay đổi, chúng được gọi là


phẳng vuông góc Oz là:
P1

p

τ

 dP
Khi dF→ 0
p=
dF

Ứng suất 𝑝𝑝⃗ được phân
thành 2 thành phần:

σ
τ

dP

M

P2

dF

i
P3


như hình vẽ:





p = σ z k + τ zy j + τ zx i

P1

τ

P2

τ zx
i

P3

x



τ zy p
M

O
 k
j


Mx
C
My

( A)
Nz

Qy
y



R = ∫ p.dF
F

O


p

σz
z

z

τ zx
x

dF



( A)

C
My

Qx

Nz

y



M C = ∫ mC p.dF

(

σz
z

)

F

z

τ zx
x



Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Tổng quát: Tách một phân tố tại P bằng 6 mặt vi phân trực giao
với các trục tọa độ.

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Trên 3 mặt vi phân dương có các vector ứng suất:

  
px , p y , pz

Mỗi vector này có ba thành phần
song song với ba trục tọa độ:


 σ x τ xy τ xz 


T = τ yx σ y τ yz 
τ

τ
σ
zy
z 
 zx

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
* Nguyên lý tương hỗ ứng suất tiếp
Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông
góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào
hoặc hướng ra cạnh chung đó.

=
τ xy τ=

Khi đó: - Phương của n được gọi là phương chính
- Ứng suất

σ n được gọi là ứng suất chính

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương
chính vuông góc nhau từng đôi một. Ứng với ba phương chính
ta có ba ứng suất chính: σ 1 > σ 2 > σ 3
Các ứng suất chính
này không phụ thuộc
việc chọn hệ trục tọa
độ
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

3.2.2. Các trạng thái ứng suất
Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương
chính:
σ1 0 0 


T =  0 σ2 0 

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ (//z)

y
y

τ xy

σx

u

v

σx
τ yx

z

σy

σu

τ uv


σ x −σ y

cos 2α + τ xy s in2α
σu = +
2
2
σ x −σ y
s in2α − τ xy cos 2α
τ uv
2

Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u ( 900 + α )

σx +σ y

σ x −σ y

2

2

σv = −

σ x −σ y

cos 2α − τ xy s in2α

−
s in2α + τ xy cos 2α
τ vu =

uv
2
σ x −σ y
 −1  2τ xy  
π
⇒ α 0  tan 
/2 ±


 σ − σ 
2

y 
 x
 Hai trị số α 0 khác biệt nhau 900  Hai phương chính
Thay vào

σ u , ta thu được các ứng suất chính

σ max=
min

σx +σ y
2

1
(σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2
±
2


b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

σ x = σ y = 0; τ xy = −τ
Thay vào (**) ta được:

σ max =
±τ hay σ 1 =
−σ 3 =
τ
min π
π
α2 = −
α1 =
4

Applied Mechanic

τ

4

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị
dτ uv
σ x −σ y


mặt chính một góc 45

1
=
±
(σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2
2
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.1. Cơ sở của phương pháp
σ x +σ y σ x −σ y
σu = +
cos 2α + τ xy s in2α
2
2
σ x −σ y
s in2α − τ xy cos 2α
τ uv
2

Chuyển vế

x

2

+ σ y ) 2;0

2

)

 σ x −σ y 
2
=
+
τ
Bán
kính: R


xy
2
Applied Mechanic


2

2

 + (τ xy )


 2
  σ − σ 2
x
y
2
R
τ
=
+
-Xác định bán kính R của vòng tròn:


xy
2


-Xác định điểm cực P: P (σ y ; −τ xy )
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
τ



α
P

σu
σx

τ uv
B

σ max

σ

σ max

α1
J

τ min

 τ xy
α1 = tan 
 σ −σ
y
 max
−1




6

τ xy = −6
x

α = −300
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
Ví dụ:

σx +σ y

σ x −σ y

2
σ x −σ y

2

σu = +
=
τ uv

±
2

 τ xy
⇒ α1 =
tan 
 σ −σ
y
 max
−1





⇒ α 2 =α1 + 900
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng
τ
σv
I τ
τ vu
max



τ uv

J

Applied Mechanic

σ

16.2
σ u 18 σ max

σu

v
u

τ min

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology