Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi học sinh giỏi Tỉnh lớp 12
Năm học 2006 - 2007
Môn thi: toán (bảng A)
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
a) Giải phơng trình:
3
4
2
3
log 2 2
2
+

+ + =
ữ

x x
x
b) Chứng minh phơng trình: x
5
4x
2
4x = 1 có đúng một nghiệm và nghiệm
đó nhận giá trị dơng.
Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
(
)
2
3 5y x x

z x z z z
Bài 4:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đờng
tròn (C). Biết (C) có phơng trình: (x 1)
2
+ (y + 2)
2
= 5;
ã
ABC
= 90
0
; A(2;0) và
diện tích tam giác ABC bằng 4.
Tìm tọa độ các đỉnh B; C.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(-3;0), C(3;0)
Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài đ-
ờng cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác
ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm I
thuộc một đờng cong cố định.
---------Hết------------
Họ và tên thí sinh.............................................SBD:.................................
Đề chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2006 - 2007
đáp án và biểu điểm chấm đề chính thức
Môn: Toán (Bảng A)
----------------------------------------------
Bài Nội dung Điểm

log t
+

+ +
ữ

với t 0
Có f '(t) =
2
3
4
1
2 1 2 2
3
2
2
t t
( t ) .ln
t .ln
+
+ +

+
ữ

Ta có: f '(t) > 0 t 0,
1
0
2
f

5
- 4x
2
- 4x - 1
Ta có: f '(x) = 5x
4
- 8x - 4; f "(x) = 20x
3
- 8 > 0 với x 1
f '(x) đồng biến trên [1, +), mà f '(1) = -7;
x
Limf '(x)
+
= +
x
0
(1; +) để f '(x
0
) = 0
Ta có bảng biến thiên:
x
1 x
0
+
f'(x) - 0 +
f(x)
+
-8
Dựa vào bảng biến thiên suy ra pt: f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất và
nghiệm đó có giá trị dơng đpcm.

3 5 2 5
5
x x
x
+

f '(x) = 0
2 2
3 5 2 5 0x x + =
; x
( )
5 5;

2
4 2
5
2
4 11 20 0
x
x x





=


2
2


Xét f(t) =
3
6t t
sin t

với t (0; )
Có f '(t) =
( ) ( )
2 3
2
3 6 6t sin t t t cost
sin t

Xét g(t) = (3t
2
- 6)sint - (t
3
- 6t)cost với t (0; )
Có g'(t) = t
3
sint > 0 t (0; )
g(t) đồng biến trên (0; ) g(t) > g(0) = 0
f'(t) > 0 với t (0; ) f(t) đồng biến trên (0; )
mà x y f(x) f(y) suy ra đpcm.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5

6

+ z
4
+ z
2
+1) x.4z
3
z x (vì z
6
+ z
4
+ z
2
+ 1 4z
3
)
Vậy: x y z x x = y = z
Khi đó thay vào hệ ta có nghiệm: x = y = z = 1
Hệ có 2 nghiệm: x = y = z = 0 hoặc x= y = z = 1
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 4:
(5,5 đ)

+

=

=

+ Với m = 0 pt của : 2x - y = 0 toạ độ B là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
2
0
0
1 2 5
y x
x
y
x y
=

=




=
+ + =



hoặc




=
+ + =



hoặc
16
5
8
5
x
y

=




=


Vậy toạ độ C(0; - 4), toạ độ B là: hoặc (0; 0) hoặc (
6 12
5 5
;
)
hoặc (2; -4) hoặc (

2
(**)
Do I là tâm đờng tròn nội tiếp K thuộc đoạn BC
nên BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK
2
= y
2
Thay vào (**) ta có: x
2
+ 3y
2
= 9.
Suy ra I thuộc đờng cong có phơng trình: x
2
+ 3y
2
= 9
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
B 0 K H C x
I
A
y