JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 115-128
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0172

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC HỖ TRỢ GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP
CHO SINH VIÊN GẮN VỚI THỰC TIỄN ĐÀO TẠO NGHỀ
Ở TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
Lê Bá Phương
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội
Tóm tắt. Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề sử dụng một số phần mềm toán học để hỗ
trợ dạy Toán cao cấp (TCC) gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp
(ĐHCN). Tác giả đã tiếp cận vấn đề bằng cách khai thác phần mềm Matlab và Maple trong
giảng dạy Giải tích toán học cho sinh viên (SV) hai nhóm ngành điện và cơ khí ở trường
ĐHCN Hà Nội. Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa việc sử dụng
Maple, Matlab giúp cho SV nắm vững và vận dụng vào giải quyết bài toán thực tiễn nghề
nghiệp.
Từ khóa: Sử dụng phần mềm toán học, giảng dạy Toán cao cấp, thực tiễn dạy nghề.

1.

Mở đầu

Quan niệm học để làm, một trong bốn “cột trụ” của giáo dục (UNESCO, 1985) là sự khẳng
định chắc chắn của thế giới về mục tiêu tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc học.
Về giáo dục đại học, Hội nghị quốc tế UNESCO (Paris, 5-8/7/2009) đã làm rõ hơn vai trò
của giáo dục cũng như triết lí của đào tạo bậc đại học: Không những đào tạo cho SV có kiến thức
vững chắc và biết vận dụng sáng tạo trong hoàn cảnh hiện thời và cả cho tương lai. Trong đó, đặc
biệt nhấn mạnh "... Đào tạo tay nghề cao, những công dân có trách nhiệm chuyên nghiệp tùy theo
nhu cầu hiện tại và tương lai của xã hội" [12].


Nội dung nghiên cứu
Sử dụng các phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng dạy Giải tích toán
học gắn với thực tiễn đào tạo nghề cơ khí và nghề điện ở trường ĐHCN

Với những chức năng và ưu thế của các phần mềm Matlab và Maple, GV và SV trường
ĐHCN có thể khai thác để hỗ trợ những hoạt động dạy và học TCC sau:
116


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

- Minh họa trực quan các khái niệm, tính chất toán học phức tạp;
- Kiểm tra, dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải bài toán;
- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài toán cùng loại một cách nhanh chóng, chính xác;
- Vẽ các hình trong không gian (đường, mặt, khối, vật thể, ...) để biểu diễn - mô hình hóa
đối tượng trong bài toán thực tế nghề nghiệp.
Trong giảng dạy Giải tích toán học cho SV ngành cơ khí chế tạo, ngành điện tử, việc sử
dụng máy tính cùng với những phần mềm toán học như Matlab, Maple, ... có khả năng trợ giúp vẽ
các đường, mặt cong, khối vật thể, ... trong không gian một cách chính xác, trực quan. Nhờ vậy,
khi học khái niệm tích phân và ứng dụng, SV có thể mô hình hóa, sơ đồ hóa tình huống thực tiễn,
giúp quan sát một cách trực quan từ nhiều góc độ, dễ dàng nhận ra nhiều thuộc tính, quan hệ của
chúng, ... Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân, GV có thể giúp cho SV trong việc mô hình
hóa bài toán thực tiễn, minh họa trực quan các đường cong, mặt cong phức tạp trong không gian
và thể hiện kết quả dưới dạng con số, hình ảnh và đồ thị.
Như vậy, với quan điểm không chỉ dùng Matlab và Maple chứng minh cho việc ứng dụng
toán học, chúng tôi đã sử dụng các phần mềm này trong giảng dạy Giải tích toán học để giúp cho
SV hiểu rõ, nắm vững hơn kiến thức và phương pháp toán học, đồng thời tăng cường cơ hội và
khả năng vận dụng công cụ toán học vào thực tiễn nghề nghiệp của mình. Từ đó góp phần tạo ra
ý thức, thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn học nghề cho SV trường ĐHCN

+ GV: Bây giờ ta chia R lần lượt thành 16; 64; 256 hình vuông, tức ta tăng m và n (m là số
chia đoạn [0, 2] trên Ox, n là số chia đoạn [0, 2] trên Oy) và làm tương tự như trên ta sẽ có các hình
ảnh (hình 2). GV cho SV nhận xét.
SV: Nếu tăng số lượng hình vuông, tức tăng số lượng hình hộp chữ nhật thì tổng thể tích
của các khối hộp chữ nhật đó sẽ xấp sỉ bằng thể tích của khối chất rắn đã cho (Vn ≈ V ).
117


Lê Bá Phương

Hình 1

Hình 2
+ GV: Khi tăng m và n lên thì sự sai khác giữa V và Vn càng nhỏ. Do đó thể tích V của khối
chất rắn đã cho được coi là giới hạn của Vn khi m, n → ∞. Yêu cầu SV tính thể tích V :
V = lim Vn = lim f (xij , yij )∆S = 48
m,n→∞

m,n→∞

+ GV: Bây giờ ta xét bài toán tổng quát: Cho S là một vật thể hình trụ nằm trên hình chữ
nhật R = [a, b] × [c, d] ở trong mặt phẳng Oxy và dưới mặt cong có phương trình z = f (x, y),
mặt bên là mặt trụ có đường sinh song song với Oz và tựa trên biên của R (hình 3).
Giả thiết rằng hàm z = f (x, y) xác định, liên tục
và không âm trên miền R, tính thể tích V của vật thể S.
+ GV: Yêu cầu SV tính ra nháp, sau đó GV hướng
dẫn dùng Matlab để diễn giải và chính xác hóa lời giải
cho SV.
Đầu tiên, chia hình chữ nhật R thành các hình
chữ nhật nhỏ. Chúng ta thực hiện điều này bằng cách


Hình 4
f x∗ij , yij∗ ∆S (hình 6)

Hình 5

Hình 6

Tổng kép này có nghĩa là với mỗi hình chữ nhật con, chúng ta tính giá trị của f tại điểm đã
chọn rồi nhân với diện tích của hình chữ nhật con, rồi cộng vào kết quả.
Bằng trực giác ta thấy rằng, xấp xỉ trên trở nên tốt hơn khi m và n càng lớn và vì vậy
m

V =

lim

n

m,n→∞ i=1 j=1

f x∗ij , yij∗ ∆S. Nếu tồn tại giới hạn lim

m

n

m,n→∞ i=1 j=1

f x∗ij , yij∗ ∆S, thì giới



Lê Bá Phương

+ GV đưa ra bài toán: Cho mạch điện như hình vẽ
(hình 7). Hỏi điện áp vc trên tụ điện trong mạch thay đổi
như thế nào nếu: R = 0, 5; C = 1; V (t) = sin 2πt.
+ Hướng dẫn SV giải bài toán:
Theo kiến thức chuyên ngành, điện áp vc trên tụ
điện trong mạch được xác định bởi phương trình vi phân
V (t) − vc
′
. Với R là điện trở, C là điện dung,
sau: vc =
RC
V(t) là nguồn điện áp đầu vào.

Hình 7

′

Thay số, ta có vc = −2vc + 2 sin 2πt. Giải phương trình vi phân này (dùng Maple) ta thu
được nghiệm vc = e−2t 2e2t sin (2πt) dt.
Từ nghiệm này ta thấy rằng nghiệm có sự dao
động, song không dễ để dự đoán được nghiệm dao động
như thế nào, tức không dễ để dự đoán được điện áp vc
thay đổi như thế nào nếu nguồn V (t) tuần hoàn theo chu
kì thời gian. Lưu ý rằng, nguồn điện áp V (t) = sin 2πt
dao động trong khoảng từ −1 đến 1 trên mỗi một đơn
vị thời gian, đồ thị của hàm điện áp đầu vào V (t) =

Hãy biểu diễn quỹ đạo chuyển động của con lắc khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ đó hãy nhận xét quỹ
120


Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...

đạo có tính chất như thế nào khi n là một số lẻ và khi n là một số chẵn?
+ GV hướng dẫn SV dùng phần mềm Matlab để vẽ từng đường cong khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Quan sát các hình ảnh, ta thấy rằng khi n chẵn thì đồ thị “Lissajous” là đường cong không
kín, khi n lẻ thì đồ thị “Lissajous” là đường cong kín (hình 10)

Hình 10
Trong cả 2 trường hợp thì đồ thị đều đối xứng qua trục Ox. Nhưng khi lẻ thì nó có dạng
hình “đồng hồ cát”, nhận cả Ox và Oy làm trục đối xứng, và có tâm đối xứng là O(0, 0). Đặc biệt,
khi n = 1 thì đồ thị “Lissajous” là đường tròn đơn vị tâm (0, 0) bán kính 1.
Ví dụ 4: Ứng dụng đường thân khai của đường tròn trong chế tạo con lắc đồng hồ và
bánh răng khớp nối
Tương tự như trên, khi dạy ứng dụng Giải tích để giải bài toán thực tiễn nghề nghiệp, GV
và SV sử dụng Matlab vẽ đường thân khai của đường tròn biểu diễn một số tình huống trong thực
hành thiết kế chế tạo con lắc đồng hồ và các bánh răng khớp nối trong cơ khí. Điều đó rất có ý
nghĩa khi kĩ sư cần phải lựa chọn phương án thiết kế tối ưu, thể hiện ở ý nghĩa thực tiễn sau:
Đường thân khai của một đường tròn được nghiên cứu bởi Huygens khi ông tìm cách chế
tạo ra những chiếc đồng hồ chính xác. Huyghens phát minh ra bộ phận đáng chú ý là cái hồi - giúp
điều chỉnh tốc độ của đồng hồ. Ông cũng chế tạo ra các má cycloid giúp hệ thống treo quả lắc hoạt
động hiệu quả hơn, đảm bảo cho chuyển động đều của quả lắc bất chấp biên độ lớn của dao động.
Nhờ việc phát minh ra con lắc và những định luật chuyển động của con lắc, đồng hồ đã trở thành
đối tượng nghiên cứu và là điểm xuất phát của nhiều bộ phận máy móc cơ khí.
Một ứng dụng nổi tiếng khác của đường thân khai là chế tạo các bánh răng thân khai, điều
này giúp cho các bánh răng đạt được độ ăn khớp tốt nhất (hình 11). Người đầu tiên đề xuất ý tưởng
này là nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler (1707 - 1783). Ngày nay, người ta đã tìm ra nhiều loại

Ta có
= t cos t,
= t sin t
dt
dt
dy /
Hình 12
dy
dt
⇒
= tan t
= dx
/dt
dx
dy
= tan π = 0. Tức là hệ số góc
Với t = π thì
dx
của tiếp tuyến đồ thị hàm y(x) tại t = π bằng 0. Dựa
vào hình vẽ (hình 13), ta thấy tiếp tuyến này nằm ngang
(đường thẳng trên cùng màu tím).
+ GV đưa ra bài toán 2: Hình 14 biểu thị một hình
lò xo. Hãy viết phương trình tham số cho đường lò xo
Hình 13
trên. Sau đó dùng Matlab để vẽ đồ thị và kiểm tra lại
xem có đúng với hình ảnh đã cho hay không. Từ đó tìm các điểm (x; y) của đồ thị mà tại đó tiếp
tuyến có phương thẳng đứng hoặc nằm ngang, hoặc tại những điểm mà đồ thị cắt chính nó.
- Hướng dẫnSV sử dụng kiến thức chuyên ngành và Giải tích toán học, ta có phương trình
x(t) = t + 1 sin 2πt
tham số cần tìm là

(x; y) =
arccos(− ) + k +
sin arc cos(− ); 3 −
,k ∈ Z
2π
π
2π
π
π
k
dy
= 0 ⇔ −4π sin 2πt = 0 ⇒ t =
+ Tại những điểm đồ thị có phương nằm ngang thì
dt
2
k
k
Từ đó các điểm mà đồ thị có phương nằm ngang là (x; y) =
; 3 + 2(−1) , k ∈ Z
2
1
+ Dựa vào đồ thị, ta thấy các điểm mà đồ thị cắt chính nó có hoành độ x = + k , k ∈ Z,
2
1
1
từ đó thay vào phương trình của x ta được + k = t + sin 2πt.
2
2
+ Với mỗi giá trị k, dùng khảo sát hàm số, ta
chứng tỏ được rằng phương trình trên có 3 nghiệm phân

chỉ tính khi nó lăn chứ không trượt), chuyển động của một chấm nhỏ trên cuộn len khi nó đang lăn
(không trượt)... Khi đó, về mặt toán học, đường cong được vạch ra bởi điểm P nằm trên một đường
tròn, hay còn gọi là đường biên của một hình tròn khi hình tròn ấy lăn trên một đường thẳng, được
gọi là một đường cong Cycloid (hình 17).

Hình 17
Cách thức tiến hành như sau:
+ GV đưa ra bài toán: Giả sử hình tròn này có bán kính r và lăn trên trục x. Đặt một vị trí
của P làm điểm gốc, hãy tìm phương trình tham số cho đường cong Cycloid này.
+ GV: Chọn θ là tham số để chỉ góc quay của
đường tròn (với θ = 0 khi P đang ở vị trí điểm gốc).
Đặt tọa độ của P là P (x, y). Để có được phương trình
tham số cho đường Cycloid này ta quy về việc biểu diễn
x và y theo θ (hình 18).
- Giả sử đường tròn này đã quay một góc có giá
trị θ radian. Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, nên
khoảng cách mà nó đã lăn được từ vị trí điểm gốc là:
|OT | = arcP T = rθ. Do đó, tâm của đường tròn là
C (rθ, r).
- Mặt khác, ta có: x = |OT | − |P Q| = rθ −
r sin θ = r(θ − sin θ)
Hình 18
y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ)
Do đó, phương trình tham số của đường Cycloid là

x = r(q − sin q)
y = r(1 − cos q)

với q ∈ R.


trợ.
Cách thức tiến hành như sau:
a) Đường xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral)

Hình 21

Hình 22

Đường cong (hình 21) được vẽ bởi phần mềm Matlab mô tả đường cong với phương trình
tham số x = (4 + sin 20t) cos ty = (4 + sin 20t) sin tz = cos 20t.
Nó được gọi là một xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral) bởi vì nó nằm trên một hình xuyến.
b) Đường trefoil knot (được gọi là cây chia ba thắt nút)
Đường cong này (được mô tả trong hình 22) có phương trình
x = (2 + cos 1.5t) cos ty = (2 + cos 1.5t) sin tz = sin 1.5t
Chú ý: Ngay cả khi một đường cong không gian được vẽ bởi máy tính, ảo giác quang học
125


Lê Bá Phương

cũng gây khó khăn để hình dung và nhận ra đường cong thực sự như thế nào? Điều này đặc biệt
đúng đối với đường cong ở hình 22. Ví dụ tiếp theo cho thấy GV có thể làm thế nào để khắc phục
vấn đề này với sự trợ giúp của phần mềm Matlab.
c) Đường xoắn bậc 3 (twisted cubic)
Đường cong với phương trình véc tơ r(t) =< t, t2 , t3 > được gọi là xoắn bậc 3 (twisted
cubic). GV sử dụng Matlab để vẽ đường cong được cho bởi phương trình tham số x = t; y =
t2 ; z = t3 (với t ∈ [−2; 2]). Bằng cách sử dụng lệnh hàm plot3(), hoặc lệnh hàm ezplot3(), ta thu
được hình 23(a), nhưng thật khó để nhìn thấy bản chất thật sự của đường cong từ mỗi hình vẽ đó.
Tuy nhiên, hầu hết các chương trình đồ họa ba chiều trên máy tính cho phép người dùng đặt
đường cong hoặc mặt cong trong một hộp thay vì hiển thị các trục tọa độ. Nhờ vậy, nếu nắm vững

nó có thể được xem như là giao tuyến của các mặt trụ y = x2 và z = x3 . Sử dụng chức năng vẽ
giao của hai mặt đó trong Matlab, ta thu được hình ảnh của đường twisted cubic ở hình 25.
d) Đường cycloid và trochoid trong không gian biểu diễn quỹ đạo của hạt tích điện dương
trong điện trường và từ trường trực giao.
Để biết quỹ đạo chuyển động của một hạt tích điện dương trong điện trường và từ trường
trực giao E và B, nhờ sử dụng Matlab, ta có thể vẽ được đường đi của các hạt này. Tuỳ thuộc vào
vận tốc ban đầu, quỹ đạo đó hoặc là một đường cong không gian có hình chiếu trên mặt phẳng
nằm ngang là cycloid - hình 26(a), hoặc một đường cong có hình chiếu là trochoid - hình 26(b).
Hình 27 cho thấy đường cong của hình 26(b) được đưa ra bởi các lệnh tubeplot trong Maple.

Hình 26

3.

Hình 27

Kết luận

Để giảng dạy TCC gắn với thực tiễn đào tạo nghề nghiệp cho SV trường ĐHCN cần có
những biện pháp nhiều mặt. Trong đó, GV nắm vững và khai thác hợp lí phương tiện công nghệ
thông tin, nói riêng là máy tính với những phần mềm toán học chuyên dùng (Matlab, Maple, ...)
không những hỗ trợ SV nhận thức tốt môn Toán, mà còn giúp cho họ vận dụng toán học vào giải
quyết những tình huống bài toán trong thực tế học nghề một cách thuận lợi và đạt được hiệu quả
tốt hơn. Từ đó góp phần tạo ra ý thức chủ động, thói quen và kĩ năng vận dụng môn Toán vào thực
hành học nghề ngay từ khi học tập ở trường đại học và sau đó áp dụng vào thực tiễn nghề nghiệp.

127


Lê Bá Phương

This article looks at the use of mathematical software in teaching Advanced Mathematics
to students engaged in practical vocational training at the University of Industry. The author made
use of Matlab and Maple software to teach calculus to electronics and mechanics students at the
Hanoi University of Industry. Examples are presented to show how Maple and Matlab software
does help students grasp and solve practical problems in their field.
Keywords: Using mathematical software, advanced mathematics teaching associated with
practical vocational training.

128