PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN NGA SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016 - 2017
Môn thi: Toán 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 04/04/2017

Câu 1: (4 điểm).
  a  12
1  2a 2  4a
1  a3  4a


:
Cho biểu thức M = 
2
a3  1
a  1  4a 2
 3a   a  1



a) Rút gọn M.
b) Tìm a để M > 0.
c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.

CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5: (2 điểm).
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2a  3b  3c  1 3a  2b  3c 3a  3b  2c 1


P=
.
2015  a
2016  b
2017  c
.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGA SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Nội dung

Câu
a (2đ)
Điều kiện: a  0; a  1


 a  1
=

3



 1  2a 2  4a  a 2  a  1

 a  1  a

2



 a 1



.

0,5



4a
a 4
2


c) (1đ)

0,5

3

=
1
4.0đ



0,5

0,5

 



2
a 2  4  a 2  4a  4
a  2

4a
 1 2
Ta có M = 2
=
a2  4
a 4

0a2

0,5

Vậy MaxM = 1 khi a = 2.
a) (1đ)
x2 x4 x6 x8



98
96
94
92
x2
x4
x6
x8
+1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1)
(
98
96
94
92
1
1
1


1 2 3
) + > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x,
2
4

nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0  x {- 1; 2}

0,5

0,5

0,5

2) (2đ)
Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

1  x x  2 2( x  m)  2
(1)


xm xm
m2  x 2

0,5

ĐKXĐ: x+ m  0 và x- m  0  x  m

 (1  x)( x  m)  ( x  2)( x  m)  2  2( x  m)
 (2m  1) x  m  2(*)

2

(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m

m2
 m  m  2  2m2  m  m2  1  m  1
2m  1
1
Vậy phương trình vô nghiệm khi m  hoặc m = 1
2

0,25đ



0,5đ

3)(1đ)
Ta có : g  x   x 2  x  2=  x 1 x  2 
Vì f  x   ax3  bx 2  10x  4 chia hết cho đa thức g  x   x 2  x  2
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
 ax  bx  10x  4=  x+2  .  x-1 .q  x 
3

0.25đ
0.25đ

2



0,25

  x  y   3z 2  3xy  3 yz  3xz   0

0.25đ

2

  x  y   x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz+xz  yz  z 2  z 2  x 2  xy  y 2   0

  x  y  3  y  z  x  z   0
x  y  0
x   y

 y  z  0   y  z


 x  z  0
 x   z
* Nếu x   y  z  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1
* Nếu y   z  x  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1
* Nếu x   z  y  1  A  x 2015  y 2015  z 2015  1
2) (2điểm).
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB. ĐK x > 0.
3
x
(4,0đ)
Thời gian dự định đi hết quãng đường:
(giờ)

B
1

1
O

2
3

M
H'
1

H

D
C

N

a) (2đ)
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
0,5

Và B1  C1  450

0,5

BE = CM ( gt )


 ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
MN EB

c)(1.5đ)
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN  OME  MH ' B
Mà OME  450 vì ∆OEM vuông cân tại O

0.5

0,25

 MH ' B  450  C1
 ∆OMC


∆BMH’ (g.g)

OM
MC

, kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh)
BM MH ,

 ∆OMB

∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH ' C  450

0,5

(x,y,z > 0)
b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031


P=
2015  a
2016  b
2017  c
yz zx x y y x x z y z
P


     
x
y
z
x y z x z y

y x
z x
y z
. 2 . 2
.  6 (Co  si)
x y
x z
z y
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671
Vậy giá tị nhỏ nhất của biểu thức p là 6 khi a = 673, b = 672, c = 671

0,25