SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12
HÀ NỘI Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi 12 - 11 - 2009
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang )
Bài I (6 điểm)
Cho hàm số
2 2 2 2
( 1) ( 1) (1 )y x m m= − − + −
( m là tham số )
1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số trên với trục hoành.
2. Xác định các giá trị của m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
Bài II ( 5 điểm )
1. Giải phương trình :
9( 4 1 3 2) 3x x x+ − − = +
2. Cho dãy số
( )
n
u
có
2
n
n
n
n
P
u
A
+

’
có cạnh bằng a. Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn
điểm N thuộc cạnh D
’
C
’
sao cho AM + D
’
N = a
1. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
2. Tính thể tích của khối chóp B
’
.A
’
MCN theo a. Xác định vị trí của điểm M để khoảng cách
từ B
’
tới mặt phẳng (A
’
MCN) đạt giái trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
3. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi điểm M chạy
trên cạnh AB
Bài IV (4 điểm)
1. Cho hai số thực x, y thoả mãn
1 0x y≥ ≥ >
Chứng minh rằng :
3 2 3 2
2 2
1
x y y x

(1) với m là tham số
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1). Tìm m để khoảng
cách giữa hai điểm cực trị đó là nhỏ nhất.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Gọi các hoành độ giao
điểm đó là: x
1
, x
2
, x
3
a, Tìm m để x
1
, x
2
, x
3
lập thành cấp số cộng
b, Tìm m để
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + ≥
Bài III: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0), C(7;0). Tìm toạ
độ tâm I của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết bán kính của đường tròn nội tiếp tam
giác đó là r =
5 2 5−
Bài IV: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O , có bán kính OK vuông góc với bán kính OA. Gọi M là trung điểm của
đoạn OK, phân giác của góc OMA cắt bán kính OA tại N. Qua N vẽ đường thẳng song song với
đường thẳng OK, cắt cung nhỏ AK tại B. Chứng minh rằng : AB là một cạnh của ngũ giác đều

2. Gọi (C ) là đồ thị hàm số ứng với a; b; c tìm được ở câu 1
CMR: hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng
1
2
y =
là
1
9
x cos
π
=
;
2
7
9
x cos
π
=
;
3
13
9
x cos
π
=
.
3. Gọi các giao điểm theo thứ tự là
1 2 3
, ,M M M
các tiếp tuyến tại các điểm

≥
5
……………………..Hết……………………
( Giám thị không giải thích gì thêm)
ĐỀ CHÍNH THỨC