Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021
TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC 2020-2021

Phần 1: Tuyển tập các đề thi trên toàn quốc (từ trang 2 đến trang 75)
Phần 2: Phân loại theo chủ đề
• Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan trang 71

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

• Chủ đề 2:Hàm số và các bài toán liên quan trang 82
• Chủ đề 3:Phương trình trang 85
• Chủ đề 4: Hệ phương trình trang 92
• Chủ đề 5: Bất đẳng thức trang 96
• Chủ đề 6: Giải bài toán bằng cách lập pt, hệ pt trang 103
• Chủ đề 7: Số học- đa thức trang 104
• Chủ đề 8:Hình học trang 113
Ngày 28/7/2020 Vũ Ngọc Thành Bản Vàng Pheo Phong Thổ Lai Châu

1


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN
Môn: Toán chung
Thời gian: 120 phút, không kể phát đề.

1. Giải hệ phương trình
x2 + y 2 + xy = 7
9x3 = xy 2 + 70(x − y)
2. Giải phương trình

b (ab + 2c2 ) c (bc + 2a2 ) a (ca + 2b2 )

—HẾT—

2

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ THI CHUYÊN XH VÀ NV 2020-2021
Môn: Toán.
Thời gian: 60 phút, không kể phát đề.

 x
 7 + 12(x + y) = 31
y
1. Giải hệ phương trình
 x +x+y =3
y
√
√
2. Giải phương trình x + 3 + 2 x = 2 + x(x + 3)
3. Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2 − 2x − a = 0 với a là số thực dương. Chứng minh
biểu thức M = x31 + x32 + 6x1 x2 là số nguyên.
Bài 2. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). M A, M B là các tiếp tuyến của đường tròn (O)(A, B ∈
(O))

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021
Môn: Toán vòng II.
Thời gian: 270 phút, không kể phát đề.

1. Giải hệ phương trình

(x + y)(x + 1) = 4
(y 2 + xy + x + y + 5) (x3 + y 3 + 12y + 13) = 243

2. Giải phương trình (x − 12)7 + (2x − 12)7 + (24 − 3x)7 = 0
Bài 2.
1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho cả ba số 4a2 + 5b, 4b2 + 5c, 4c2 + 5a đều là bình
phương của số nguyên dương.
2. Từ một bộ bốn số thực (a, b, c, d) ta xây dựng bộ số mới (a + b, b + c, c + d, d + a) và liên tiếp xây
dựng các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu
được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng (a, −a, a, −a)
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC < 90◦ . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho AEB > 90◦
Gọi P là giao điểm của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q
là hình chiếu vuông góc của E lên AP . Gọi giao điểm của EQ và P K là F .
1. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, P, F cùng thuộc một đường tròn.
2. Gọi giao điểm của KQ và P E là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE.
3. Gọi giao điểm của F L và AB là S. Gọi giao điểm của KE và AL là T . Lấy R là điểm đối xứng
của A qua L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp
tam giác BP R tiếp xúc với nhau.
Bài 4. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
3

1 1 1
+ + −1
a b c

Môn: Toán chung
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. 2x − 6 = 0
2. x2 − 4x + 3 = 0
x + y = 10
x−y =4

3.
Bài 2.

1. Thực hiện phép tính:

√
√
√
64 + 25 − 9

2. Cho biểu thức: Q = √

1
2
6
với x ≥ 0; x = 9
+√
−
x−3
x+3 x−9

(a) Rút gọn biểu thức Q

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.
2x + 1
1
√
−√
3
x−1
x −1

:

1−

x+4
√
x+ x+1

với x ≥ 0, x = 1; x = 9.

1. Rút gọn biểu thức M .
2. Tìm giá trị của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên dương.
Bài 2.
1. Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng với hệ số góc dương đi qua điểm A(2; 1) và tạo
1
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng .
2
2. Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 − (m + 5)x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm
17
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = .
4

Bài 1. M =


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

thức
P =

b
c
a
+
+
= 2020. Tính giá trị của biểu
b+c c+a a+b

a2
b2
e2
+
+
b+c c+a a+b

: (a + b + c).

Bài 2.

b−a+
+
a
b
Bài 5. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F .
Kẻ đường kính EJ của đường tròn (I). Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng
JD cắt d, BC lần lượt tại L, H.
1. Chứng minh: E, F, L thẳng hàng.
2. JA, JP cắt BC lần lượt tại M, K, Chứng minh: M B = M K.
Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 3x − y 3 = 1
—HẾT—

7

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

:

√
x− x
2

2
a
b
c

—HẾT—

8

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1. Cho biểu thức P =

√
√
x+2 x− x−3
√
√
−
x+1 x− x−2


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

TUYỂN SINH CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021
Môn: chuyên toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Cho biểu thức P =


Bài 4. Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + 1 − b = 0 có hai nghiệm nguyên (với a, b lần lượt là tham số).
Chứng minh rằng a2 − b2 + 2 là số nguyên và không chia hết cho 3 .
Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
bc
ac
1
ab
+
+
−
.
T =
3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b
ab(a + 2c)(b + 2c)
—HẾT—

9

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán- tin
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.


(a) Chứng minh BM.BC = BF.BD.
(b) Chứng minh EF ⊥ AC.
Bài 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

x + yz y + zx z + xy
+
+
.
y+z
z+x
x+y

—HẾT—

10

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên toán
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức
√

x + y − 3x + 2y = −1
2. Giải hệ phương trình
√
x+y =y−x
1. Giải phương trình

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p3 + 3pq + q 3 là một số chính phương.
Bài 4.
1. Cho tam giác ABC cân tại A ( với BAC < 60◦ ) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là điểm bất kì
trên cung nhỏ BC . Chứng minh rằng M A > M B + M C.
2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm
cạnh BC và E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AC và AB. Đường thẳng EF cắt
các đường thẳng AO và BC theo thứ tự M và N .
(a) Chứng minh tứ giác AM DN nội tiếp.
(b) Gọi K là giao điểm của AB và ED, L là giao điểm của AC và F D, H là trung điểm của
KL và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . Chứng minh HI ⊥ EF .
(x + y)2 (x + y)2
Bài 5. Cho x, y là 2 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2
+
.
x + y2
xy
—HẾT—

11

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


1. Cho đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn P (1) = 3 và P (3) = 7. Tìm đa thức dư trong phép
chia đa thức P (x) cho đa thức x2 − 4x + 3.
2. Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c + abc = 4, tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P = ab + bc + ca.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
và K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là chân các
đường vuông góc kẻ từ điểm I đến các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn ( I
) tại hai điểm phân biệt D và M . Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng
BC tại N .
1. Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K.
2. Gọi P là giao điểm của BI và F D. Chứng minh góc BM F bằng góc DM P .
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng KN .
Bài 5. Cho một bảng ô vuông kích thước 6 × 7 ( 6 hàng; 7 cột) được tạo bởi các ô vuông kích thước
1 × 1.Mỗi ô vuông kích thước 1 × 1 được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho trong mọi
bảng ô vuông kích thước 2 × 3 hoặc 3 × 2 có ít nhất hai ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen
chung cạnh. Gọi m là số ô vuông kích thước 1 × 1 được tô màu đen trong bảng.
1. Chỉ ra một cách tô sao cho m = 20.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của m.
—HẾT—

12

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021

2 x + y = y2 + y − x
2. Giải hệ phương trình
.
y − 1 = x + 3y + 1 − 4
Bài 3. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2 + 5y 2 + 4xy + 3x + 4y = 27. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của biểu thức M = x + 2y.
Bài 4. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với
đường tròn ( B, C là các tiếp điểm, AD < AE, DB < DC ). Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc
với DE tại H, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh:
1. Tứ giác BCOH nộp tiếp.
2. KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
3. DBC = HBC
Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

ab (a + b)
là số nguyên.
ab + 2

—HẾT—

13

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN AN GIANG NĂM 2020-2021

Bài 3. Cho hàm số y =
1. Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ.
2. Đường thẳng (d ) song song với (d) và đi qua điểm có tọa độ (0; 3). Đường thẳng (d) và (d ) cắt
trục hoành lần lượt tại A; B, cắt trục tung lần lượt tại D; C. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4. Trên đường tròn đường kính AD lấy hai điểm B và C khác phía với AD sao cho BAC = 60◦ .
Từ B kẻ BE vuông góc với AC (E ∈ AC).
1. Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BEC đồng dạng.
2. Biết EC = 3cm. Tính độ dài dây BD.
Bài 5. Trên mỗi đỉnh của một đa giác có 12 cạnh người ta ghi một số, mỗi số trên một đỉnh là tổng
của hai số ở hai đỉnh liền kề. Biết hai số ở hai đỉnh A5 và A9 là 10 và 9. Tìm số ở đỉnh A1.
A8

A7

A6

A9
10

9
A10

A5
A4
A3

A11
A12

A2

(2 − x) y = x2 + y 2

.

Bài 2.
1. Cho đa thức
P (x) = (x − 2) (x + 4) x2 + ax − 8 + bx2
với a và b là các số thực thỏa mãn a + b < 1. Chứng minh rằng phương trình P (x) = 0 có bốn
nghiệm phân biệt.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x (x + y)2 − y + 1 = 0.
Bài 3. Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = (a + b)

√

a2

1
1
+√
2
2
− ab + 2b
b − ab + 2a2

.

Bài 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm S thuộc tia đốicủa tia AB kẻ đến (O) hai
tiếp tuyến SC và SD( C, D là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của hai đường kính AB và dây CD.
Vẽ đường tròn (O ) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại S. Hai đường tròn (O) và (O ) cắt


ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2020-2021
Môn: Toán chuyên
Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1. Cho biểu thức

√
√
√
3x + 5 x − 1 − 14
x−1−2
x−1
√
A=
−√
−√
x−3+ x−1
x−1−1
x−1+2

với x ≥ 1, x = 2.
(a) Rút gọn biểu thức A.
(b) Tìm tất cả các giá trị x để A nhận giá trị là số nguyên.
Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = −mx + 2 − m ( m là tham số ). Tìm m
để đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 sao cho biểu thức
1
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
T =

2. Trong mặt phẳng cho 2020 điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm
có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1cm chứa
không ít hơn 1010 điểm trong 2020 điểm đã cho.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE và
CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, K là giao điểm của
hai đường thẳng BC và EF .
1. Chứng minh rằng KB.KC = KE.KF và H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF .
2. Qua điểm F kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt các đường
thẳng AK, AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh F P = F Q.
3. Chứng minh rằng đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng AM .
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a2
b2
c2
1
+
+
2
2
2 ≤
2
2
2
3
5a + (b + c)
5b + (c + a)
5c + (a + b)
—HẾT—
16


x4 − 2x2 y = 1

.
2x2 + y 2 − 2y = 2
√
2. Giải phương trình 2 (x − 2) x + 2 = −x2 + 3x + 3.
Bài 3.
1. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 2n + 2021 và 3n + 2020 đều là các số chính phương.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho

x2 − 2
có giá trị là số nguyên.
xy + 2

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm khác phía
đối với đường thẳng AB. Đường thẳng d thay đổi đi qua B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại
C và D (d không trùng với đường thẳng AB).
1. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.
2. Gọi M là điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn (O); N là điểm di
chuyển từ điểm A, cùng chiều kim đồng hồ trên (O’) sao cho góc ∠AOM luôn bằng góc ∠AO N .
Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x2 z 2 + y 2 z 2 + 1 ≤ 3z.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

1
8
4z 2
+
+


x2 y + 2x2 + 3y = 15
.
x4 + y 2 − 2x2 − 4y = 5

Bài 2.
1. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba
phương trình sau có nghiệm
x2 + ax + 1 = 0; x2 + bx + 1 = 0; x2 + cx + 1 = 0.
2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = (1 + 2a) (1 + 2bc).
Bài 3.
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n (2n + 7) (7n + 1) luôn chia hết cho 6.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 4a + 1 và 4b − 1
nguyên tố cùng nhau; a + b là ước của 16ab + 1.
Bài 4.
1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA. Vẽ tia Ix
vuông góc với AB cắt nửa đường tròn (O) tại C. Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E = B; E = C)
nối AE cắt CI tại F .
(a) Chứng minh rằng BEF I là tứ giác nội tiếp.
(b) Gọi K là giao điểm của hai tia BE và Ix. Giả sử F là trung điểm của IC. Chứng minh rằng
hai tam giác AIF và KIB đồng dạng. Tính IK theo R .
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường
tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau.
Bài 5. Một bảng có kích thước 2n × 2n ô vuông, n là số nguyên dương. Người ta đánh dấu vào 3n ô
bất kỳ của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho các ô được đánh
dấu đều nằm trên n hàng và n cột này.
—HẾT—
18

Bài 3.
1. Giải phương trình

√

x−3+

√

2x − 1 =

√

−2x2 + 10x + 1

2. Giải hệ phương trình
x3 − 3y 3 + 2xy + 2x − 2y = 0
√
x3 + 2y 2 + 4 − x + 3y + 1 + x3 − 2y − 1 = 0
Bài 4.
1. Ông Việt muốn xây một bồn chứa nước hình trụ có thể tích 8m3 . Đáy và thành làm bằng bê-tông
giá 10 nghìn đồng/m2 , nắp làm bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2 . Vậy đáy của hình trụ có bán
kính bằng bao nhiêu để chia phí xây dựng là thấp nhất?
2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng
√
√
√
16a + 9 + 16b + 9 + 16c + 9 ≥ 11.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn ( B, C là hai điểm thuộc đường tròn tâm O). Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M

1
1
1
+ = . Chứng minh rằng phương trình
m n
2

x2 + mx + n

x2 + nx + m = 0

luôn có nghiệm.
Bài 2. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 1 ≤ x ≤ y ≤ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 x2 + y 2 + 4 (x − y − xy) + 7

Bài 3.
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình
x2 + xy + y 2 = x2 y 2 .
2. Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab + a + b = 1, chứng minh rằng:
a
b
+
=
2
1+a
1 + b2
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A BAC > 90◦

1 + ab
2 (1 + a2 ) (1 + b2 )

1−
a+1

:

√
1
2 a
√
√
− √
a+1 a a+ a+a+1

1. Rút gọn biểu thức A.
√
2. Tính giá trị của A khi a = 2021 − 2 2020.
Bài 2.
√
1. Giải phương trình 2x2 − 3x 5x − 4 + 5x − 4 = 0.
2. Giải hệ phương trình

4x2 y − xy 2 = 5
.
64x3 − y 3 = 61

Bài 3.
1. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) : y = 2x − m cắt parabol (P ) : y = x2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ dương.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 + mx + 8 = 0 và phương trình x2 + x + m = 0
có ít nhất một nghiệm chung.

√
1
(b) a2 − ab + 3b2 + 1 ≥ (a + 5b + 2).
4
(a)

2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a2

1
1
1
+√
+√
2
2
2
2
− ab + 3b + 1
b − bc + 3c + 1
c − ca + 3a2 + 1

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

P =√

1 1 1
+ + ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a b c

(x − 2) (x − 1) (x + 3) (x + 4) − 24 = 0.
Bài 3. Cho phương trình 2x2 − 4mx − 2m2 − 1 = 0 (1) ( với m là tham số).
1. Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) khi m = 3, không giải phương trình hãy tính giá
trị biểu thức
Q = 8x21 − 50x1 − 70 8x22 − 50x2 − 70 + 2094.
Bài 4. Cho đường tòn (O; R) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của Ax của (O; R) lấy điểm C khác
A. Kẻ tiếp tuyến CD với (O; R) ( D là tiếp điểm, D khác A ).
1. Chứng minh rằng tứ giác OACD nội tiếp được một đường tròn.
2. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BD tại E. Chứng minh rằng BD.BE = 2R2 .
3. Gọi F là trung điểm của OE. Chứng minh rằng ba điểm B, F, C thẳng hàng.
Bài 5. Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng sin

A
a
≤
.
2
b+c

—HẾT—

23

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Bài 1.


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021


Bài 1. Giải hệ phương trình


Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào trường chuyên năm 2020-2021

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO CHUYÊN CAO BẰNG NĂM 2020-2021
Môn: chuyên Toán

Bài 1. Cho biểu thức

√
√
x2 − x
3x + 2 x 2(x − 1)
√
√
P =
−
+ √
x+ x+1
x
x−1

với x > 0; x = 1 .
1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các giá trị của x để

P
√ < 2.


x2 +

1
y2

y2 +

Vũ Ngọc Thành, bản Vàng Pheo, Phong Thổ, Lai Châu

Thời gian: 180 phút, không kể phát đề.

1
−
x2

17
.
16
—HẾT—

25