Đề thi khảo sát học sinh giỏi
Môn: Toán- Khối 9 (Năm học 2008- 2009)
(Thời gian: 150

không kể thời gian giao đề)

Câu 1:
a, Rút gọn biểu thức:
A=
3
2 3 4 2
.
6
44 16 6+
b,Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a
2
+ ab + b
2
- 9a 9b + 2009

Câu 2:
a, Giải phơng trình:
x +
1 1
2 4
x x+ + +
= 2
b, Giải hệ phơng trình:

Câu 3: cho a,b,c > 0, chứng minh rằng:

tính diện tích hình thang vuông EEFF theo a.
b, Khi điểm M di động trên AB, Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với
một đờng tròn cố định.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).
(Họ và tên học sinh: . SBD: .)
http://violet.vn/tranthuquynh81
2 2
2
2 1
2
x y
xy x

=


+ =


Đáp án:Môn toán 9(năm học 2008-2009)
Câu Phần Lời giải Thang
điểm
1
a
Ta có: A =
3
2 3 4 2
.
6
44 16 6+

36a - 36b + 8036


4M = (a - b)
2
+ 3(a + b - 6)
2
+ 7928

4.1982
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
0 3
6 0 2 6 0 3
a b a b a
a b a b
= = =



+ = = =


Vậy M
Min
= 1982 Khi a = b =3
1
2 a
Ta có:





2
2
1
4
1
2
=








++
x
(vì
1
0
4
x +
)



1 1
2

2 0 3 2 0
x y
x y x y
xy x x y
xy x x xy y
x y
x y
x x y x y x y x y

=

= =



+ =
+ = =





=

=
+ = + =







=





=


Từ hệ phơng trình (I) ta có:
2
1
1
1
x y
x y
x y
x
=
= =






=



Do đó, hệ phơng trình(II) vô nghiệm.
Vậy, hệ đã cho có 2 nghiệm là: x= y= -1 và x= y= 1.
3
+ Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
Ta có :

3
4 2
3
4 2
3
4 2
2 2
2 2
2 2
a
ab a a
b
b
bc b b

+ =
Nên ta có:
( )
( )
2 2 2
2 2a b c ab bc ca+ + + +
Do đó ta có:
( )
3 3 3
2
a b c
ab bc ca ab bc ca
b c a
+ + + + + + +
Vậy
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
(ĐPCM)
Dấu = xảy ra

a= b= c.
2
http://violet.vn/tranthuquynh81
4
+ Ta có: 2xy
2
+ x + y + 1 = x

2 0
1
y x y
x
+ =

nguyên
1
1x


nguyên
{ }
1 1;1x
Nên
1 1 2
1 1 0
x x
x x
= =



= =

* Thay x= 2 vào phơng trình (2)
1
1
2
y

OMH = 30
0

nên: OH =
1
2
OM
=
4
a
,
.
4
15
16
2
222
a
a
aOHOFFH
===
kéo dài EE cắt đờng tròn (O) đờng kính AB tại D. Do OA

ED suy
ra OA là đờng trung trực của DE

ME= MD và

DMA=


3 5
' ' 3 .
4
ME EE MF FF E F ME MF
EE FF a
= = ⇒ = +
= + =

VËy diÖn tÝch h×nh thang vu«ng EE’F’F lµ:
( )
2
' '
1 1 15 3 5 15 3
' ' ' ' . .
2 2 4 4 32
EE F F
S EE FF E F a a a= + = =

b
XÐt c¸c cung nhá
,AE BF
) )
. Do A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung
DAE
)
nªn
S®
AE
)
+ S®

kh«ng ®æi.
Do vËy EF lu«n tiÕp xóc víi ®êng trßn t©m (O) b¸n kÝnh
2
a
khi M di
®éng trªn AB.
1,5

http://violet.vn/tranthuquynh81