Dạng 5. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng thẳng với đường thẳng

Oxyz
Câu 190. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

đường thẳng

 x = 2+ 3t

d :  y = −3 + t
 z = 4 − 2t


d′ :

x− 4 y+ 1 z
=
=
3
1
−2

. Phương trình nào dưới đây là
d
d′
phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa
và , đồng thời cách đều hai
đường thẳng đó.
x− 3 y+ 2 z − 2
x+ 3 y+ 2 z+ 2
=

=
3
1
−2
Lời giải

Chọn D
d / / d′
có cùng véctơ chỉ phương hay
r
u = ( 3;1; −2)
Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là
và đi qua trung điểm
Ta thấy hai đường thẳng

I ( 3; −2;2)

của

AB

với

d

và

d′

A ( 2; −3;4) ∈ d


B.

12
5

.

C.
Lời giải

1

3 2
2

.

3
D. .


r
r
u = ( 1; 2;1) d 2
N ( 3; −1; 2 )
v = ( 1; −2;1)
qua
có
,

2
1
−2
−2
−1 2
với hệ tọa độ
cho hai đường thẳng
,
.
Xét vị trí tương đói của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau
B. Trùng nhau
C. Song song
D. Cắt nhau
d1 :

Oxyz

Lời giải
Chọn C
x −1 y z + 2
x + 2 y −1 z
ur
r
d
:
=
= ⇒ uuu
= =
2

01) Trong không gian tọa độ
x −1 y +1
∆1 :
=
=
2
2

A.
với

∆1

song song với

∆2

∆2

. B.

∆1

, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
z
x−3 y −3 z +2
, ∆2 :
=
=
3



2
2
≠
−1 − 2

ur
u1 = ( 2; 2;3)

∆1
nên vectơ chỉ phương
của đường thẳng
không cùng
uu
r
u2 = ( −1; −2;1)
∆2
∆1
∆2
∆1
phương với vectơ chỉ phương
của
. Tức là
chéo với
hoặc
Vì

cắt



cắt

∆2

.

[2H3-3.2-3] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz

∆1 :
, cho hai đường thẳng

x+ 1 y+ 2 z−1
=
=
2
1
1

Đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của
M ( 0; −2; −5 )
N ( 1; −1; −4 )
A.
.
B.
.

∆2 :
và


∆2
và
uuu
r .
AB = ( −1− 2t − 4t′;3− t + t′; −3− t − t′ )
ur
u′ = ( −4;1; −1)

AB

.

.

∆1

có VTCP

là hai điểm lần lượt thuộc
r
u = ( 2;1;1)

uuu
rr
 AB.u = 0
⇔  uuu
r ur
∆2
 AB.u′ = 0

r
AB = ( 1;1; −3)

.

Phương trình đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của
Q ( 3;1; −4 )
Chỉ có điểm
có tọa độ thỏa mãn phương trình.

∆1

và

∆2

là:

 x = 1+ t1

 y = −1+ t1
 z = 2 − 3t

1

.

Câu 195. [2H3-3.6-3] (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong
Oxyz
không

12
A.
.
B.
.

m

sao cho

d1

và

d2

chéo

S
. Tính tổng các phần tử của .
−12
11
C.
.
D. .

Lời giải
d1
d2


m

uuuu
r

.

uuuu
r

[ u1 , u2 ] .MN
r r
[ u1 , u2 ]
là

.

[ u1, u2 ] .MN ≠ 0 ⇔ m ≠ −6

r r

5 ⇔
19

r
u2 = ( 1;1;0)

.

.

Câu 196. [2H3-3.6-3] Trong không gian
A ( 1; 0; −1)

điểm
r
v = ( a;1; 2 )
A.

a = −1

d2

. Gọi

. Giá trị của

.

Oxyz

d1 :
, cho đường thẳng

A

là đường thẳng đi qua điểm

x −1 y − 2 z − 3
=
=

v = ( a;1; 2 )
là:
 x = 1 + at ′

d2 :  y = 0 + t′
 z = −1 + 2t ′


d1

nhận
phương

r
u = ( 1; −2;1)

d1

d1

là:

d2

x = 1+ t

 y = 2 − 2t
z = 3 + t





⇔ t ′ = 2 ×
 2 − 2t = 0 + t ′ ⇔ −2t − t ′ = −2 ⇔ t ′ = 2
3 + t = −1 + 2t ′
t − 2t ′ = −4
0 − a.2 = 0
a = 0




Vậy

a=0

.

5

làm vectơ chỉ
1 + t = 1 + at ′

2 − 2t = 0 + t ′
3 + t = −1 + 2t ′



Câu 197. [2H3-3.8-3] (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong


h−k

0.

HK

x y z +1
x − 3 y z −1
= =
,
= =
, ∆1 :
1 1
−2
2
1
1

vuông góc với

d

nhỏ nhất. Biết rằng

bằng
4.
B.

C.


.
uu
r
ud = ( 1;1; −2 )

d
Đường thẳng có một VTCP là
.
uuur
uu
r uuur
∆ ⊥ d ⇔ ud .HK = 0 ⇔ m − t + 2 = 0 ⇔ m = t − 2 ⇒ HK = ( −t − 4; t − 2; −3) .
HK 2 = ( −t − 4 ) + ( t − 2 ) + ( −3) = 2 ( t + 1) + 27 ≥ 27, ∀t ∈ ¡
2

2

2

2

Ta có
⇒ minHK = 27,

t = −1
đạt
được
khi
.r
uuur

. Phương


trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa
thời cách đều hai đường thẳng đó.
x+3 y+2 z +2
x − 2 y −1 z − 4
=
=
=
=
3
1
−2
1
−2
2
A.
. B.
.

C.

x−3 y z −2
=
=
1
−2
2


và có véc tơ chỉ phương

B ( 4; −1; 0 )

ur
uu
r
u1 = −u2

Đường thẳng

khi và chỉ khi

chỉ phương là

∆

và

có véc tơ chỉ phương

2 − 4 1+1 4
≠
≠
1
−2 2

nên

thuộc mặt phẳng chứa

đồng thời cách đều hai đường thẳng đó

qua trung điểm

I ( 3;0; 2 )

và có một véc tơ

x−3 y z −2
=
=
1
−2
2
∆
. Khi đó phương trình của :
.

Câu 199. [2H3-6.2-3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Trong không gian

Oxyz

( d3 ) :

( d1 ) :
, cho bốn đường thẳng:

x −1 y +1 z −1
=
=


x
y z −1
=
=
1 −2
1

,

. Số đường thẳng trong không gian

C. Vô số.
Lời giải

( d2 ) :

1
D. .


Đường thẳng
ur
u1 = ( 1; −2;1)
.

d1

M 1 = ( 3; −1; −1)


(α)
d1
d2
(α)
Gọi
là mặt phẳng chứa
và
khi đó
có một véctơ pháp tuyến là
r
n = ( 1;1;1)
( α ) x + y + z −1 = 0
. Phương trình mặt phẳng
là
.
A = d3 ∩ ( α )
A ( 1; −1;1)
B = d4 ∩ ( α )
B ( −1; 2;0 )
Gọi uuu
thì
.
Gọi
thì
.
r
ur
AB = ( −2;3; −1)
u1 = ( 1; −2;1)
AB

19

. Tính tổng các phần tử của
−11
12
A.
.
B. .

d1

S

và

d2

x −1 y z
= =
2
1 3

,

x = 1+ t

d2 :  y = 2 + t
z = m




11

.


Đường thẳng

uu
r
u2 = ( 1;1;0 )

M 2 = ( 1; 2; m )

d2

đi qua điểm
và có VTCP
.
ur uu
r
uuuuuur
uuuuuur
M 1M 2 = ( 0; 2; m ) u1 , u2  = ( −3;3;1)
[ u1 , u2 ] M 1M 2 = m + 6
Ta có:
;
. Do đó
.



là

5
19

là

.

−1 + ( −11) = −12

.

Dạng 6. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt cầu
Câu 201. [2H3-3.7-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian

với

∆2 :

hệ

trục

Oxyz

x −1 y −1 z −1
=
=


∆1

và

∆2

4
π
17

.

(đvdt).

C.

16
π
17

(đvdt).

D.

Lời giải
∆1 ∆ 2
AB
là hai điểm thuộc lần lượt và sao cho
là đoạn thẳng vuông góc

lần lượt là:
9

là mặt cầu có bán kính bé nhất.

4
π
17


A(2t1 − 1; t1 − 1;2t1 − 1)

và

B(2t2 + 1;2t2 + 1; t2 + 1)

uuu
r
⇒ AB (2t2 − 2t1 + 2; 2t2 − t1 + 2; t2 − 2t1 + 2)

Có

ur
u1 (2;1;2)

và

uu
r
u2 (2;2;1)

=
1
8t − 9t1 + 10 = 0

17
⇔ 2
⇔
uuu
r
9
t
−
8
t
+
10
=
0
 2
1
t2 = −10 ⇒ A( 3 ; −7 ; 3 ) B( −3 ; −3 ; 7 ) AB ( −6 ; 4 ; 4 )

17
17 17 17
17 17 17
17 17 17
;
.
AB 1 ( −6) 2 + 4 2 + 4 2
17


d2 :  y = t '
z = 0


Oxyz

. Viết phương trình mặt cầu

hai đường thẳng

d1

và

d2 .

10

, cho hai đường thẳng

( S)

 x = 2t

d1 :  y = t
z = 4


và

2

2

2

+ ( y − 1) + ( z − 2) 2 = 4.
2

D.

+ ( y + 1) 2 + ( z + 2) 2 = 16.

Lời giải
Đường thẳng
Đường thẳng

d1
d2

Để phương trình mặt cầu
đường thẳng

d1

và

d2

có vectơ chỉ phương


d1

; gọi điểm

N (3 − t '; t ';0)

thuộc

d2

với

d1

MN

và

d2

,

là đoạn

d1
d2
vuông góc chung của
và .
uuuu

r uu
r
 MN .u2 = 0


t ′ + 5t = 6
t = 1
 M (2;1; 4)
⇔
⇔
⇒
 2t ′ + t = 3
t ′ = 1  N (2;1;0)

Gọi điểm

I

là tâm mặt cầu

( S)

, do đó điểm

⇒ I ( 2;1; 2 ) ⇒ R = IM = IN = 2

Suy ra mặt cầu

.


=
=
1
1
1

M

. Điểm

kẻ được ba tiếp tuyến

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 13 = 0
M ( a; b; c ) , ( a > 0 )

MA, MB, MC

nằm trên đường thẳng

đến mặt cầu

( S)

(

·AMB = 600 BMC
·
·
= 600 CMA
= 1200


A, B, C

là


( S)

Mặt cầu
Gọi
Đặt

( C)

có tâm

I ( 1; 2; −3)

vuông tại
hàng.

B

H

nên trung điểm

M ∈d

nên

 3
1 2 7
H  ;− ; ÷
3 3 3

( C)

IM = 6

.

và

H , I, M

ABC

thẳng

suy ra

nên

.

a 3 + b3 + c3 =

nên

( S)

2

là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng

MA = MB = MC = x

Lại có

R = 12 + 22 + ( −3) + 13 = 3 3

112
9

.

Dạng 7. Một số bài toán liên quan giữa điểm – mặt – đường – cầu
Dạng 7.1 Bài toán tìm điểm

Oxyz
Câu 204. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
I ( 1;2;3)

điểm
A.

H

và mặt phẳng

( P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0

D.

( P)

tại

H ( 3;0;2)


Tọa độ điểm

H

là hình chiếu của điểm

Phương trình đường thẳng
Tọa độ điểm

I

H

d

qua

là giao điểm của

I


Vậy

H ( 3;0;2)

.

Câu 205. [2H3-2.7-3] Trong không gian
mặt phẳng
bằng
2
A. .

Oxyz

( P ) : x − 2 y + 2z + 9 = 0

B.

−1

, biết mặt cầu

( S)

H ( a; b; c)

tại điểm

.


 z = 2t

OH

⇒ H ( t; −2t; 2t)
H ∈ ( P ) ⇒ t − 2.( −2t ) + 2.2t + 9 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H ( −1; 2; −2 ) ⇒ a + b + c = −1

Câu 206. [2H3-2.7-3] (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019
Oxyz
LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng

( P) : x − 2 y + 2z − 3 = 0

và mặt cầu

( S)

14

tâm

I ( 5; −3;5 )

, bán kính

R=2 5

. Từ một



B.

OA = 5

.

C.

OA = 3

.

D.

OA = 6

.

Lời giải
Chọn A
d ( I ; (P)) =
Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là:

AB

tiếp xúc với

(S )


I ( 5; −3;5 )

có VTCP

r uuur
u = n( P ) = ( 1; −2; 2 )

có phương trình

x = 5 + t

 y = −3 − 2t
 z = 5 + 2t


Có

A = IA ∩ ( P ) ⇒ 5 + t − 2(−3 − 2t ) + 2(5 + 2t ) − 3 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ A(3;1;1)

⇒ OA = 11

.

Câu 207. [2H3-3.7-3] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

M ( x0 ; y0 ; z0 )

thuộc

x = 1+ t


. Tổng

T = x02 + y02 + z02

30

B.

bằng

26

C.

20

D. 21

Lời giải
Chọn B
Mặt cầu
Gỉa sử

( S)

có tâm

T ( x; y ; z ) ∈ ( S )


2

2

2

⇔ ( 1 + t0 ) x + ( 1 + 2t0 ) + ( 2 − 3t0 ) z − 9 = 0

Suy ra phương trình mặt phẳng

( ABC )

2

2

2

.

có dạng

( 1 + t0 ) x + ( 1 + 2t0 ) y + ( 2 − 3t0 ) z − 9 = 0
Do

D ( 1;1; 2 ) ∈ ( ABC )

nên

1 + t0 + 1 + 2t0 + 2. ( 2 − 3t ) − 9 = 0 ⇔ t0 = −1 ⇒ M ( 0; −1;5 )

sao cho tam giác

Lời giải

16

và mặt phẳng

( α ) : 2x − y + 2z + 8 = 0

C.

0

.

ABC

đều?
D. Vô số.


Gọi

( P)

AB

, khi đó phương trình của
uu


( 1 + t − 0)

C ∈( P) ∩ ( α ) = d
AC = AB

đều nên
2

CA = CB

(α )

với mặt phẳng

nên phương trình tham số của

Do tam giác ABC đều nên
C ∈( α )

( P)

hay

C

d

là:


C ( 1 + t ;10; −t )

AB

mà

.

, thay tọa độ các điểm ta có:

+ ( 10 − 0 ) + ( −t − 3) =
2

( −2 − 0 )

2

2

+ ( 0 − 0 ) + ( 1 − 3)
2

2

⇔ t 2 + 4t + 51 = 0 ( *)

Do phương trình

( *)



. Tổng

Ba điểm

x2 + y 2 + z 2 = 9

A, B, C

và điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho

là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng
T = x02 + y02 + z02

B.

26

( ABC )

đi qua

bằng

.



Suy ra
Khi đó

là những tiếp tuyến tại

A, B, C ∈ ( S 2 )

có tâm là

R1 = 3

, bán kính

M

( S2 ) : ( x − ( a + 1) )

A, B, C

với mặt cầu

Mặt khác theo giả thiết
Suy ra tọa độ

A, B, C

, bán kính
2



Với

a = −1

, ta có

M ( 0 ; −1;5 )

.

.

thỏa mãn hệ:

Do đó phương trình mặt phẳng

( S1 )

.

2
2
2
⇔ ( S 2 ) : x + y + z − 2 ( a + 1) x − 2 ( 2a + 1) y − 2 ( 2 − 3a ) z + 9 = 0

A, B, C

.


Oxyz

x y−2 z
=
=
1
1
−1

, cho mặt cầu

. Hai mặt phẳng

2
2
2
(S ) : x + y + z − 2 x + 2 z + 1 = 0

( P)

,

( P′)

chứa

T T′
H
TT ′
tại , . Tìm tọa độ trung điểm

.
Lời giải

I (1;0; −1)

(S )

R = 12 + 02 + (−1) 2 − 1 = 1

Mặt cầu
tâm
, bán kính
.
d
K
I
Gọi
là hình chiếu vuông góc của lên .
K (t ; 2 + t ; −t )
K ∈d
nên ta có thể giả sử
uur
uur
IK = (t − 1; 2 + t ; −t + 1) ud = (1;1; −1)
d
,
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
uur uur
IK ⊥ d ⇔ IK .ud = 0 ⇔ t − 1 + 2 + t + t − 1 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ K (0; 2;0)
.

1
5


 x − 1 = 6 .(−1)
x = 6


1
1


⇔  y − 0 = .2 ⇔  y =
6
3


1
−5


 z + 1 = 6 .1
z = 6



Vậy

 5 1 −5 
H ; ; ÷

,

x − 3 y −1 z − 4
=
=
1
−1
1

mặt

phẳng

d ′ ∆′
d
∆
,
lần lượt là hình chiếu của
và
lên mặt phẳng

là giao điểm của hai đường thẳng
B.

và

5

.


và mặt phẳng

(α)

d

lên mặt phẳng

chứa

( P)

khi đó

d′

là giao tuyến của mặt phẳng

( P)

d

và vuông góc với mặt phẳng
.
uuur uu
r uur


n
=

∆

A ( −2;0; 2 )

lên mặt phẳng

chứa

∆

( P)

khi đó

và có một vec tơ pháp tuyến

∆′

là giao tuyến của mặt phẳng

và vuông góc với mặt phẳng

20

( P)

.


⇒

n( β ) = u∆ , nP  = ( 0; −2; −2 )

.

và có một vec tơ pháp tuyến

x + y − z + 2 = 0
 x = −1


3 x − 2 y + z + 4 = 0 ⇔  y = 2
y + z −5 = 0
z = 3



.

.

Dạng 7.2 Bài toán tìm mặt phẳng
Câu 212. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( S ) :( x − 2)

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 16
2


bán kính

uur
A ( −1; −1; −1) ⇒ IA = ( −3; −4;0 )

R=4

, tính được

21

Xét các điểm M thuộc

IA = 5

.

3x + 4 y − 2 = 0

D.


Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận
uur
IA = ( −3; −4;0 )
làm vectơ pháp tuyến.
Do

hai



nên

tính

uuur 16 uur
IH =
IA
25

tìm

được

được

 2 11

H  ; ; −1÷
 25 25


Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:

2  
11 

−3  x − ÷− 4  y − ÷ = 0 ⇔ 3x + 4 y − 2 = 0.
25  
25 

2
−1

d
∆
xúc với
, song song với và ?
y + z +3= 0
x + z +1 = 0
A.
B.
x + z −1 = 0

C.

Lời giải.
Chọn B

( S)

;

. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp

( S)

Mặt cầu

, cho mặt


.
Gọi

( P)

là mặt phẳng cần viết phương trình.
r r
r
u d , u ∆  = ( −1;0; −1)
P
n
= ( 1; 0;1)
(
)


Ta có
nên chọn một véctơ pháp tuyến của
là
.
Mặt phẳng

Do

( P)

( P)

có phương trình tổng quát dạng:


.

Câu 214. [2H3-4.5-2] Trong không gian
∆:

x+z+D =0

Oxyz

, cho mặt cầu

x−6 y−2 z −2
=
=
−3
2
2

và điểm
∆

M

( S ) : ( x − 1)

M ( 4;3;1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 1

Lời giải
Cách 1:
r
n = ( 2a; b; c )
( P)
a2 + b2 + c2 ≠ 0
Gọi
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
cần lập,
.
23


Đường thẳng
Mặt phẳng
Mặt phẳng

∆

( P)

r
u = ( −3; 2; 2 )

có vectơ chỉ phương là
∆

song song với

( P)


có tâm

( P)

tiếp xúc với mặt cầu

3b
13a + 2b − 6ab
2

và bán kính

2

( S)

R =1

.

⇔ d ( I,( P) ) = 1 ⇔

3b
4a 2 + b 2 + ( 3a − b )

2

=1


a = 7, b = −13

( P2 ) :14 x − 13 y + 34 z − 51 = 0

( *)

N ∉ ( P1 )

. Dễ thấy

.
ta được pt

, suy ra

, thay vào

.

24

( P1 ) : 2 x + y + 2 z − 13 = 0

( P1 ) : 2 x + y + 2 z − 13 = 0

( *)

ta được pt

.

đi qua

r
n

.

M ( 4;3;1)

nên phương án A, C bị loại.
r
u
= ( −3; 2; 2 ) ( P )
∆
∆
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
.
song song với đường thẳng
rr
n.u = 0
nên
. Do đó phương án D bị loại.
Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 215. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( S ) :( x − 2)

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 16

I ( 2;3; −1) ;

bán kính

uur
A ( −1; −1; −1) ⇒ IA = ( −3; −4;0 )

R=4

, tính được

25

Xét các điểm M thuộc

IA = 5

.

3x + 4 y − 2 = 0

D.