BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: Chứng minh bất đẳng thức A< B
Bài Tập 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a) a
4
+ b
4
≥ a
3
b + ab
3
, ∀a, b ∈ R b) a
2
+ b
2
+ 4 ≥ ab + 2(a + b) , ∀a, b ∈ R
c) 2(a
5
+ b
5
) ≥ (a
2
+ b
2
)(a
3
+ b
3
) , với a, b ≥ 0 d)
2 2
2 2

4 4 8
a
a a a
> ≠
− + −
Bài Tập 2: Chứng minh bất đẳng thức( sử dụng BĐT cô si)
a)
2; 0, 0
a b
a b
b a
+ ≥ > >
b)
1 1 4
; 0, 0a b
a b a b
+ ≥ > >
+
c)
1 1 1
( )( ) 9; 0, 0, 0a b c a b c
a b c
+ + + + ≥ > > >
d)
4
; , , , 0
4
a b c d
abcd a b c d
+ + +

với x≠2 b) y =
5x +
+
3
5 2x + −
với x ≠ -1 và x > -5
c) y = 4x +
1
4 2x +
với x ≠ -1/2 d) y =
1 1
cos sin
y
x x
= +
với 0 < x < π/2
Bài tập 4: Tìm Giá trị lớn nhất của hàm số
a) y=
( 1)x −
với x ≥1 b) y=
( 1)(4 )x x− −
với 1 ≤ x ≤ 4
c)y=
(2 5)(10 )x x− −
với 5/2 ≤ x ≤ 10 d) y= (x – 2)( 5-2x) v ới 2 ≤x ≤5/2
e) với x, y, z > 0 và x + y z = 1 ; y =
1 1 1
x y z
x y z
+ +

( 1)
3
x x −
13/ y=
2
3 2x x− +
14/ y=
2
9x −
x. 15 /y=
2
5 4x x− +
16/
2
f(x)= (x+1) (5x+2)
17/
3
f(x)= (x-1) (4x+2)
Bài tập 2:Xét dấu các biểu thức thương các nhị thức sau:
1)
9
( )
1
x
f x
x
+
=
−
2)

x
+ −
=
−
6)
8
( ) 2
2
f x
x
= −
+
7)
2
( ) 3
3 4
x
f x
x
+
= +
−
8)
1
( )
2
f x
x
=
−

= − −
−

13)
4 2 2 1 5
( )
3 2 4
x x
f x
− +
= − −
14)
− +
= −
−
2
3 2
( )
1
x x
f x x
x
15)
+ −
= =
+
2
2
( ) 10
2

19)
2
3 1
( )
2
x x
f x x
x
+ −
= +
−
20)
9
( ) 4
2
f x x
x
= + −
+
21)
2 3
2
( 1) ( 2) (3 2 )
( )
(1 )
x x x
f x
x x
− + −
=

3 3
. 1
4
x x
x
− +
<
−
8)
3
1
2x
>
−
9)
2
2 5
3
4
x x
x
x
+ +
≥ −
+
10)
2
3 1
2
x x

x x x
x x
− + +
≤
− −
14)
( )
2
4 2
4 2x x x≥ + +
15)
2
7 10 0x x− + <

16)
( ) ( )
2 2
3 2 5 6 0x x x x− + − − + ≥
17)
2
3
0
1 2
x x
x
+ +
<
−
18)
2

x x x
x x
− +
>
− −
Bài tập 4: Giải các bất phương trình
1)
1 2x + ≤
2)
1 2x− ≥
3)
2 3x ≤
4)
1 x≤
5)
1 4 2 1x x− ≥ +
6)
2 5
1 0
3
x
x
−
+ >
−

7)
2
2
x x

2 4 0
x
x
x

<

+


− >

3)
2
9 0
3 0
x
x

− <

+ ≥

4)
( ) ( )
2 3
1
1
2 2 4
0

x x

+
>

−


+ <


− − <



6)
2
2
2
3 4
0
3
2 0
x x
x
x x

− +
>


0
4 0
m x
x
− ≥


− >

9)
0
1
0
(2 )
m x
x
x x
+ ≥


−

≤

−

10)
3 1
1 2
1 2

x x
m x

− − ≤


− − ≥



DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Bài tập 1:Xét dấu các tam thức bậc hai:
1/f(x)=
43
2
+−−
xx
2/f(x)=
44
2
+−
xx
3/f(x)=
32
2
+−
xx
4/f(x)=
4
2

xxy
11/.
64
2
++−=
xxy
12/.y=
2
2x 13/ y=
2
(1 2) 2 1x x− − −
14)
2
2( 3) 5y x= + −
15)
2
(2 1) 4y x= − − +

16/.
2
2 4y x x= − +

Bài tập 2: Xét dấu các biểu thức tích,thương các tam thức (tích các tam thức với nhị thức) sau:
1/
2 2
f(x)= (x - 4)(5x -4x-1)
2/
2 2
f(x)= (x -3x+2) (12+x-x )
3/

30
x x x
f x
x x
− +
=
− −
7/.
2
( ) (3 10 3)(4 5)f x x x x= − + −
8/.
2 2
( ) (3 4 )(2 1)f x x x x x= − − −
9/.
2 2
( ) (4 1)( 8 3)(2 9)f x x x x x= − − + − +
10/.
2 2
2
(3 )(3 )
( )
4 3
x x x
f x
x x
− −
=
+ −
Bài tập 3. Giải các bất PT bậc hai.
1).

2
9 0x− >
12).
2
0x ≤
12/.
2
4 1 0x x− + <
13/.
2
3 4 0x x− + + ≥
14/.
2
6 0x x− − ≤
Bài tập 4: Giải các hệ bất pt bậc hai.
1)
2
2
12 0
1 0
x x
x

− − <


− >


2)

5 0
6 1 0
x x
x x

+ + <


− + >


5)
2
2
3 8 3 0
17 7 6 0
x x
x x

+ − ≤


− − ≥


6)
2
2
2
4 3 0

13 5 7
x x
x x
− −
≤ ≤
− +
9)
2
2
10 3 2
1 1
3 2
x x
x x
− −
− < <
− + −
10)
2
2
2
3 4
0
3
2 0
x x
x
x x

− +

0
4 7 3
x
x x
−
≥
− +

15).
2
2
2
0
4 5
x x
x x
+ +
<
− −
16).
2
2
6 7
0
( 1)( 3)
x x
x x x
+ −
≥
+ −

3 2 2x x x x− + + >
8)
2 5 7 4x x+ > −
9)
2
2
4
1
2
x x
x x
−
≤
+ +
10)
2
2
5 4
1
4
x x
x
− +
≤
−
11)
2 5
1 0
3
x

2
4 3
1
5
x x
x x
− +
≥
+ −
16)
2 3 3x x− − =

19)
3 1 2x x− − + <
20)
2 1 5x x+ + − =
21)
1 2x x x+ ≤ − +
Bài tập 6: Phương trình và bất phương trình có chứa căn :
1)
2
2 4 2x x x+ + = −
2)
2
3 9 1 2x x x− + = −
3)
2
12 7x x x− − < −
4)
2

2 4 3
2
x x
x
− + −
≥
10)
2 2
2 2 4 3x x x x+ = − − +
11)
( ) ( )
2
1 2 3 4x x x x+ + = + −
12)
2 2
3 12 3x x x x+ + = +
13)
( ) ( )
2
6 2 32 34 48x x x x− − ≤ − +
14)
( )
2
3 6 3x x x x+ ≤ − −
15)
( ) ( )
2
4 1 3 5 2 6x x x x+ + − + + <
16)
2 2

2
2
9 4
3 2
5 1
x
x
x
−
≤ +
−
23)
6 3
3
4 4 2x x x− + > −
24)
3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − =
25)
( )
2
6 9 6 9 1x x x x+ + − − + >
26)
1 2 3x x x− − − > −
27)
4 1 3
1 4 2
x x
x x
−
− >

− + + +
4)
2
5 14 3y x x x= − − − +
5)
2
3 3
1
2 15
x
y
x x
−
= −
− − +
Các dạng toán có chứa tham số:
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a)
2
4 5x x m− + −
b)
( )
2
2 8 1x m x m− + + +
c)
( )
2
2
4 2x x m+ + −
d)

2 2 3 1m x m x m− − − + −
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
a)
( ) ( )
2
1 2 1 3 3 0m x m x m+ − − + − ≥
b)
( )
( )
2 2
4 5 2 1 2 0m m x m x+ − − − + ≤
c)
( )
2
2
8 20
0
2 1 9 4
x x
mx m x m
− +
<
+ + + +
d)
( ) ( )
2
2
3 5 4
0
4 1 2 1

có ba nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phương trình:
( ) ( )
4 2
2 2 1 2 1 0m x m x m− − + + − =
. Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:
a) Một nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
2
2
1
1
2 2 3
x mx
x x
+ −
<
− +
b)
2
2
2 4
4 6
1
x mx
x x
+ −
− < <
− + −