ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3
(Trung tâm Luyện thi đại học Vónh Viễn)
Giả sử : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax
2
+ 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0 ⇔ x =
a3
b
−
(a ≠ 0 )
x =
a3
b
−
là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x

1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ điểm
uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là y = r x + q

<<α=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2
x
1
x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y
ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α
⇔







<
>α
α<<=
0)
2
x(y).
1
x(y
0)(y
2

)
nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2). Ta có các trường
hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (C
m
) và họ đường thẳng (D
k
) lần lượt có phương trình là
y = −x
3
+ mx
2
− m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác
A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp
tuyến tại M với (C).
2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).

) và đi qua điểm (-1, 1).
13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C
m
) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
BÀI GIẢI
PHẦN I : m = 3
Khảo sát và vẽ đồ thò (độc giả tự làm)
1) Gọi n là hoành độ của M. Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại
tại x = 2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x
2
+ 6x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến tại M
là k
1
= – 3n
2
+ 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)). Đường thẳng vuông góc với tiếp
tuyến tại M có hệ số góc là k
2
=
1
k
1
−
(với 0 < k
1
≤ 3). Hoành độ của tiếp
tuyến vuông góc với tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x
2
+ 6x =
1

23
có nghiệm.
⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x
3
+ 3x
2
– 3 = (– 3x
2
+ 6x)(x – e)+ 1 (1)
⇔ – x
3
+ 3x
2
– 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
⇔ (x – 2)(x
2
– x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
⇔ x = 2 hay x
2
– x – 2 = 3x
2
– 3ex
⇔ x = 2 hay 2x
2
– (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
(2) có ∆ = (3e – 1)
2
– 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2

2
) = – 1
⇔







−=+−+−
>∨−<
1)x6x3)(x6x3(
)2(củanghiệmlàx,x
3
5
e1e
2
2
21
2
1
21
⇔







ehay1e
⇔ e =
27
55
. Vậy E






1,
27
55
4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :
y' = p ⇔ 3x
2
– 6x + p = 0 (3)
Ta có ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p.
Gọi x
3
, x
4
là nghiệm của (3).
Gọi M
3
(x
3
, y

343
−=
−+++−
=
+
Vậy điểm cố đònh (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M
3
M
4
.
5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
∀ M ∈ (C), ta có :
i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Cách 2 : Gọi M(x
0
, y
0
) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x
0
)
3x3x
2
0
3
0
−+−
(D)
Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

=+−+−=
⇔
0)3xx2)(xx(hayxx
000
=−+−=
⇔
2
x3
xhayxx
0
0
−
==
Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x
0
, y
0
) ∈ (C)
⇔
1x
2
x3
x
0
0
0
=⇔
−
=
Suy ra, y




=+
=−
1y
1x
hay
1y
1x
0xy
01x
3
2
Vậy (C
m
) qua 2 điểm cố đònh là H(1, –1) và K(–1, 1).
Vì y' = – 3x
2
+ 2mx nên tiếp tuyến với (C
m
) tại H và K có hệ số góc lần
lượt là :
a
1
= y'(1) = – 3 + 2m và a
2
= y'(–1) = –3 – 2m.
2 tiếp tuyến tại H và K vuông góc nhau.
⇔ a







−+






−=
và phương trình đường thẳng qua 2 cực trò là :
mxm
9
2
y
2
−=
(với m ≠ 0)
8) Khi m ≠ 0, gọi x
1
, x
2
là nghiệm của y' = 0, ta có :
x
1
.x

mxm
9
2
2
2
1
2
=
2
21
2
m)xx(m
9
2
++−
=
24
mm
27
4
+−
Với m ≠ 0, ta có y(x
1
).y(x
2
) < 0