Chương 3 : Điều khiển bền vững
Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO
Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến. Chú ý rằng,
theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách
liên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong
hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần số
thấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần
số cao (cho ổn định bền vững )..
Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống
3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy
Trang 174
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết
kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏa mãn
các yêu cầu thiết kế.
Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó
i
d
là nhiễu đầu vào, d là
nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo.
Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm
Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này ta
phân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là
K
ˆ
(
K
ˆ
= -K ở
mô hình hồi tiếp dương)
Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểu

−
+
u =
d
KG
K
d
KG
KG
n
KG
K
r
KG
K
i
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
+
−

1
ˆ
+
−
+
+
+
−
+
e =
d
KG
d
KG
G
n
KG
r
KG
i
ˆ
1
1
ˆ
1
ˆ
1
1
ˆ
1

+
=
- Hàm bù nhạy :
KG
KG
T
ˆ
1
ˆ
+
=
- Độ lợi vòng:
KGL
ˆ
=
Các đẳng thức trên được viết gọn lại:

SdGSdTnTry
i
++−=
(3.156)

SdKTdSnKSrKu
i
ˆˆˆ
−−−=
(3.157)

ˆ ˆ ˆ
G i

vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Tương tự, điều kiện
để hệ ít nhạy đối với nhiễu d
i
là |S| và
|
ˆ
| SK
nhỏ trong vùng tần số mà d
i
tập
trung, cụ thể là vùng tần số thấp.
Trang 176
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Ta có:

1|
ˆ
||
ˆ
1|1|
ˆ
|
+≤+≤−
KGKGKG
Suy ra:
1|
ˆ
|
1
ˆ

Từ đó, ta thấy:
S
<<1
⇔
L
>>1
Hơn nữa, nếu
L
>> 1, thì:
GS
|
ˆ
|
1
ˆ
1 KKG
G
≈
+
=
|
ˆ
| SK
G
KG
K 1
ˆ
1
ˆ
≈

bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và d
i
tập trung, cụ
thể là vùng tần số thấp.
Trang 177
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp. Giả sử
mô hình đối tượng có sai số nhân là (I +
∆
)G, với
∆
ổn định, và hệ thống
kín ổn định danh định (ổn định khi
∆
=0). Hệ thống kín có sai số mô hình sẽ
ổn định nếu:
det
( )
KG
ˆ
1(1
∆++
)=det








∆
đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà
∆
tập
trung, cụ thể là vùng tần số cao.
Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T|
≈
1 và |S|
≈
0. Do đó, từ (3.156) ta thấy nếu
như
( )L j
ω
lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ truyền
qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là:
y=
SdGSdTnTr
i
++−

≈
(r - n)
vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Hơn nữa, nếu độ lợi
vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là
( )L j
ω
>>1 trong khi
( )G j
ω
<<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở cơ

tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành. Vì lẽ
khi độ lợi vòng nhỏ (
( )L j
ω
<<1), thì
u=
ii
dTdnrSK
−−−
)(
ˆ
=
ˆ
( )K r n d− −
Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là |
K
ˆ
| không được lớn quá khi độ lợi
vòng nhỏ.
Trang 178
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây:
- Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là
vùng tần số thấp (0,
l
ω
), hệ thống cần phải có:

1|
ˆ

ωω
,
được xác định tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể, và những thông
tin về đặc tính của nhiễu tải, nhiễu đo, sai lệch mô hình.
Hình 3.18: Độ lợi vòng và các ràng buộc tần số thấp và tần số cao.
Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển:
đó là nắn dạng vòng (loop shaping). Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một
bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình
3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững.
3.3.3 Thiết kế bền vững H
∞

Trang 179
l
ω
h
ω
c
ω

log
Chương 3 : Điều khiển bền vững
3.3.3.1 Mô tả không gian H
∞
và RH
∞
Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H
∞
, là không gian các
hàm phức G(s) của biến phức s (s ∈C) mà trong nửa hở mặt phẳng phức bên

G
L
L
trong đó a
i
,b
j
∈ R, ký hiệu là RH
∞
.
Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷ
G(s) bất kỳ sẽ thuộc RH
∞
khi và chỉ khi
-
lim ( )
s
s
→∞
< ∞G
, hay
( )∞G
bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và
- G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải. Nói cách khác
G(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậy gọi
là hàm bền.
Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳng
phức bị chặn khi s
∞→
mà còn thỏa mãn (khi m<n)

tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu.
Định nghĩa 1:
Các ma trận hàm truyền đạt
N
%
,
M
%
∈ RH
∞
tạo thành một phân tích coprime
bên trái của G nếu và chỉ nếu:
a.
M
%
vuông, và
det( ) 0≠M
%
(3.162)
b.
1−
=G M N
% %
(3.163)
c.∃ V, U ∈ RH
∞
sao cho:
+ =MV NU I
% %
(3.164)

(3.166)
trong đó:
1
( ) ( )s sI
−
= − +G C A B D
. Để xác định phân tích coprime bên trái,
trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗
− + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B
(3.167)
trong đó
*
DDIR
+≡
. Phương trình này có tên là Phương trình Riccati lọc
tổng quát (GFARE – Generalized Filter Algebraic Riccati Equation). Sau đó
áp dụng định lí 3.3 để tính
N
%
,
M
%
.
Trang 181
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Định lý 3.3:
Cho

(3.168)
trong đó Z là nghiệm xác định dương duy nhất của GFARE,
∗
= +R I DD
,
và
1
( )
∗ ∗ −
= − +H ZC BD R
.
Sai số mô hình phân tích coprime bên trái
Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái. Giả sử G là
mô hình đối tượng, (
N
%
,
M
%
) là một phân tích coprime bên trái của G. Hệ có
sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa như sau:
1
( ) ( )
M N
−
∆
= + ∆ + ∆G M N
% %
(3.169)
trong đó ∆

N
%
∆
N
+
-
1
−
M
%
+
∆
M
+
+
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai số
cộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động của
sai số mô hình
3.3.3.3 Bài toán ổn định bền vững H
∞
:
Xét hệ hồi tiếp hình 3.20
Hình 3.20: Sơ đồ phân tích ổn định bền vững với mô hình có sai số LCF
Định lý 3.4:
1−
=G M N
% %
là mô hình danh định;
1

M N
∆ ∆Δ @
thỏa
[ ]
1
M N
γ
∞
∆ ∆ <
nếu và chỉ nếu:
a.Hệ (G, K) ổn định nội, và
b.
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
I GK M
I
%
(3.171)
Định lý 3.4 có thể phát biểu một cách tương đương dưới dạng một bài toán
tối ưu như sau:
Định lý 3.5:
Trang 183

, với
[ ]
1
M N
γ
∞
∆ ∆ <
, ổn định
hóa bền vững được nếu và chỉ nếu:
1 1
inf ( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
K
I GK M
I
%
(3.172)
trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định
hóa G.
Bài toán ổn định bền vững
Cho trước giá trị γ, tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng
danh định G, và thỏa:
1 1

.
Nếu phát biểu dưới dạng một bài toán tối ưu H
∞
(đối với hệ thống hình 3.20)
thì ta có bài toán tối ưu H
∞
như sau:
Bài toán tối ưu H
∞
Tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G và cực
tiểu hóa chuẩn H
∞
sau đây:
1 1
( )
− −
∞
 
−
 
 
K
I GK M
I
%
(3.174)
trong đó (
N
%
,

Định lý 3.6: Bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống và thỏa
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
I GK M
I
%
(3.175)
nếu và chỉ nếu K có một phân tích coprime bên phải:
1−
=K UV
với U, V ∈
RH
∞
thỏa
( )
1 2
2
1
γ
∗
−
∗

− = −
 
 
 
K
K
I GK M N M
I
% % %
(3.177)
trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển ổn định hóa
hệ thống.
b. Độ dự trữ ổn định cực đại là
{ }
1 2
2
max
1 0
H
ε
−
 
= − >
 
N M
% %
(3.178)
c. Các bộ điều khiển tối ưu đều có dạng:
1−
=K UV

- Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H
∞
có thể được thực hiện thông qua bài
toán mở rộng Nehari (Nehari extension).
Bài toán tối ưu con
Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của
γ
, đó là
γ
min
= 1/
ε
max
. Việc
giải bài toán tối ưu H
∞
với
γ
>
γ
min
cho kết quả là một tập các bộ điều khiển ổn
định hóa K sao cho
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤

DDIR
.
Bước 2: Tính giá trị γ nhỏ nhất có thể đạt được.
1 2
min max
(1 ( ))
γ λ
= + ZX
trong đó
( )
max
λ
•
là trị riêng lớn nhất, X và Z lần lượt là nghiệm của GCARE
và GFARE.
Bước 3: Chọn
min
γ γ
>
. Thông thường, chọn γ lớn hơn γ
min
một chút; chẳng
hạn,
min
1.05
γ γ
=
.
Bước 4: Bộ điều khiển trung tâm có biểu diễn trạng thái được xác định như
sau

γ
= + −W I XZ I
.
Công thức tính
min
γ
ở bước 2 được dẫn ra từ công thức (3.177) trong định lý
3.7. Nếu (
N
%
,
M
%
) coprime bên trái chuẩn thì
H
 
 
N M
% %
có thể được xác
định từ nghiệm của hai phương trình Riccati GCARE và GFARE như sau:
( )
2
1
max
( )
H
λ
−
 

γ γ
>
nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điều khiển
có khả năng ổn định hóa hệ thống.
Trong trường hợp bài toán tối ưu,
min
γ γ
=
, thì ma trận W
1
trong (3.182) suy
biến. Và do đó, (3.182) sẽ không áp dụng được. Tuy nhiên nếu ta chọn
γ
gần
min
γ
(ví dụ
min
1.05
γ γ
=
) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối ưu sẽ
khác nhau không đáng kể.
3.3.4 Nắn dạng vòng H
∞

3.3.4.1 Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng
∞
H
:

Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng (LSDP)
Giả sử mô hình danh định của đối tượng G, bộ điều khiển cần tìm là K
Bước 1: Chọn các hàm nắn dạng W
1
,W
2
. Tính G
s
: G
s
= W
2
GW
1.
(Lưu ý là chọn W
1
,W
2
sao cho

G
S
không chứa các chế độ ẩn (zero – cực
không ổn định khử nhau))
Bước 2: Tìm nghiệm X
s
,Z
s
của GCARE và GFARE ứng với G
S

sao cho
(Việc xác định
∞
K
đã được trình bày ở phần 3.3)
Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức:
K = W
1
∞
K
W
2
Trang 188
γ
≤−






∞
−−
∞
∞
~
11
)(
ss
MKGI