Chương 3
ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG
3.1 Giới thiệu
3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững
Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộc
vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống.Mục đích của điều
khiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có những sự thay đổi trong đối
tượng.
P
0
:Mô hình chuẩn (mô hình danh
định)
∆
P
:Mô hình thực tế với sai lệch

∆
so với mô hình chuẩn
Hình 3.1 : Mô hình điều khiển bền vững
Cho tập mô hình có sai số
∆
P
và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử
P
0

∈
∆
P
là mô hình danh định dùng để thiết kế bộ điều khiển K.Hệ thống
hồi tiếp vòng kín được gọi là có tính :

x
1
(t) lớn hơn x
2
(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn đó được hiểu theo nghĩa nào, x
1
(t)
có giá trị cực đại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x
1
(t) chứa nhiều thông tin hơn x
2
(t)
…..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x
1
(t) với x
2
(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín
hiệu một giá trị đánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh được lựa chọn .
Định nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)||
∈
R
+
chuyển x(t) thành một
số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ được gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (3.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)||
∀
x(t), y(t) (3.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)||
∀

∫
∞
∞−
=
|)(|||)(||
với p
∈
N (3.6)
- Chuẩn vô cùng:
|)(|sup||)(|| txtx
t
=
∞
(3.7)
đây là biên độ hay đỉnh của tín hiệu
Khái niệm chuẩn trong định nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà
còn được áp dụng được cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một
tín hiệu.
Xét một vector tín hiệu:
x(t) =











2
(3.9)
- Chuẩn vô cùng của vector x:

ni
i
xx
,...,2,1
max
=
∞
=
(3.10)
3.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace:
Để phục vụ mục đích sử dụng khái niệm chuẩn vào điều khiển ,ta cần quan tâm tới mối
liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(j
ω
) cũng như ảnh Laplace
X(s) của nó.
Định lí 3.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(j
ω
) của nó
có quan hệ :
ωω
π
djXdttxtx
222
|)(|
2
1

với m < n (3.12)
Định lí 3.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (3.12) .Để chuẩn bậc 1 của x(t)
là một số hữu hạn ||x(t)||
1
= K <
∞
thì điều kiện cần và đủ là tất cả các điểm cực của X(s)
phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) .
3.1.3 Đại số ma trận
3.1.3.1 Một số ma trận thường gặp:
- Một ma trận A=(a
ij
) có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Đường chéo nối
các phần tử a
ii
trong ma trận vuông được gọi là đường chéo chính .Đường chéo còn lại
được gọi là đường chéo phụ.
A =

















nn
a
a
a




00
00
00
22
11
= diag(a
ij
) (3.14)
- Ma trận đường chéo I = diag(1) =










nnnn
aaa
aa
a




21
2221
11
0
00
(3.15)
+ Ma trận tam giác trên
A=












nn
n

- Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(a
ij
) có m hàng và n cột và một số vô hướng
thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b
ij
) được hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột
với các phần tử
B
ij
= x.a
ij
i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(a
ij
) với m hàng và n cột là ma trận A
T
= (a
ji
) có n hàng và m cột được tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và
ngược lại cột thành hàng.
- Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(a
ik
) có m hàng và p cột và ma trận B=(b
kj
) có p hàng
và n cột ,tức là :
+ A=(a
ik
) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(b

a
1
v
1
+a
2
v
2
+…….+a
n
v
n
=0 trong đó a
i
là những số thực (hoặc phức) sẽ đúng khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …..=a
n
= 0
Xét một ma trận A=(a
ij
) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector hàng có nhiều
nhất p ≤ m vector độc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vector
độc lập tuyến tính thì hạng ma trận đươc hiểu là:
Rank(A) = min{p,q}
Một ma trận vuông A kiểu (n
×
n) sẽ được gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n .Ngược

phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (3.22)
Vậy A phải là ma trận không suy biến.
Ma trận nghịch đảo A
-1
của A có tính chất sau:
- Ma trận nghịch đảo A
-1
của A là duy nhất (3.23)
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma
trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (3.24)
- Nghịch đảo ma trận kiểu (2
×
2):






−
−
=




(3.27)
- Nếu A = diag(a
i
) và không suy biến thì A
-1
= diag






i
a
1
(3.28)
- A
-1
=
)det( A
A
adj
(3.29)
trong đó A
adj
là ma trận có các phần tử a 
ij
= (-1)
i+j
det(A

-1
U(I+V
T
A
-1
U)
-1
V
T
A
-1
(3.30)
- Cho ma trận vuông A =






43
21
AA
AA
không suy biến,trong đó A
1
,A
2
,A
3
,A

=
−
−
−
−
−−
−−
−
−
−
1
1
13
1
1
2
1
1
1
13
1
2
1
1
1
1
1
43
21
1




=
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
1
32
1
3
1
4
1
4
1
3
1
4
1
42
11
1
43

được gọi là giá trị riêng và vector x được gọi là vector riêng bên phải ứng với
giá trị riêng
λ
của A thỏa mãn:
Ax =
λ
x
∀
x (3.36)
⇔
(A -
λ
I)x = 0
∀
x (3.37)
Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau:
a. Hai ma trận tương đương A và S
-1
AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng
của ma trận bất biến với phép biến đổi tương đương:
det(A-
λ
I)=det(S
-1
AS-
λ
I) (3.38)
b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là:
det(A-
λ




∂
∂
=
∂
∂
)()( XF
x
XF
X
ij
(3.41)
Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích .Một số công thức đạo
hàm :
( )
( )
( )
1
(3.42)
( ) (3.43)
2 ( ) (3.44)
( ) (3.45)
( ) (3.46)
T T
k k T
T T
T T
T

) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Những chuẩn thông thường được sử dụng:
- Chuẩn 1 của ma trận A
∑
=
≤≤
=
m
i
ij
nj
aA
1
1
1
max
(3.47)
- Chuẩn 2 của ma trận A
)(max
*
1
2
AAA
i
ni
λ
≤≤
=
(3.48)
- Chuẩn vô cùng của ma trận A

*
AA
i
λ
là trị riêng của ma trận
AA
*
là
một số thực không âm.
3.1.4 Trị suy biến của ma trận – độ lợi chính(Principal gain)
Trị suy biến của ma trận A(m x l) được ký hiệu là
)(A
i
σ
được định nghĩa như sau:
kiAAA
ii
,...2,1)()(
*
==
λσ
(3.51)
với
},min{ lmk
=
.
Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và đặt
ω
js
=

là trị suy biến lớn nhất và
σ
là trị suy
biến nhỏ nhất.
Ta có:
)(max)(max)(
*
AAAA
ii
λσσ
==

2
A
=
(3.52)
với
2
2
2
sup
x
Ax
A
=
.
Độ lợi của hệ đa biến nằm giữa độ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất.
Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)
Ví dụ: Cho ma trận A:
>> A =

mọi giá trị ban đầu. Mọi hệ thống tự động đều phải bảo đảm ổn định nội mới hoạt động
được.
G
G
K
K
w
1
e
1
e
2
w
2
+
+
+
+
Hình 3.2 : Sơ đồ hệ thống dùng để phân tích ổn định nội
Định nghĩa :
Hệ hồi tiếp hình 3.2 được gọi là ổn định nội nếu tất cả các hàm truyền đạt từ w
1
, w
2
đến e
1
,
e
2
đều ổn định.

Suy ra:
1 1
1 1
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
e w
e w
− −
− −
 
− −
   
=
 
   
− −
   
 
I KG I KG K
I GK G I GK
Điều kiện ổn định nội của hệ là các hàm truyền
1
( )
−
−I KG
,
1
( )

jG
λωρ
, hoặc
ωω
∀<
,1)( jG
Đối với hệ SISO thì
1)())((
<=
ωωρ
jGjG
(3.53)
Định lý độ lợi nhỏ chỉ là điều kiện đủ để xét ổn định của hệ thống. Điểm mạnh của định lí
này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứng
dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng được cho hệ
thống phi tuyến, thay đổi theo thời gian.
3.1.7 Ổn định bền vững
3.1.7.1 Định lý ổn định bền vững
Đây là mô hình cơ bản dùng để phân tích tính ổn định bền vững của một hệ thống. Nếu hệ
danh định ổn định thì M ổn định và ∆ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn định. Định
lý sau thiết lập điều kiện của M để cho hệ thống vẫn ổn định dưới ảnh hưởng của ∆
Hình 3.4 : Sơ đồ cấu trúc phân tích ổn định bền vững
Định lý ổn định bền vững:
Giả sử M và ∆ ổn định, hệ thống vòng kín hình 3.4 sẽ ổn định khi và chỉ khi biểu đồ cực
của đường cong Nyquist det(I-M∆) không bao điểm gốc. Khi đó hệ thống vòng kín sẽ ổn
định bền vững với mọi ∆
)1)((
≤∆
σ
nếu và chỉ nếu khi một trong các điều kiện sau thỏa

Hình 3.5 : Sai số cộng
Ta có:
( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
A
v s K s s w s G s v s
δ
= − +
(3.58)
hay
1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )
A
v s I K s G s K s s w s
δ
−
= − +
(3.59)
vậy
)]()([
)()(
)(
sGsKI
ssK
sM
A
+
−=
δ
(3.60)
Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 3.5 ổn định bền vững khi và chỉ khi:

Với
ωωσδ
∀≤∆∆=∆
1))((),()()( jsss
OO
, (3.62)
Ta có:
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]
O
v s G s K s s w s v s
δ
= − +
(3.63)
hay
1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
O
v s I G s K s G s K s s w s
δ
−
= − +
(3.64)
vậy
)()(
)()()(
sKsGI
ssKsG
M
O
+


(3.67)
K
v
-
G
+
∆
0
δ
w
M
Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và đo được. Ngõ ra z là điều khiển được. Tín hiệu nhiễu w là
nhiễu hệ thống và v là nhiễu đo .
Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng .Trạng thái ban đầu của x(0) được giả sử là
một vector ngẫu nhiên .
Nhiều sự giả sử khác nhau định nghĩa trạng thái x(t) t
∈
R và ngõ ra điều khiển được z(t),t
∈
R là những quá trình ngẫu nhiên .Biểu thức sai số toàn phương :
0)()()()(
≥+
ttRututQztz
TT
(3.68)
là một quá trình ngẫu nhiên.
Vấn đề của điều khiển hệ thống là giá trị mong đợi của tích phân :
dttRututQztzE
T

lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc kết nối một bộ quan sát :
SYSTEM
SYSTEM
CONTROLLER
CONTROLLER
w
v
u
+
+
y
z