Chương III
SUY LUẬN TOÁN HỌC
I)Các phương pháp chứng minh.
Có hai câu hỏi đặt ra trong nghiên cứu toán học là: (1) Khi nào thì một suy luận toán
học là đúng? (2) Có thể dùng các phương pháp nào để xây dựng các suy luận toán toán học?
Suy luận là một hoạt động của trí tuệ dựa trên các qui tắc nhất đònh mà trong thực tiển
hoạt động của mình con người chấp nhận được rằng việc áp dụng các qui tắc đó cho phép đạt
được các kết quả nhận thức phù hợp với thực tiển. Ví dụ: Trong hoạt động thực tiển con người
nhận thấy rằng khi hai sự vật đồng nhất với một sự vật thứ ba thì hai sự vật ấy đồng nhất với
nhau. Do đó mọi người đều đồng ý chấp nhận qui tắc (hay mô hình) suy luận: Nếu A đồng nhất
với C và nếu B đồng nhất với C thì A đồng nhất với B bất kể A, B, C là sự vật gì. Con người
không thể suy luận mà không dựa trên các ý tưởng, các khái niệm. Để có thể thống nhất với
nhau trong khi giao tiếp con người cần đònh nghóa các khái niệm một cách chặt chẻ. Ví dụ cần
thống nhất với nhau khái niệm “Hình tam giác” bằng đònh nghóa “Hình tam giác là một hình
phẳng gồm ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng”. Mỗi một khái niệm được đònh nghóa
lại cần dựa trên các khái niệm khác để đònh nghóa. Trong ví dụ trên khái niệm “hình tam giác”
được đònh nghóa dựa trên các khái niệm đoạn thẳng, điểm, phẳng, thẳng hàng. Dó nhiên không
thể đẩy việc đònh nghóa đến tận cùng được, phải dừng việc đònh nghóa ở một số khái niệm xem
như có thể thỏa thuận với nhau là khái niệm ban đầu không cần thiết phải đònh nghóa hoặc
không thể đònh nghóa được. Trong ví dụ vừa nêu có thể xem “điểm” là khái niệm ban đầu, khi
đó “điểm” là “điểm” - đơn thuần là một khái niệm và không dựa vào bất cứ khái niệm nào
khác để đònh nghóa lại điểm.
Mối quan hệ giữa các sự vật, các khái niệm cũng cần được làm sáng tỏ bằng các suy
luận, ie: cần được chứng minh. Ví dụ: “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ” là một
khẳng đònh về mối quan hệ đònh lượng giữa các góc trong một tam giác. Mỗi quan hệ giữa các
sự vật, các khái niệm được chứng minh đó tùy vào tầm quan trọng của chúng mà được gọi dưới
các tên: “Tính chất / Bổ đề / Đònh lý /Hệï quả”. Việc chứng minh các mối quan hệ này đòi hỏi
các suy luận dựa trên các khái niệm đã biết, đã được đònh nghóa và dựa trên các mối quan hệ đã
được chứng minh (hoặc đã được chấp nhận) khác. Trong ví dụ trên việc chứng minh “Tổng ba
góc trong một tam giác bằng 180 độ” sẽ dẫn đến việc đòi hỏi quan hệ “Từ một điểm ở ngoài
một đường thẳng ta có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng song song song với đường

Quy tắc suy luận nào làm cơ sở cho suy lý đó vậy? Nếu đặt :
p là mệnh đề: “Hôm nay mưa”
q là mệnh đề: “Chúng ta không học thêm một tiết”.
Thì suy lý trên có dạng hình thức: [(p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)]
⇒
(p
⇒
r) (*)
Có thể chứng minh rằng (*) là một hằng đúng, ie: luôn lấy giá trò TRUE với mọi tổ hợp
giá trò của p và q. Vì (*) là một hằng đúng nên suy lí trên chắc chắn là một suy luận chặt chẻ và
ta nói ta đã áp dụng một qui tắc suy luận (tam đoạn luận giả đònh). Qui tắc đó được viết như
sau:
p q
q r
p r
⇒
⇒
∴ ⇒
Khi dùng kí hiệu này, các giả thiết (hay các tiền đề) được viết trên gạch ngang và kết
luận được viết dưới gạch ngang sau kí hiệu
∴
(đọc là vậy thì)
Có thể liệt kê các qui tắc suy luận như sau:
Qui tắc suy luận Hằng đúng tương ứng Tên gọi

∧
q) Luật hợp
p
p q
q
⇒
∴
[p
∧
(p
⇒
q)]
⇒
q Modus ponens
q
p q
p
¬
⇒
¬
[
¬
q
∧
(p
⇒
q)]
⇒
¬
p Modus tollens

q Tam đoạn luận tuyển.
Có thể thấy rằng một suy luận hợp thức, ie: áp dụng đúng các qui tắc suy luận, chưa
chắc đã cho kết luận đúng. Với một suy luận hợp thức thì kết luận là bất khả kháng (valid). Còn
việc kết luận là đúng (true) hay sai (false) là tùy thuộc vào các tiền đề.
Ví dụ:
“Nếu 101 chia hết cho 3 thì 101
2
chia hết cho 9. Vì 101 chia hết cho 3 nên 101
2
chia hết
cho 9”.
Đây là một suy luận áp dụng modus ponens, hoàn toàn chặt chẻ. Tuy nhiên kết luận
của suy luận này sai vì thực tế 101
2
= 10201 không chia hết cho 9. Vấn đề ở chổ người ta đã
dùng mệnh đề “101 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.
Khi có nhiều tiền đề, thường cần phải dùng phối hợp các qui tắc suy luận để chứng tỏ
một suy diễn là đúng. Ví dụ:
“Nếu Ông Fuji Mori là công dân Nhật thì phía Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori
cho Pêru. Còn nếu Fuji Mori không phải là công dân Nhật thì vì giữa Nhật và Pêru không có
43
hiệp đònh về dẫn độ nên Nhật không phải trao trả Fuji Mori cho phía Pêru. Cho nên trong mọi
trường hợp phía Nhật thấy không cần trao trả Fuji Mori cho phía Pêru.”
3
Đặt:
p là mệnh đề: “Fuji Mori là công dân Nhật”
q là mệnh đề: “Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori cho Pêru”
r là mệnh đề: “Nhật và Pêru không có hiệp đònh về dẫn độ”.
Ta thấy:
Bước Suy diễn

( )
( ) ( )]
p p
p q p q
q
∨ ¬
⇒ ∨ ¬ ⇒
∴
Song quan luận kiến tạo.
Qui tắc suy luân đối với mệnh đề lượng hóa:
Khi các suy luận liên quan đến các lượng từ tồn tại và phổ dụng ta có các qui tắc suy luận sau:
(Giả sử U là không gian khảo sát)
Quy tắc suy luận Tên gọi
( )
( )
x P x
P c if c U
∀
∴ ∈
Cá biệt hóa phổ dụng.
( )
( )
P c doi voi mot c U ngau nhien
x P x
∈
∀
Tổng quát hóa phổ dụng.
( )
( )
x P c

q. Vì vậy nếu p là đúng ta
chỉ cần chứng tỏ phép kéo theo (p
⇒
q) là đúng chứ không cần chứng minh q đúng.
Chứng minh trực tiếp: chứng minh mệnh đề (p
⇒
q) bằng cách chứng tỏ nếu p đúng thì
q cũng phải đúng. Điều này chứng tỏ tổ hợp (P đúng, Q sai) không khi nào xảy ra.
Ví dụ: Chứng minh” Nếu n lẻ thì n
2
cũng lẻ” .
Giải: Giả sử n lẻ
n lẻ
⇒
n = 2k+1 với k là một số nguyên.
⇒
n
2
= (2k+1)
2
= 2.2(k
2
+k)+1
⇒
n
2
là một số lẻ.
Chứng minh gián tiếp: Vì ta có (p
⇒
q)

“Mọi tập con khác rổng các số nguyên không âm đều có phầân tử nhỏ nhất”
Từ tiên đề này người ta có thể chứng minh đònh lý về sự qui nạp sau đây:
45