Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a. .
y=f(x)=x.Cos3x
b.
1+Cosx
y=f(x)=
Cosx
.
c.
1+Cosx
y=f(x)=
1-Cosx
.
d.
2
1+Cos x
y=f(x)=
1+Cosx
.
Bài giải.
a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R.
b. f(x) có nghĩa khi Cosx ≠0, suy ra
π
x+k2π, k Z
2
≠ ∈
. Nên tập xác định là
π
D=R\ +k2π,k Z
2

x Dfx M
x Dfx M
∀∈ ≤
⎧
⇔
⎨
∃∈ =
⎩
.
- Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D
00
,()
,()
x Dfx m
x Dfx m
∀∈ ≥
⎧
⇔
⎨
∃∈ =
⎩

a. y=f(x)=2+3Cosx.
b. y=f(x)=3-4Sin
2
x.Cos
2
x.
c. y=f(x)=2.Sin
2

.
b. y=f(x)=3-Sin
2
2x.
22
0210 21332Sinx Sinx Sinx≤≤⇔≥−≥−⇔≥−
2
2≥
.
+
2
322
42
Sin x x k
π π
−=⇔=+
. Suy ra
() 2
42
R
Min f x f k
ππ
⎛⎞
= +=
⎜⎟
⎝⎠

+
2
323

.
+
13.os2x=4 x= +k
2
C
π
π
−⇔
. Suy ra
ax ( ) 4
2
R
Mfx f k
π
π
⎛⎞
= +=
⎜⎟
⎝⎠
.

Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Dạng cơ bản.
-
Sinx=
x= +k2
Sin
x= - +k2
α π
⎡

4
.
Bài giải.
2
3
3
Sinx=Sin
4
23 3
22
33
xk
Sin
Trang 2

a.
x kk
π
π
ππ
ππ
π ππ
⎡
=− +
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
−= −⇒ −⇒
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

⎢
⎣

c.
2
1
inx=
1
6
2
Sin x=
15
4
inx=-
26
x k
S
Sx
π
k
π
π
π
⎡
⎡
=+
⎢
⎢
⇔⇔
⎢

b.
2
10 5
os3x=Sin2x=Cos 2
2
2
2
xk
Cx
x k
π π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎛⎞
−⇔
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
=− +
⎢
⎣
.
Bài 3. Giải các phương trình.
a. Sin 3x + Sin5x =0.
b. tanx.tan2x=-1 .

⎪
⎪
⎨
⎪
≠+
⎪
⎩-1
tanx.tan2x=-1 tanx= 2
tan2x 2
Cot x x k
π
π
⇔=−⇔=+
.
Mà
2
x k
π
π
≠+
nên phương trình vô nghiệm.
* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. Sinx+Cos
2
x=1.
b.

=+
⎣
⎣
.
b. Điều kiện
0Sinx x k
π
≠ ⇔≠
.
2
1
inx=
11
6
2
4.Sinx= Sin x=
15
Sinx 4
inx=-
26
x k
S
Sx
π
k
π
π
π
⎡
⎡

t=1
3
t=
2
⎡
⎢
⇒
⎢
⎣
.
t
2
loại, với t
1
=1 ta có
2
2
x k
π
π
=+
.
b. 2.Sin
2
x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos
2
x+3Cosx-2=0.
Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1. ta có phương trình theo t là: 2.t
2
+3t-2=0. Giải ra được

⎢
⎣

* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:
Trang 4

22 22 22
bc
.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=
a
a
ab ab ab
⇔
+++
.
Đặt
22 22
os ;
ab
CSin
ab ab
α α
==
++
.
Ta có phương trình cơ bản
22
c
sinx.cos +cosx.sin =

22
a= 3;b=1;c=1
a+b=2
31
Sin2x- Cos2x=
22
1
2

π
x= +kπ
π 1 π
6
Sin 2x- = =Sin
π
62 6
x= +kπ
2
⎡
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
⎢
⎣
.
b.

22
a=1;-b=1;c= 2
a+b= 2
11
Cos2x- Sin2x=1
22

ππ
Sin -2x =1=Sin x= +kπ
42
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
π
8

d.
22
a=1;b= 3;c=1
a+b=2
13
Cos2x- Sin2x=
22
1
2

x=kπ
π 1 π
Sin -2x = =Sin


x= +k2π
π 3 π
6
Sin +x = =Sin
62 3
x= k2
2
π
π
π
⎡
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
+
⎢
⎣

Chú ý.
Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành
tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
•

•



c.
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc
d.
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung
sau khi xuất hiện nhân tử.
e.
Trang 6
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng. f.
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý:
pt
( bỏ mẫu)

Trang 7
pt
( biến tổng thành tích)

4.
Giải phương trình lượng giác sau:

5.
Giải phương trình:
.
Từ
phương trình đã cho ta có : Trang 8
Trang 9
9.
Giải phương trình :

<=>
<=>
<=>
<=>
<=>

<=>

<=>

10.
Giải phương trình
11. Giải phương trình lượng giác sau:
Trang 10
Các nghiệm số là

Chủ đề: QUY TẮC ĐÊM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
1. Hoán vị
a. Hoán vị là gì?
Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai
hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có khả năng xảy ra.
Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách
này là một
hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình,
Châu} là {a,b,c} thì
tập hợp này có tất cả 6 hoán vị là
(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a).
Một cách tổng quát ta có:
Cho tập hợp A có n phần tử (n >0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta
được 1
hoán vị các phần tử của tập A.
b. Số các hoán vị
Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan 7 điểm du lịch A,B,C,D,E,G và
H ở Hà Nội. Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn
. Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan
là một
hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H}. Do vậy đoàn khách có tất cả cách
chọn.

Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của tập đó
nên:

3. Tổ hợp
a. Tổ hợp là gì?
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử
gọi là một
tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là tổ hợp chập k của A)
Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan
tâm đến thứ tự
b. Số các tổ hợp
Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là:
(**)
Với quy ước:
thì (**) cũng sẽ đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn
Ví dụ: Trong 1 lớp học có 20 HS nam và 15 HS nữ. Thầy giáo cần 4HS nam và 3 HS
nữ đi tham gia chiến dịch
"Mùa hè xanh"
của Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách?
Giải: Ta có
cách chọn 4 HS nam trong số 20 HS nam và có
cách chọn 3 HS nữ trong số 15 HS nữ. Theo quy tắc nhân, số
cách chọn cần tìm là: 4845.455=2204475 cách chọn
4. Hai tính chất cơ bản của số
Trang 13

TC1: Cho các số nguyên n,k thỏa mãn . Khi đó: TC2: Cho các

3 cách chọn Trường hợp này ta có :
số chẵn.
3. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5
chữ số khác nhau.
Trang 14

Gọi
là số tự nhiên chẵn cần lập
Vì
chẵn nên số tận cùng
• Nếu
thì có :
1 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số chẵn
• Nếu
thì ta có :
2 cách chọn

Vậy số các số chẵn lập được:600-288=312 số
4. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau.
Gọi
là số tự nhiên cần lập
Vì
chẵn nên số tận cùng
• Nếu
thì có :
6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số
• Nếu
thì ta có :
3 cách chọn
(vì )
5 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn



5. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên chẵn có
năm chữ số khác nhau .
6. Giả sử số: abcde
xét e=0 khi đó có:7A4 số
xét e= 2 hoặc 4 hoặc 6 ; a khác 0,khác e thì có : 3.6A3 số
vậy có 7A4+3.6A3= 1200 số
Trang 16 MỘT SÔ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

1.
Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình , người ta
muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.

Tìm số cách chọn tổ sao cho có 1 tổ trưởng , 5 tổ viên trong đó An và Bình
không đồng thời có mặt
Số cách lập tổ công tác không có mặt cả An và Bình là
(do một trong 6 người bất
kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Số cách lập tổ công tác có mặt đúng 1 trong hai người là
(do một trong 6
người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Vậy số cách lập tổ công tác thoả mãn yêu cầu bài toán là:
cách



Nếu trong tổ có 2 nam tức có 4 nữ thì có: . = 1050 cách chọn
Nếu trong tổ có 3 nam tức có 3 nữ thì có:
. = 1120 cách chọn
Nếu trong tổ có 4 nam tức có 5 nữ thì có:
. = 420 cách chọn
Nếu trong tổ có 5 nam tức có 1 nữ thì có:
. = 48 cách chọn
Vậy có tất cả 336 + 1050 + 1120 + 420 + 48 =2974 cách chọn tất cả.
3. Cho A là một tập hợp có phần tử:
a) Có bao nhiêu
tập hợp con của A
b) Có bao nhiêu
tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn
a) Số tập con của A là:

b) Ta có:

Suy ra số tập con khác rỗng của A có số
phần tử chẵn là:

4.
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 9 em , trong đó có 4 học sinh khôi
12, 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học
sinh của đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
TH 1: khối 12 có 3hs, khối 11 có 1 hs, khối 10 có1 hs. thì có 4C3.3.2=24 cách chọn ở
TH 2: khối 12 có 2hs, khối 11 có 2hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4C2.3C2.2=36 cách chọn
TH 3: khối 12 có 2 hs, khối 11 có 1 hs , khối 10 có 2 hs. thì có 4C2.3.2C2=18 cách
chọn
TH 4: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 3hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4.1.2=8 cách chọn

Xét 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào 1 dãy 7 ô
trống.
1. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và
3 viên bi xanh xếp cạnh nhau.
1. Trước hết xếp 3 bi đỏ
vào 7 ô trống. Ta có cách xếp.
Rồi xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại. Ta có
(vì bi xanh giống nhau).
Vậy ta có:
cách xếp.
2. Trước hết ta cần căn chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau, xanh đứng cạnh nhau có
6 cách xếp.
Sau đó trong mỗi cách xếp đó, ta lại
hoán vị các bi đỏ với nhau, các bi xanh với nhau.
Do các bi đỏ khác nhau nên ta được số
hoán vị là .
Vậy số cách xếp khac nhau để các bi đỏ đứng cạnh nhau, các bi xanh đứng cạnh nhau là
.
7.
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ
3 người đi dự hội nghị SV của trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ
lớp?
Số cách cử 1CBL+2HS là

Số cách cử 2CBL+1HS là
.
Vậy ta có tất cả:
cách cử.
8. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách

Có
cách chọn tốp ca gồm 5 nam,1 nữ
Vậy có
cách chọn tốp ca 6 người có ít nhất 2
nữ
10.
Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn
dài.
1. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn.
2. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A và B
không ngồi cạnh nhau.
1. Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có thứ tự là một
hoán vị 6 phần tử.
Nên ta có số cách sắp xếp là:
cách.
2. Nếu A và B theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có
cách sắp xếp.
Nếu B và A theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có
cách sắp xếp.
Vậy só cách sắp xếp cần tìm là:
cách.
11.
Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viênmuốn chọn 3 học sinh xếp bàn
ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Chọn 3 học sinh trong số 11 học sinh, ta có
cách.
Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ sinh ta có
cách.
Vậy số cách chọn cần tìm là:
cách.

có 4 chữ số (10 chữ số được dùng). Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết
không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau?
Gọi
là một biển số đăng ký.
Có 30 cách chọn

30 cách chọn

30 cách chọn

Có 10 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

Vậy ta có tối đa
triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký.
16.
Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ
thống theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn. Trong đó có:
cách sắp xếp sách
văn.

cách sắp xếp sách sử

cách sắp xếp sách địa

6 cách chọn d
=> Có 9*8*7*6*1=3024 cách chọn khi e= 0
Khi e = 5 => Có 1 cách chọn e
8 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c
6 cách chọn d
=> Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5
Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán.
18.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau và trong đó có chữ số 4.
Gọi
là số cần lập
Có 2 trường hợp
• Nếu
thì có :
1 cách chọn

6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số
• Nếu

.
Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng
với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có
cách chọn 3 chứ số còn lại của .
Vậy ta có
số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau
• Tóm lại số các số
cần lập là số .
20.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số ,trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt đúng 1 lần.
Gọi
là số cần lập. Ta có:
7 cách chọn
7 cách chọn

6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

1 cách chọn

Vậy ta có :


Ta có :
9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì )
9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số
thứ nhất đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số
thứ hai đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ
ba đã được chọn )
9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ
số thứ tư đã được chọn )
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ
3 và thứ hai)
Vậy ta có
số thoả mãn đề bài.
23.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.
Ta có :
9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì
)
9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số
thứ nhất đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số
thứ hai đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ
ba đã được chọn )
9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ
số thứ tư đã được chọn )
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ
3 và thứ hai)
Vậy ta có

Giải khác
Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau có: 5*4*3*2*1 = 120 số
số mà bắt đầu =1 có: 4! = 24 số
=> số không bắt đầu bởi số 1 là: 120 - 24 = 96
Giải khác
gọi
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập là a1a2a3a4a5
ta có : a1 có 5 cách chọn
a2 có 4 cách chọn
a3 có 3 cách chọn
a2 có 2 cách chọn
a1 có 1 cách chọn
vậy từ 5 số 1,2,3,4,5 ta lập đc 5! = 120 sô tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
gọi
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ 1 có dạng 1abcd
ta có a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn
và d có 1 cách chọn
suy ra ta sẽ lập đc 4! = 24
số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số bắt đầu bởi chữ số 1
vậy sẽ có 120 - 24 = 96
số tự nhiên có 5 chữ số khac nhau không bắt đầu bởi chữ số 1
từ các chữ số 1,2,3,4,5
Giải khác
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau lập được từ 1,2,3,4,5 là :5!=120
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ chữ số 1 là : 4!=24
=>Số chữ số có 5 chữ số khác nhau ko bắt đầu từ chữ số 1 là : 5! - 4! =96
26.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5.