ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục.
5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục.
6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục.
7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM.

Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. MA TRẬN

1.1. ðịnh nghĩa
a) Ma trận A cấp m n× trên
ℝ
là 1 hệ thống gồm m.n số
( )
1, ; 1,
ij
a i m j n∈ = =ℝ
và ñược sắp xếp thành bảng:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...

...
m
a
A
a
 
 
=
 
 
 
là ma trận cột; m = n = 1, A = (a
11
) (1 phần tử).
• Tập hợp các ma trận A là
,
( )
m n
M ℝ , ñể cho gọn ta viết
( )
ij m n
A a
×
= .

b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ
khi chúng cùng kích thước và a
ij
= b
ij


Các ma trận vuông ñặc biệt:
• ðường chéo chứa a
11
, a
22
, …, a
nn
là ñường chéo chính của
A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ.
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường
chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo.
• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường
chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu I
n
.
VD 2.
2
1 0
0 1
I
 
=
 
 
,
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1

 
 
=
 
 
−
 
là ma trận tam giác dưới.
• Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng
qua ñường chéo chính bằng nhau (a
ij
= a
ji
).
• Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối
xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (a
ij
= –a
ji
) và tất cả các
phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0.

VD 4.
3 4 1
4 1 0
1 0 2
A
−
 
 

( )
ij m n
B b
×
=
ta có:
( )
ij ij m n
A B a b
×
± = ±
.
VD 5.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
−
     
+ =
     
− − −
     
;

1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
− −
     
− =
     
− − − −

   
− −
   
;

2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
   
=
   
− −
   
.
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng
ma trận.
• Ma trận –A là ma trận ñối của A.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 2c) Nhân hai ma trận
• Cho ( )
ij m n
A a
×
= , ( )
jk n p
B b
×

−
  
;
c)
2 0 1
1 1 1
1 1 2
2 0 3
1 3 2
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
− −
 
.

• Phép nhân ma trận có các tính chất:

1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5)

   
   
− −
   
   
− −
   
và

1 2 1 1 0 1
0 3 1 2 2 0
2 1 0 3 0 3
− − −
  
  
− −
  
  
− −
  
.

• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
• ðặc biệt, khi
( )
ij n
A a=
và
*
p∈

 
, tính (I
2
– B)
2009
.
VD 10. Cho A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp 100 có các phần
tử ở dòng thứ i là (–1)
i
. Tìm phần tử a
36
của A
2
.

d) Phép chuyển vị
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=
, ma trận chuyển vị của A là:
( )
T
ji n m
A a
×

T
A A= ⇔
A ñối xứng;
6)
T
A A= − ⇔
A phản xứng.

1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=

( 2)m ≥
. Các phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p dòng
e trên A là:

– (e

– (e
3
): Thay 1 dòng b
ở
i t
ổ
ng c
ủ
a dòng
ñ
ó v
ớ
i tích
λ
dòng
khác
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.

Chú ý
1) Trong th
ự
c hành ta th
ườ

B A∼
.
3) T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p trên
c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n. VD 11.
Cho
1 2 3
2 1 1


b) Ma trận sơ cấp
• Ma tr
ậ
n thu
ñượ
c t
ừ
I
n
b
ở
i
ñ
úng 1 phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p
dòng (c
ộ
t) là ma tr
ậ
n s
ơ
c

 
là các ma
tr
ậ
n s
ơ
c
ấ
p.

1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn

a) Ma trận bậc thang
• Hàng có t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

ñề
u b
ằ
ng 0
ñượ
c g
ọ
i là hàng


• Ma tr
ậ
n b
ậ
c thang là ma tr
ậ
n khác 0 c
ấ
p
m n×

( , 2)
m n ≥

th
ỏ
a:
1) Các hàng b
ằ
ng 0
ở
d
ướ
i các hàng khác 0;
2) Ph
ầ
n t
ử
c


ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 3VD 13.
+
1 0 2
0 0 3
0 0 0
 
 
 
 
 
,
0 1 2 3
0 0 4 5
0 0 0 1
 
 
 
 
 
và I
n
là các ma trận bậc thang;
+
0 2 7
0 3 4

,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
và
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
 
 
 
 
 
là các ma trận bậc
thang rút gọn.
1.5. Ma trận khả nghịch

a) ðịnh nghĩa

• Ma trận
( )
n

A
 
=
 
 
và
3 5
1 2
B
−
 
=
 
−
 
là nghịch ñảo của nhau vì
AB = BA = I
2
.

Nhận xét
1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì không khả nghịch.
2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận
nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp.
3) (AB)
–1
= B
–1
A

( )
A B
′
(
A
′
là ma trận bậc thang dòng rút gọn).

1) Nếu
A
′
có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc
n
A I
′
≠
thì A
không khả nghịch.

2) Nếu
n
A I
′
=
thì A khả nghịch và A
–1
= B.

VD 16. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 1 0 1


2.1. ðịnh nghĩa

a) Ma trận con cấp k

• Cho ma trận vuông
( )
( )
ij n
n
A a M= ∈ ℝ
. Ma trận vuông
cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột
của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A.

• Ma trận M
ij
cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng
thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử a
ij
. b) ðịnh thức

• ðịnh thức cấp n của ma trận vuông
( )
( )
ij n
n

11
A
11
+ a
12
A
12
+ … + a
1n
A
1n
, trong
ñó A
ij
= (–1)
i+j
det(M
ij
) là phần bù ñại số của phần tử a
ij
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 4


1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
−
 
 
= −
 
 
 
và
1 0 2 0
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
C
 
 
−
 
=
 
 
 
.

2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức
• Cho ma trận vuông
( )

VD 3.
1 3 2 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 3 2 3 1 2
− −
− = − − = −
−
.
Hệ quả
• ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0.
VD 4.
3 3 1
2 2 1 0
1 1 7
=
;
2 3
2 5
2 5
1 0
1
x x x
y y
y y
=
;
2 5
2 5
2 5
1

1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0.
2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức
bằng 0. Tính chất 4
• Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của
2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức.
VD 6.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1 1
1 1
1 1
x x x x x x x x
x y y x y y y y
x z z x z z z z
+
+ = +
− −
.
Tính chất 5
• ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ
lần dòng (cột) khác.
VD 7. Tính các ñịnh thức:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
− −

triển det A sau:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
i i i i in in
n
i j
ij ij ij ij
j
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
. b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
j j j j nj nj
n
i j
ij ij ij ij

22 2 21 22
11 22
1 2
... 0 ... 0
0 ... ... 0
...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =

(dạng tam giác).

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 52) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận).
3)
det .det
0
n
A B

  
;

c)
1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
− −
   
   
=
   
   
−
   

1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
− −
=
−
.

2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo
a) ðịnh lý
• Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0.
.
VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
 
 
=
 
 
 
và
1 2 1
0 1 1
1 2 3
B
 
 
=
 
 
 
.

Nhận xét

• Nếu
0ac bd− ≠
thì:

bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận
• Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con
khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có:
1 ( ) min{ , }r A m n≤ ≤
.
• Nế
u A là ma tr
ậ
n không thì ta quy
ướ
c r(A) = 0.

c) Phương pháp tìm hạng của ma trận
ðịnh lý
• H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ậ
c thang (dòng) b
ằ
ng s
ố
dòng khác 0
c

ủ
a A sau bi
ế
n
ñổ
i là r(A).
VD 12.
Tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
−
 
 
−
 
=
 
 
− −
 
.

ủ
a ma tr
ậ
n
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
A
m
− −
 
 
− − −
 
=
 
 
−
 
.