Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn
viện khoa học thủy lợi sổ tay kỹ thuật thủy lợi
phần 1
cơ sở kỹ thuật thủy lợi tập 1
ã Toán học
ã Cơ kết cấu
Chủ biên
GS. TSKH. Phạm Hồng Giang
biên soạn
PGS. TS. Phó Đức Anh - PGS. TS. Nguyễn Hữu Bảo
GS. TS. Phạm Ngọc Khánh - GS. TS. Nguyễn Văn Lệ
PGS. TS. Dương Văn Thứ - PGS. TS. Hoàng Đình Trí
PGS. TS. Lê Minh, ủy viên
TS. Đinh Vũ Thanh, ủy viên
CN. Trần Thị Hồng Lan, ủy viên thư ký Lời giới thiệu 3 3 Lời Giới Thiệu Hàng ngày, hàng giờ, n-ớc không thể thiếu cho cuộc sống,
cho sự phát triển kinh tế x hội. Đồng thời, quá nhiều n-ớc lại có
thể gây nhiều tai họa. Việt Nam có nguồn n-ớc t-ơng đối dồi dào
nh-ng l-ợng n-ớc phân bố theo thời gian hết sức chênh lệch
do m-a hầu nh- chỉ tập trung trong chừng 3 tháng mỗi năm.
Thủy lợi góp phần quyết định vào việc điều hòa nguồn nước, đưa nước
đến những nơi cần thiết và giảm nhẹ mức ngập lụt khi xảy ra mưa lũ. Vì
vậy, thủy lợi là kết cấu hạ tầng rất quan trọng của toàn xã hội.
Đảng và Nhà n-ớc ta rất quan tâm phát triển thủy lợi. Nhân
dân ta đ dành nhiều công sức xây dựng những hệ thống thủy lợi,
góp phần không nhỏ vào thắng lợi của sự nghiệp giải phóng dân
tộc cũng nh- trong công cuộc đổi mới gần 20 năm qua. Đội ngũ
các nhà nghiên cứu, các chuyên gia, kỹ s-, kỹ thuật viên đ tr-ởng
thành nhanh chóng. Hàng loạt các quy trình, quy phạm, tiêu chuẩn
kỹ thuật đ đ-ợc ban hành cùng với rất nhiều tài liệu tra cứu,
tham khảo, sách giáo khoa,... đ đ-ợc xuất bản.
nhận đ-ợc sự góp ý của bạn đọc để sổ tay sẽ đ-ợc hoàn thiện hơn
trong lần xuất bản sau.
Xin chân thành cảm ơn Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông
thôn, Bộ Khoa học và Công nghệ, các cơ quan và đồng nghiệp đ
nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho việc biên soạn và xuất bản. Thay mặt tập thể các tác giả GS. TSKH. Phạm Hồng Giang
Mục lục 5 5
Mục lục
Lời giới thiệu
3
Mục lục 5
Chương 1. Toán học
9
1.1. Toán sơ cấp
9
1.1.1. Đại số và lượng giác
9
1.1.2. Hình học
19
2.1.2. Nội lực
130
2.1.3. ứng suất
131
2.1.4. Trạng thái ứng suất
131
2.1.5. Biến dạng
134
6 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
2.2. Đặc tr-ng cơ học của vật liệu và các thuyết bền
135
2.2.1. Đặc trưng cơ học của vật liệu
135
2.2.2. Các thuyết bền
138
2.3. Đặc tr-ng hình học mặt cắt ngang của thanh
139
2.3.1. Định nghĩa
139
2.3.2. Một số công thức thường dùng
142
2.4. Tính thanh, dầm và dây mềm
146
2.4.1. Tính thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
146
2.4.2. Tính dầm chịu uốn phẳng
149
2.4.3. Tính thanh chịu xoắn
161
2.4.4. Tính thanh chịu lực phức tạp
308
2.7.2. Tính dầm và tấm trên nền đàn hồi Uyn - cờ - le
311
2.8. ổn định đàn hồi của kết cấu
312
2.8.1. ổn định đàn hồi của thanh chịu nén đúng tâm
312
2.8.2. ổn định đàn hồi của dầm chịu uốn phẳng
314
Mục lục 7 7
2.8.3. ổn định đàn hồi của khung phẳng
317
2.8.4. ổn định đàn hồi của tấm chịu nén
320
2.8.5. ổn định đàn hồi của vỏ trụ tròn
322
2.9. Dao động của kết cấu
324
2.9.1. Dao động của hệ có một bậc tự do
324
2.9.2. Dao động của hệ có n bậc tự do
328
2.9.3. Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do
330
2.10. Lý thuyết dẻo và từ biến
348
2.10.1. Lý thuyết dẻo
348
2.10.2. Lý thuyết từ biến
Chương 1 - toán học 9
Chương 1
toán học 1.1. Toán sơ cấp
1.1.1. Đại số và l-ợng giác
1.1.1.1. Các công thức kết hợp - Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị (không lặp) của n phần tử phân biệt (n
ẻ
N)
(Kí hiệu: n ẻ N n là một số nguyên, dương hoặc bằng 0).
a) Định nghĩa
Mỗi cách xếp (không lặp) n phần tử phân biệt thành dy có thứ tự cho ta một hoán
vị của n phần tử đó. Ví dụ: (5, 3,1, 2, 4) là một hoán vị của 5 số tự nhiên đầu tiên.
b) Số hoán vị của n phần tử phân biệt
P
n
= n(n
-
1)(n
-
2)...1 = n! (1.1.1)
( n! đọc là giai thừa n hoặc n giai thừa. Số này bằng tích của n số tự nhiên đầu tiên).
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt
( )
( )( )( )
k
n
n!
Ann1n2...nk1
nk!
==---+
-
(1.1.2)
Ví dụ: Số chỉnh hợp chập 3 của 5 số tự nhiên đầu tiên là 5
4
3 = 60. Như vậy, từ
5 số tự nhiên đầu tiên, có thể lập được 60 số phân biệt gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.
10 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
c) Số chỉnh hợp chập n của n phần tử phân biệt chính là số hoán vị của n phần tử đó:
n
nn
AP=.
3. Tổ hợp (không lặp) chập k của n phần tử phân biệt
=. Như vậy từ 5 số tự
nhiên đầu tiên, có thể lập được 10 tập con, để mỗi tập gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.
c) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt gấp (k!) lần số tổ hợp chập k của n phần
tử đó.
4. Chỉnh hợp (cho phép lặp) chập k của n phần tử phân biệt (n, k
ẻ
N)
a) Định nghĩa
Mỗi cách xếp (cho phép lặp) k phần tử, rút từ n phần tử phân biệt, thành dy có
thứ tự cho ta một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó. Ví dụ: (5, 3, 3) là một chỉnh
hợp lặp chập 3 của 5 số tự nhiên đầu tiên. Một dy 16 số 0, số 1 là một chỉnh hợp lặp
chập 16 của hai số này.
b) Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử phân biệt
kk
n
Ln= (1.1.4)
Ví dụ: Số chỉnh hợp lặp chập 5 của 3 số tự nhiên đầu tiên là 3
5
= 243. Như vậy,
từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 243 dy số, để mỗi dy gồm 5 số có kể thứ tự (năm
số này có thể giống nhau hoặc khác nhau đôi một).
5. Tổ hợp và hoán vị (cho phép lặp) của tập n phần tử
a) Nếu thực hiện phép chọn n phần tử trong k nhóm (các phần tử trong mỗi nhóm giống
nhau và số phần tử trong mỗi nhóm lớn hơn hay bằng n) ta có số phép chọn là:
k1
m!m!...m!
= (1.1.5)
Đây là số hoán vị (cho phép lặp) của n cái nhn hiệu của k nhóm.
Ví dụ: Số cách xếp 10 hành khách vào 3 toa tầu sao cho toa I có 3, toa II có 2, toa
III có 5 là:
3;2;5
10
10!
C2520
3!2!5!
== cách.
Đây là số hoán vị lặp của 10 số (nhn) I,II,III.
c) Từ công thức (1.1.5) có thể trở lại công thức (1.1.3) và ta có thể hiểu:
( )
k
k
n
n
A
n!
C
k!nk!k!
==
-
là số cách chia tập n phần tử phân biệt thành 2 nhóm; một nhóm có k phần tử, nhóm kia
có (n k) phần tử.
hạng, tổng các số mũ của a và b luôn bằng n.
+ Các hệ số có tính đối xứng, tức là:
knk
nn
CC
-
= .
+ Hệ số của số hạng sau có thể suy từ hệ số của số hạng trước theo công thức:
( ) ( ) ( )
( )
k
n
k1
n
Cnk Hệ số trước số mũ của a
C
k1Số mũ của b1
+
-
==
++
12 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Các hệ số khai triển theo thứ tự lập nên tam giác Pascale:
0
0
01
11
1.1.1.2. Số phức
1. Định nghĩa
Số phức là một số có dạng:
Z = a + i
b
trong đó:
a, b là hai số thực;
i là đơn vị ảo với i
2
= -1
(a được gọi là phần thực, kí hiệu ReZ, còn i
b được gọi là phần ảo của Z, kí hiệu ImZ;
khi a = 0, Z là số thuần ảo còn khi b = 0, Z là số thực).
Chương 1 - toán học 13
Người ta biểu diễn số phức Z = a + ib bằng điểm M(a; b) trong hệ toạ độ vuông
góc xOy. Khi đó:
r = OM =
22
ab+
được gọi là môđun, kí hiệu ùZùvà j =
xOM (với
b
tg
a
j= ; chọn j sao cho:
22
(a
2
+ ib
2
) = (a
1
a
2
) + i(b
1
b
2
)
+ Phép nhân cho ta tích hai số phức:
(a
1
+ ib
1
) (a
2
+ ib
2
) = (a
1
a
2
Z aibaabbbaba
i
Z aibaibaib
abab
+-
++-
===+
++-
++
+ Tổng hai số phức liên hợp bằng:
Z + Z = 2a = 2ReZ.
+ Tích hai số phức liên hợp bằng:
Z
Z = a
2
+ b
2
=
2
Z .
+ Phép nhân và phép chia hai số phức viết dưới dạng lượng giác sẽ rất tiện lợi:
Chẳng hạn với hai số phức:
Z
1
= r
1
(cos
j
ẵ
Z
2
ẵ
= r
1
r
2
;
arg(Z
1
Z
2
) = argZ
1
+ argZ
2
=
j
1
+
j
2
;
14 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
2
.
+ Phép lũy thừa và khai căn đối với số phức cũng có thể thực hiện bằng dạng
lượng giác:
với Z = r(cos
j
+i sin
j
)
và n là số nguyên dương, ta có:
Z
n
= r
n
(cosn
j
+ i
sinn
j
)
và
( )
nn
2k2k
Zrcosisink0,1,...,n1
nn
j+pj+p
ổử
=+=-
để tìm x, y.
1.1.1.3. Cấp số
1. Cấp số cộng (CSC)
CSC là một dy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ
hai trở đi, luôn bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai
u
n
= u
n1
+ d (1.1.7)
với:
n là số nguyên, n 2;
d là công sai, d = hằng số;
khi d > 0, CSC là tăng (hay tiến),
khi d < 0, CSC là giảm (hay lùi);
Kí hiệu CSC là á.
+ Muốn xác định một CSC, cần biết u
1
, d và n (hữu hạn hoặc vô hạn).
+ Số hạng thứ n:
u
n
= u
1
+ (n
-
1)d (1.1.8)
khi q > 1, CSN là tăng (hay tiến),
khi 0 < q < 1, CSN là giảm (hay lùi);
Kí hiệu CSN là:
::
.
+ Muốn xác định một CSN, cần biết u
1
, q và n (hữu hạn hoặc vô hạn).
+ Số hạng thứ n:
u
n
= u
1
q
n 1
(1.1.11)
+ Tổng n số hạng đầu tiên của CSN là:
( )
n
1
n1
n
uq1
uqu
S
q1 q1
-
-
và được gọi là lôgarít theo cơ số a của N.
16 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Từ định nghĩa trên, suy ra:
a
logN
aN;=
x
a
logax.=
+ Lôgarít theo cơ số 10 được gọi là lôgarít thập phân, kí hiệu là lgN hoặc logN.
+ Lôgarít theo cơ số e được gọi là lôgarít tự nhiên, kí hiệu là lnN (e là số vô tỉ, có
giá trị gần đúng là 2,71828).
2. Các công thức về lôgarít
log
a
(N
1
. N
2
) = log
a
N
1
+ log
a
N
2
(N
ẵN
1
. N
2
ẵ= log
a
ẵN
1
ẵ+ log
a
ẵN
2
ẵ (N
1
; N
2
ạ 0; 0 < a ạ 1) )0(log2log
logloglog
2
21
2
1
ạ=
-=
NNnN
NN
N
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
270
0
360
0
Góc tính theo radian
p
180
p
6
p
4
p
3
p
2
a
a=
a
(tg
a
xác định
cos
a
ạ
0).
+ Tỉ số giữa hoành độ và tung độ điểm M là côtang của a và kí hiệu là cotga:
1cos
cotg
tgsin
a
a==
aa
(cotg
a
xác định
sin
a
ạ
0)
sina; cosa; tga; cotga được gọi là các giá trị lượng giác của cung lượng giác a.
cotgk;k Z
sin
a
a="aạpẻ
a
c)
cos()coscossinsin; ; ab=abab"ab
d) sin()sincoscossin;;ab=abab"ab
18 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
Từ những công thức cơ bản trên, còn có các công thức dẫn xuất khác mà độc giả
có thể tự suy ra được, chẳng hạn:
e)
2
2
1
1tg;
cos
+a=
a
2
2
1
1cotg;
sin
+a=
a
Độc giả có thể dễ dàng tìm được các công thức biến tổng thành tích; biến tích
thành tổng; các công thức cho giá trị lượng giác của các góc nhân đôi, chia đôi, nhân
ba cũng như các công thức tính sinx; cosx; tgx theo
x
ttg.
2
=
4. Các hệ thức l-ợng giác để giải tam giác
Gọi: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC, theo thứ tự đối diện với các góc
A, B, C. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác; r là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Khi đó, ta có:
+ Các định lý hình chiếu:
a = bcosC + ccosB;
b = ccosA + acosC;
c = acosB + b cosA.
+ Định lý hàm số sin:
abc
2R.
sinAsin B sinC
===
Đặc biệt, nếu cho A = 90
0
, a = BC = 2R, thì từ các định lý này, ta sẽ có những
công thức liên quan giữa cạnh, góc, bán kính R để giải một tam giác vuông.
- chiều cao ứng với cạnh a.
S = p(pa)(pb)(pc)--- (Công thức Hê-rông);
S =
1
absinC;
2
S = p r.
2. Tứ giác
+ Hình thang có diện tích:
S =
ab
2
+
h
với:
a, b - độ dài hai đáy;
h - chiều cao.
+ Hình bình hành có diện tích:
S = ah
với:
a - chiều dài đáy;
h - chiều cao.
+ Hình thoi ABCD có diện tích:
S =
1
AC BD
trong đó:
C
Đ
- chu vi đáy;
h - chiều cao;
R - bán kính đáy;
l - độ dài đường sinh.
+ Mặt cầu:
S = 4
p
R
2
với: R - bán kính hình cầu.
2. Thể tích
+ Hình lăng trụ:
V = S
Đ
h
+ Hình chóp:
V =
3
1
S
Đ
h
+ Hình chóp cụt:
V =
( )
ằ
4,1888
3
R
với:
S
Đ
- diện tích đáy
h - chiều cao.
B, B - diện tích đáy lớn, đáy nhỏ.
Người ta còn tính diện tích mặt tròn xoay và thể tích khối tròn xoay bằng định lý
Guyn-đanh hoặc bằng tích phân (xem 1.2.4).
1.1.2.3. Hình giải tích trong mặt phẳng và trong không gian
1. Phép tính vectơ
a) Vectơ trong không gian được xác định bởi một bộ ba số thực có thứ tự gọi là ba toạ
độ của vectơ đó. Kí hiệu vectơ a là: a
= (a
x
; a
y
; a
z
), khi đó, độ dài và ba côsin chỉ
hướng của a
coscosa; Oz
aaa
ỡ
ù
a==
ù
++
ù
ù
ù
b==++ạ
ớ
ù
++
ù
ù
g==
ù
++
ù
ợ
b) Các phép tính vectơ
+ Tổng (hiệu) hai vectơ là một vectơ có toạ độ bằng tổng (hiệu) các toạ độ tương
ứng của hai vectơ đó.
+ Tích của vectơ với một số thực là một vectơ có toạ độ bằng tích số đó với các toạ
độ của vectơ đ cho.
ộự
=
ởỷ
có phương vuông
góc với cả a và b
; có chiều sao cho ba vectơ
( )
a;b;c
lập nên một bộ ba thuận
(Nghĩa là, nếu đứng theo chiều của tích c
, ta sẽ nhìn thấy chiều quay một góc
nhỏ nhất từ
a
sang
b
là ngược chiều kim đồng hồ); còn môđun của tích có hướng
được xác định theo công thức:
( )
a;ba.bsina;b
ộự
=
ởỷ
và bằng:
( )
xyz
xyz
xyz
aaa
Da;b;ca;bcbbb
ccc
==
ộự
ởỷ
Trị tuyệt đối của tích hỗn hợp
( )
Da;b;c
có giá trị bằng thể tích của một hình
hộp tạo bởi ba vectơ
a;b;c
, khi ta đưa chúng về cùng một gốc. Điều kiện cần và đủ để
ba vectơ đồng phẳng (cùng song song với một mặt phẳng cố định nào đó) là tích hỗn
hợp của chúng bằng 0.
Chương 1 - toán học 23
2. Đ-ờng thẳng trong mặt phẳng (xOy)
a) Phương trình đường thẳng D qua điểm M
0
b) Phương trình đường thẳng D qua điểm M
0
và có vectơ chỉ phương u (a;b)0ạ
có thể
viết theo:
+ Dạng vectơ:
0
MMku=
"
M(x; y)
ẻ
D
, (k
ẻ
là tham số);
+ Dạng chính tắc:
( ) ( )
( )
00
22
xxyy
ab0;
+>ẻ
ớ
=+
ợc) áp dụng các dạng nêu trên, ta có:
+ Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N phân biệt cho trước có dạng:
MM
NMNM
xxyy
xxyy
--
=ì
--
+ Phương trình đường thẳng cho theo đoạn chắn:
( )
xy
1 m;n0
mn
+=ạ
biểu diễn đường thẳng MN với: M(m; 0); N(0; n) là hai điểm lần lượt nằm trên Ox; Oy.
24 sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+ Phương trình:
y = k(x
-
x
22
>+ BA .
Gọi j là góc giữa hai đường thẳng
( )
0
90jÊ , j có thể xác định theo các công
thức sau:
12
coscos(n;n)j=
(khi biết hai vectơ pháp)
hoặc:
12
12
kk
tg
1kk
-
j=
+
(khi biết hai hệ số góc của hai đường thẳng được xét).
e) Đường thẳng:
( )
22
Ax ByC0A B 0++=+>
chia mặt phẳng toạ độ làm ba phần:
+ Phần I là tập hợp các điểm (x; y) thuộc đường thẳng thoả mn đẳng thức:
( )
( )
22222
Fx;yAx BxyCy Dx Ey F 0, A B C0=+++++=++>
Sau khi dùng phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương (gồm ba số hạng đầu
của F(x;y)) về dạng chính tắc, ta dùng một phép đổi biến thích hợp (phép tịnh tiến hệ
trục toạ độ) để đưa phương trình tổng quát trên về một trong các dạng sau đây:
+ Parabôn (P):
2px = y
2
trong đó: p là tham số tiêu;
có: Trục đối xứng Ox; Đỉnh O(0; 0); Tiêu điểm F
p
;0
2
ổử
ỗữ
ốứ
; Đường chuẩn:
p
x
2
=-ì
Theo định nghĩa, (P) là tập hợp các điểm M(x; y) sao cho MF luôn bằng khoảng
cách từ M đến đường chuẩn của nó. Tâm sai của (P) bằng 1.
+ Ellip (E
1
):
1
+ MF
2
= 2a.
+ Ellip (E
2
):
22
22
xy
1
ab
+=
trong đó: a, b là độ dài hai bán trục; b > a > 0; Nửa tiêu cự
22
cba=-
có: Hai trục đối xứng: Ox, Oy; 4 đỉnh: (a; 0) và (0; b); 2 tiêu điểm F
1,2
(0;c) ẻ Oy;
Tâm sai
c
e
b
=; Hai đường chuẩn:
2
b
y
c
)); 2 đỉnh (a; 0); 2 tiêu điểm F
1,2
(c; 0) ẻ Ox;
Tâm sai
c
e
a
= > 1; Hai đường chuẩn:
2
a
x
c
= , mỗi đường chuẩn tương ứng với
một tiêu điểm.
Theo định nghĩa, (H
1
) là tập hợp các điểm M(x;y):
12
MFMF2a.-=
+ Hypecbôn (H
2
):
22
22
xy
1
ab
2
) có chung hai đường tiệm cận có phương trình:
b
yx
a
= . Người ta gọi (H
1
) và (H
2
) là hai hypecbôn liên hợp.
Nếu a = b, (H
1
) và (H
2
) là hai hypecbôn vuông.
+ Có thể định nghĩa chung ba đường cônic (E; H; P) là tập hợp các điểm M(x; y)
sao cho tỷ số giữa khoảng cách từ M đến một điểm F cố định (tiêu điểm) và
khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định D (đường chuẩn) luôn bằng một
hằng số e (F và D cùng nằm trong mặt phẳng xOy và F ẽ D).
Copyright: Tài liệu đại học ©