GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề - 1
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =

•
A = 0 và B
≠
0 : phương trình vô nghiệm
•
A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
•
A > 0 :
A
B
x >

•
A < 0 :
A
B
x <

•
A = 0 và B
≥

//
//
−==caac
ca
ca
D
y
//
//
−==

∗
D
≠
0 : hệ có nghiệm duy nhất







=
=
D
D
y

Sơ đồ: a c b
a’ c’ b'
D
D
y

D
x
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

2
∗

∆
= b
2
– 4ac
∆
> 0
a

/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//
2
∆−−
=

∆
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx

∞

a
b
−
+
∞

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a




<


f(x) > 0,
∀
x
≠

a
b
2
−f(x) < 0,
∀
x
≠

a
b
2
−∆
> 0
x –
∞
x
1
x

2/. Muốn có x
2
> x
1
>
α
ta phải có







>−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af

3/. Muốn có x
1
< x
2

ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af

5/. Muốn có x
1
<
α
< x
2
<
β
ta phải có



>
<
0)(
0)(
β










<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af

 Chú ý:

1/. Muốn có x
1
< 0 < x
2



<
>
>∆
0
0
0
S
P

NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0

2/.


B
A
BA
2
2
0
0

2/.










>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA



≥
−=



≥
=
⇔=
0
0
B
BA
B
BA
BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA

Chú ý:

1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA

2/.













≥
−<




b)
ca
cb
ba
>⇒



>
>

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

5
c)
cbcaba +>+⇔>

d)



<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba



<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba

3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
,......, a
n

n
n
n
aaaa
n

a
1
= a
2
= a
3
= ......... = a
n

4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3
,......, a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,......, b
n
là những số tực khi đó:
)....)(....().....(
22
2

=
⇔
1
0
n
a

6/. BĐT tam giác :

BABA +≤+

Đẳng thức xảy ra
⇔
AB
≥
0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
1
22
=+ xCosxSin

2/.
Cosx
Sinx
Tanx =

3/.

≠

π
/ 2 + k
π
, k
∈
Z
•
Cotx là x
≠
k
π
, k
∈
Z
•
Sinx là – 1
≤
Sinx
≤
1
•
Cosx là – 1
≤
Cosx
≤
1
Chú ý :
•

TanbTana
baTan
−
+
=+
1
)(

12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(

13/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
+
−
=+
1
)(

14/.
CotbCota

II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3
−=

19/.
aSinSinaaSin
3
433 −=

20/.
aTan
aTanTana
aTan
2
3
31
3
3
−
−
=

III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos

aSin
−
=

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

7
24/.
4
33
3
aCosCosa
aCos
+
=

IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)
25/.
2
1
2
t
t
Sinx
+
=

26/.
2

ba
CosCosbCosa
−+
=+

29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−

30/.
22
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
−+
=+

31/.
22
2
ba
Sin

)( −−
=−

E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=

37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=

38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=

F. CUNG LIÊN KẾT :

α
; Cos(
π
/2 –
α
) = Sin
α

Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
) = Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π
/2 +

∈
Z
Cosu = Cosv
π
2kvu +±=⇔

Tanu = Tanv
π
kvu +=⇔

Cotu = Cotv
π
kvu +=⇔

Sinu = 0
π
ku =⇔

Sinu = 1
ππ
22/ ku +=⇔

Sinu = –1
ππ
22/ ku +−=⇔

Cosu = 0
ππ
ku +=⇔ 2/


+
=
+
2222
; Ta có
22
)(
ba
c
xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c222
cba ≥+⇔

(*) Vô nghiệm khi
222

t
t
Sinx
+
−
=
+
=

Vào phương trình
⇒
t ?

⇒
x ?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a
≠
0
0
2
=++ cbSinxxaSin
( đặt
1,
≤= tSinxt
)

0
2

Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)

0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)
Phương pháp :
Cách 1:
∗
Kiểm x =
π
/ 2 + k
π
có phải là nghiệm của phương trình ?
∗
Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về
dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2
xSin

Đặt :
2),
4
(2
≤−=−= txSinCosxSinxt
π0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat

⇒
t ? ( nếu có)
⇒
x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
•
A
2
+ B
2


=
=
⇔
KB
KA
(*)

3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA


A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
Hàm số Cosin

•

bcCosAcba
2
222
−+=

•

bc
acb
CosA
2
222
−+
=Hàm số Sin

•

R
SinC

−
2
2

Các chiếu

•

cCosBbCosCa +=

Trung tuyến
•

4
)(2
222
2
acb
m
a
−+
=

Phân giác
•

2 .
2
a
A

===

•

prS =

•

R
abc
S
4
=

•

))()((
cpbpappS −−−=

Chú ý:
•

2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp

•
m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
•
R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
•

2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2
- Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chun đề -

11
H
B
C
A
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•

ACABBCAH
CHBHAH
..
.
2

Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++

2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++

3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA
..
=++
( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B

A
Tan

6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin ..22
222
+=++
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos
..21
222
−=++

8/.
SinCBASin =+
)(

CosCBACos −=+
)(
;
22
C
Cos
BA
Sin =
+

22
C
Sin

2
≤
C
Cos
B
Cos
A
Cos

12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin

13/.
4
3
222
≥++ CCosBCosACos