– Thư viện sách miễn phí
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ.
Bài 1/ Cho hàm số
1
2
12
−
+−=
x
m
xy .
a.

Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ;
b.

. Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại.
HDGiải:
a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 .
b/ Ta có:
D
2
1 1 2 1 2 1 2(1 ) 4 3
C CD CD CD CD CD
m
x m y x x x x
m
= − < ⇒ = − + = − − − = −
−
. Vậy quĩ tích các

x
− − −
= − ⇔ + + = 
 
+
có một nghiệm x = 0 nên ñể hai
giao ñiểm ở cùng một nhánh thì:
/( 1) 1 1/( 1) 0 1m m m m− + > − ⇔ + > ⇒ > − .
b/ Ta có:
2 2
/ 2( 1) 1/ 2 /(2 1) 1 /(2 1) 1 ( 2 1) /(2 1)
I I I I I I I I I I
x m m m x x y mx x x x x x= − + > − ⇒ = − + ⇒ = − = − + − = − + + +
.
Vậy quỹ tích trung ñiểm I của MN là nhánh bên phải của ñths
2
2 1
2 1
x x
y
x
− − −
=
+
.

Bài 3/
Cho hàm số:
( )
m

2
1 2
. ( 3) 1
0
0
2 3
0; 1
2 1.1/ 2 5/ 2
m
m
m
m
m m

− = −
=


⇔ ⇒ =
 
= −


+ − = −

.

Bài 4/
Cho hàm số
1

góc với nhau.
HDGiải:
a/ Xét pt:
3 2
3 ( 1) 2 ( 1)( 2 ) 0x x m x x x x m− = + + ⇔ + − − − = . Như vậy khi m thay ñổi thì
(D) luôn cắt ñths(1) tại ñiểm A( - 1; 2 ) cố ñịnh.
b/ ðể (D) cắt ñths(1) tại 3 ñiểm phân biệt thì pt
2
2 0x x m− − − = (*) phải có hai nghiệm phân biệt
khác – 1; do ñó m > - 9/4 và
0m ≠ . Khi ñó ,
B C
x x là hoành ñộ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta có:
1& 2
B C B C
x x x x m+ = = − − .
ðể tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì
2 2 2 2 2 2
'( ). '( ) 9( 1)( 1) 9 ( ) ( ) 2 1 9 ( 2) 1 2( 2) 1 9( 2 ) 1
B C B C B C B C B C
y x y x x x x x x x x x m m m m
   
= − − = − + + + = + − + − − + = + = −
   
1 2 2 / 3m⇒ = − ±
(thỏa mãn ñk). ðó chính là những gt của m cần tìm.
Bài 6/
Cho hàm số
x
xx


Bài

7/
Cho hàm số:
( )
Cxxy 1
24
+−=
Tìm những ñiểm thuộc Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến tới (C).
HDGiải:
Gọi (0; )M b Oy∈ và ptñt (D) qua M là y = kx + b. ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có
nghiệm: Bài 8/
Cho hàm số:
mx
mxx
y
−
−+
=
8

– Thư viện sách miễn phí
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
2
' 2 8 0 2m m⇔ ∆ = − > ⇔ >
(vì khi ñó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ). Hai nghiệm của
pt y’ = 0 là
, ; 2 , 2
CD CT CD CD CT CT
x x y x m y x m
= + = +
. Vậy pt của ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m.
b/ Với
2m
≠ ±
thì ñths luôn cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành ñộ của
hai giao ñiểm này là
1 2 1 2 1 2
, ; 8x x x x m x x
⇒ + = − = −
. ðể tt với ñths tại hai giao ñiểm vuông góc với
nhau thì:
2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2
8 2 8 2 (8 2 )(5 16) (8 2 ) 5 16
'( ) '( ) 1 1 1 2 1 2 10
( ) ( ) (2 8) (2 8) 2 8
m m m m m m
y x y x m

= − + + =
khi x = 1 và x = a nên ñể pt
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì:
2
. ( 2) ( 1)(3 5) 0 ( ; 1) (5/ 3;2) (2; )
CD CT
f f a a a a
= − − + − < ⇒ ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞
.
Bài10/
Cho hàm số:
1
1
−
+
=
x
x
y
a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận một ñoạn thẳng mà tiếp
ñiểm là trung
ñiểm của nó.
b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có diện
tích không ñổi.
c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một
tam giác có chu vi nhỏ nhất.
HDGiải:
a/Do
2
2

cắt các tiệm cận
x = 1 và y = 1 tại các ñiểm:
(1;( 3) /( 1)), (2 1;1)A a a B a+ − − suy ra M là trung ñiểm của AB ( vì tọa ñộ
trung ñiểm của AB bằng tọa ñộ của M ).
b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có
( 3) /( 1) 1 4 / 1 ; (2 1) 1 2 1IA a a a IB a a= + − − = − = − − = −

. / 2 4
IAB
S IA IB⇒ = = không ñổi ( ñpcm )
c/ Ta có chu vi tam giác IAB:
2 2
2 . 2 . 2 8 16 4( 2 1)
IAB
C IA IA IA IB IA IB IA IB= + + + ≥ + = + = + . Vậy chu vi tam giác IAB có
giá trị nhỏ nhất bằng
4( 2 1)+ khi IA = IB tức
2
( 1) 2 1 2a a− = ⇒ = ± . Như vậy trên ñths có hai
ñiểm TMYCBT là:
1 2
(1 2;1 2), (1 2;1 2)M M+ + − −
.

Bài 11/
Cho hàm số: )(
2
54
2
H

y (C).
Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài ñoạn AB ngắn nhất.
HDGiải:
Gọi
1 1 2 2 1 2
( ; ), ( ; ) ( )( 1 )A x y B x y C x x∈ < − < . ðặt
2 2 2
1 2
1 , 1 , 0; ( ) ( 1/ 1/ )x a x b a b AB a b a b a b− − = + = ⇒ > = + + + + +
2 2 2 2 2 2
( ) 1 (1 1/ ) 4 (2 2 1) / 4(2 1/ 2) 4(2 2 2) 8( 2 1)a b ab ab a b ab a b ab ab
 
+ + + ≥ + + = + + ≥ + = +
 
. Dấu
bằng xảy ra khi
4 4 4
1 2
1/ 2 1 1/ 2; 1/ 2 1a b x x= = ⇒ = − − = −
.

Bài 13/
Cho hàm số:
3
1
1
3
y x x= − + (C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung
AB của (C) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất.
HDGiải:

1
3 5.2 3/ 5 3 3
2
MAB
MaxS = = .

o0o
x
0
3 3
f’(x) + 0 -

f(x)

2 3/ 5

0 0