-118-
Chơng 9
Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định
- chuyển động tổng quát của vật rắn
9.1. Chuyển động quay của vật rắn quanh một điểm cố định
9.1.1 Định nghĩa
Chuyển động của vật rắn có một điểm luôn luôn cố định đợc gọi là
chuyển động quay quanh một điểm cố định
Thí dụ: Con quay tại chỗ, bánh
xe ôtô chuyển động khi ôtô lái trên
đờng vòng; cánh quạt của máy bay
khi máy bay lợn vòng .v
O







r
O
Mô hình nghiên cứu vật rắn
chuyển động quay quanh một điểm
cố định biểu diễn trên hình 9.1.
H
ình 9 - 1
9.1.2 Thông số định vị.
Vật rắn quay quanh một điểm cố
định có thể biểu diễn bằng tiết diện( S)

-119-
phẳng khi đó có góc DON =
2

. Đờng ON nằm trong mặt phẳng Oxy
và gọi là đờng mút.
Để xác định vị trí của vật trong hệ toạ độ oxyz trớc hết phải xác định đợc vị
trí của trục oz
1
, nghĩa là phải xác định đợc các góc và . Tiếp theo phải xác
định đợc vị trí của vật so với trục oz
1
nghĩa là phải xác định đợc vị trí của nó
so với mặt phẳng ONz
1
, nhờ góc = NIA. Nh vậy ta có thể chọn ba góc , và
là ba thông số định vị của vật., ở đây góc còn có thể thay thế bằng góc =


2
.
Ba góc , , gọi là 3 góc Ơle.
Góc gọi là góc quay riêng; góc gọi là góc tiến động và góc gọi là
góc chơng động.
9.1.2.2. Phơng trình chuyển động
Trong qúa trình chuyển động của vật các góc ơle thay đổi theo thời gian vì
thế phơng trình chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định có
dạng:
= (t).
= (t). (9.1 )

2
= ;

&
3
=

&

Theo hệ quả 9.2 dễ dàng suy ra vận tốc góc tổng hợp
của vật
=
1
+
2
+
3
(9.2).
Vì các vectơ

1
,
2
,
3
thay đổi theo thời gian nên cũng là vectơ thay
đổi theo thời gian cả về độ lớn lẫn phơng chiều.
Nh vậy vectơ
là
vectơ vận tốc góc tức thời


của vật đợc xác định bằng đạo hàm bậc nhất
theo thời gian của véc tơ


r

-121-
N


==
.
dt
d
rr
(9.3)

Về phơng diện hình học có thể xác định
véc tơ
nh là véc tơ vận tốc của điểm đầu N
véc tơ vận tốc góc

r

(hình 9.4).
Xét trờng hợp đặc biệt chuyển động quay
tiến động đều.
Chuyển động của vật rắn quay quanh 1
điểm cố định có chuyển động quay riêng và chuyển động quay tiến động là đều

(9.4)
Và gia tốc góc:

= V
N
với N là điểm mút của .
Nhng ở đây theo hình vẽ 9.4 hình bình hành vận tốc góc đợc gắn với
mặt phẳng
( Oz và Oz
1
) và quay quanh Oz với vận tốc
2
(
e
).
Do đó :
V
N
=
e
x ON =
e
x =
e
x (
e
x
r
) =
e


v
M

h
r
M
=

ì
M
V
r
r
OM
(9.6)
Véc tơ
hớng vuông góc với
mặt phẳng chứa trục
và điểm M và có
độ lớn V
M
V
r
M
= .h. Trong đó h là khoảng
cách từ điểm khảo sát M đến trục quay

h
r
M

W

h
1
W


H

=
OM
dt
d
OM
dt
d
ì

+ì
r
r-123-
=
OMV

hớng từ M về H và có độ lớn W

M
= h.
2
;
M
W

hớng
vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ

r
và điểm M có độ lớn W

M
= h
1
. . Với h1
là khoảng cách từ điểm M tới véctơ

.
Chú ý: Về hình thức các véc tơ
và giống nh gia tốc pháp
tuyến
M
W
M
W



C
= 2
S
1

. Hai trục Oz và Oz
1
hợp với nhau một góc = 30
0
. Tìm vận
tốc góc và gia tốc góc của con quay.
1
r


e



0
H
ình 9-7
Bài giải:
Chuyển động của con quay là tổng hợp của 2 chuyển đổng tơng đối và
kéo theo . Hai chuyển động này là các chuyển động quay quanh hai trục cắt nhau

-124-
tại một điểm O cố định. Nh vậy chuyển động của con quay là chuyển động
quay quanh điểm O cố định. ở đây chuyển động tơng đối với vận tốc góc


r

r
và

e
.
Vì

r
hợp với

e
một góc 30 độ do đó dễ dàng tìm đợc:


2
=
r
2
+
e
2
+ 2
e
.
r
.cos30
0

+

r
) =

e
ì

r
Véc tơ

hớng vuông góc với mặt phẳng Ozz
1
nh hình vẽ và có giá trị:
=
e
.
r
sin30
0
= 200

2
.
2
S
1

Thí dụ 9.2: Khảo sát chuyển động
của bánh xe ôtô khi nó chuyển động đều

và
chuyển động của trục bánh xe Oz
1
quay quanh trục Oz thẳng đứng với vận tốc
góc

2
. Hai trục z và z
1
giao nhau tại điểm cố định I vì thế có thể nói chuyển
đông tổng hợp của bánh xe là chuyển động quay quanh một điểm I cố định.
Trong trờng hợp này

1
là vận tốc góc của chuyển động quay riêng,

2
là vận
tốc góc của chuyển động quay tiến động. Chuyển động quay chơng động có
vận tốc bằng không.
- Xác định vận tốc góc tuyệt đối

r
của bánh xe. Theo công thức (9.2) ta
có:


=

r r

=
R
V
0
và tg =
R
r
.
Và
=
2
2
2
1
+

Thay số tìm đợc:

1
= 20 (1/s),
2
= 1 (1/s) và = 20 (1/s).
Chuyển động của bánh xe là chuyển động tiến động đều do đó xác định
gia tốc góc tuyệt đối.nh sau:

=

r
N
V

- Xác định gia tốc điểm P
Theo (9.7)
W
P
=
W

P
+
W

P
Vì P nằm trên trục quay tức thời nên
W

P
=

r
ì
OP
=0
Còn


P
hớng vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ vào điểm P nh
hình vẽ với trị số:

r

A
, z
A
của điểm A và 3 góc Ơle , và của
vật. Suy ra phơng trình chuyển động của vật sẽ là:
x
A
= x
A
(t) y
A
= y
A
(t) z
A
= z
A
(t)
= (t) = (t) = (t) ( 9.7 )
Chuyển động tự do của vật luôn luôn có thể phân tích thành 2 chuyển
động:

-127-
- Tĩnh tiến theo một tâm cực A
- Chuyển động quay quanh tâm cực A
9.2.2. Vận tốc và gia tốc của cả vật
Vận tốc của cả vật đợc biểu diễn qua vận tốc của tâm cực A là
A
V
v


AMV
MA
ì=
v
r
;

là vận tốc góc tức thời của vật trong chuyển
động quay quanh A.
Tơng tự gia tốc của điểm M cũng đợc xác định theo biể thức:

( 9.9 )
MAAM
WWW
rrr
+=
Trong đó:
W
MA
=
W

MA
+
W

MA

Với:

r
r
. ( 9. 10 )