ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT
0 BÀI GIẢNG
HÌNH HỌA 
GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ
Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật


Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau:
im Ch in nh: A, B, C,
ng thng Ch thng nh: a,b,c,
Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa
nh: , , , , A, B, C,
S liờn thuc Ký hiu
nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q),
Vuụng gúc nh: a b
Giao nh: A= d l
Kt qu = nh: g= mp mp
Song song // nh: d // k
Trựng nh: A B

B. CC PHẫP CHIU
I. PHẫP CHIU XUYấN TM
1) Cỏch xõy dng
Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1)
Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau:
V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A

A

A
S
P
Ta cú cỏc nh ngha:
P : Mt phng hỡnh chiu
S : Tõm chiu
Hỗnh1
SA : ng thng chiu hoc tia chiu


ca ng thng a, b) (hỡnh 3)
P
P
S
M'
S
A

B
B'
A
'
a
a'
a
b
b'
a'
A
B

2) Tớnh cht
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht
ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau:
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
2
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu
1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng
ng thng song song.
Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng
vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5)

P
P
s
s
a
'
b
'
b
a
C
'
B

chiu P : s P (hỡnh 7)
P
s
Hỡnh 7
2) Tớnh cht
Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh
cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau.
IV. NHN XẫT
Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng.
Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian
Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din.

ắ Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc
hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc .

======================== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
3
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm

Bi 1 IM

I. THC CA IM
I.1 H thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc
a) Cỏch xõy dng

Cao>0, xa
>0
A
X
A
2
A
1
A
1
A
2
A
X
P
1
(IV)
Cao<0, xa
>0
P
2

Hỡnh 1.1 Hỡnh 1.2

Xột mt im A bt k trong khụng gian.
_ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn P
1
v P
2
ta nhn c cỏc hỡnh chiu A

b) Cỏc nh ngha
_ P
1
Mt phng hỡnh chiu bng
_ P
2
Mt phng hỡnh chiu ng
_ x = P
1
P
2
Trc hỡnh chiu
_ A
1
Hỡnh chiu bng ca im A
_ A
2
Hỡnh chiu ng ca im A
_ A
1
A
2
( x) ng giúng
_ A
1
A
x
xa ca im A, qui c dng nu A
1
nm phớa di trc x

1
v sau P
2

_ Gúc phn t 3 - L phn khụng gian nm di P
1
v sau P
2

_ Gúc phn t 4 - L phn khụng gian nm di P
1
v trc P
2 + Mt phng phõn giỏc 1. L mt phng phõn giỏc ca P
1
v P
2
i qua gúc phn t th 1 v gúc
phn t th 3.
Nhng im thuc mt phng phõn giỏc1 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh
chiu bng i xng nhau qua trc hỡnh chiu x
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
4
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm
+ Mt phng phõn giỏc 2. L mt phng phõn giỏc ca P
1
v P
2

Hỡnh 1.3 Hỡnh 1.4

Nu ta t trc hỡnh chiu x vuụng gúc vi mt phng ca t giy thỡ h thng hai mt phng
hỡnh chiu P
1
, P
2
v hai mt phng phõn giỏc 1, 2 c biu din nh (hỡnh 1.4)
Túm li
thc ca mt im trong khụng gian l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng cú
th phõn bit hoc trựng nhau

I.2 H thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc a) Cỏch xõy dng
Thờm vo mt phng P
3
vuụng gúc vi P
1
v P
2
, thng P
3
t phớa bờn phi ngi quan sỏt, ta
nhn c h thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc nh (hỡnh 1.5)


y
A
1
45
A
y
A
2
A
3
A
y

A
z
A
2
A
x
A
3
P
3
0
A
x
Gi y = P
1
P
3

n trựng vi trc
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
5
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm
z, mt phn trc y theo mp P
3
n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din
nh (hỡnh1.6)
b) Cỏc nh ngha
_ P
3
Mt phng hỡnh chiu cnh
_ A
2
A
z
xa cnh ca im A, qui c dng nu A
2
nm phớa bờn trỏi trc z
_ A
3
Hỡnh chiu cnh ca im A

ắ Chỳ ý
_ A
2
A
z
= 0 A
y


y
B
2
B
y
B
Y
B
3
B
2
B
1
x
B
1
y
Hỡnh chiu cnh B
3
ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B
y'
= 0B
y

II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian
Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2

Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng
gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú.
P
3
0
z
y
x
A
1
A

A
x

y
A
z
A
x
A
P
2
Hỡnh 1.8
P
1

Vớ d
Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng.

A
X
A
z

y
-
z
+
+4
A
1
A
2
B
2
B
1
B
X
thc ca cỏc im A, B c biu din nh

(hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y,
z .
x
-
Trong ú:
OA
x
= +2; OA

Gii
_ im A thuc mt phng P
1
nờn cú A
1
A; A
2
x
_ im B thuc mt phng P
2
nờn cú B
2
B; B
1
x
_ im C thuc mt phng phõn giỏc 1 nờn cú C
1
v C
2
i xng nhau qua trc x
_ im D thuc mt phng phõn giỏc 2 nờn cú D
1
D
2

_ im E thuc trc hỡnh chiu x nờn cú E
1
E
2
x ; (Hỡnh 1.10)

3
H
2
H
1
G
2
G
3
G
Y
G
1
F
Y
F
Y
G
Y
F
3
F
1
E
1
E
2
D
1
D

3
, G
3
, H
3
; (Hỡnh 1.11)
_ im F cú cao dng, xa õm nờn im F thuc gúc phn t th 2
_ im G cú cao õm, xa õm nờn im G thuc gúc phn t th 3
_ im H cú cao õm, xa dng nờn im H thuc gúc phn t th 4

================

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
7
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG

I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó.
Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A
1
, A
2
) và B (B
1
, B
2

d
1
d
2
x
Hình 2.1 Hình 2.2

Nếu d là đường thẳng thường (d
1
, d
2
không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ
thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) .

¾ Chú ý
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối
xứng nhau qua trục hình chiếu x
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng
trùng nhau
II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu
1) Đường bằng (h)
a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi h là đường bằng, ta có: h // P

1
h
2
h
β
x

x
P
2
P
1
β Hình 2.3a Hình 2.3b

b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h
2
// x (hình 2.3b)

C
D
f
2
f
1
D
1
C
2
D
2
α
C
1
f
1
f
2
f
P
1
P
2
x
x
D
1

C

(hình 2.5a)

z
x
z
x

P
2
p
2
p
1
E
2
F
2

α
E
1
P
1
α
β

F

’
y
P
3
P
3
p
2
p
1
P
P
3
F
E

Hình 2.5a Hình 2.5b
b) Tính chất
• Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x:
p
1
≡ p
2
⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không

a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng: d⊥P
1

(Hình 2.6a ) d
2
x

P
2
x
B
2
A
2
A
B
2
A
2
d

- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng, bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ d ⇒ A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB ; (hình 2.6b)

2) Đường thẳng chiếu đứng (k)
a) Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Gọi k là đường thẳng chiếu đứng, ta có: k ⊥P
2
(Hình 2.7a )
Hình 2.7a Hình 2.7b
x
k
1

2
≡ k
2
k
1

k

b) Tính chất:
• Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm: k
2
một điểm
• Đường thẳng chiếu đứng vừa là đường bằng vừa là đường cạnh nên có những tính chất của
hai loại đường này, tức:
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x: : k
1
⊥ x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
10
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
- Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng bằng
nhau và bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ k ⇒ C
1
D
1
= C
3
D
3
= CD (hình 2.7b)

0
l
2
l
1
E
3
≡F
3
≡l
3
E
3
≡ F
3
≡l
3
P
3
l
l
2
l
1
P
1
F
E
F
1

1
= E
2
F
2
= EF (hình 2.8b)

III. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Sau đây sẽ trình bày hai định lý không chứng mimh
1) Điểm thuộc đường thẳng thường
Đường thẳng thường là đường thẳng không phải là đường đường cạnh
Định lý
Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng thường là các hình chiếu cùng tên của
điểm và đường thẳng đó thuộc nhau
Cho điểm A(A
1
, A
2
) và đường thẳng d(d
1
, d
2
),
(hình2.9); định lý trên được viết dưới dạng:

Hình 2.9
⎩

1
, A
2
B
2
), định lý trên được viết dưới dạng:
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
11
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng  Ví dụ
Cho đường cạnh AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
) và hình chiếu đứng C
2
của điểm C; (hình 2.10). Hãy vẽ hình
chiếu bằng C
1
của điểm C biết C∈ AB .
Để vẽ điểm C
1
ta thực hiện như sau:
_ Vẽ tia A

1
C
1
) = (A
1
B’C‘)
Mà (A
1
B’C‘) = (A
2
B
2
C
2
) ⇒ (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)
thoả mãn định lý trên ; (Hình 2.10)
Hình 2.10


C’
B
’
t
d
2
d
1
N
1
M
1
N
2
x
x
M
2
d
2
N
2
≡
N
M
2
N
1
d
1


Hình 2.11a Hình 2.11b
b) Vết đứng (N)
_ Định nghĩa
Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi N là vết đứng của đường thẳng d, ta có: N = d ∩ P
2
; ( Hình 2.11a)

_ Tính chất
+ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó : N
2
≡ N
+ Hình chiếu bằng của vết đứng thuộc trục x : N
1
∈ x ; (hình 2.11b)

GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
12
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng
IV.PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC
Phương pháp tam giác dùng để xác định độ dài thật của một đoạn thẳng và góc nghiêng của đoạn
thẳng đó tạo với mặt phẳng hình chiếu

Giả sử có đoạn thẳng AB, chiếu vuông góc nó xuống P
1
được A
1
B
1

là độ dài
thật của đoạn thẳng cần tìm và góc nghiêng
α
= (B
0
A
1
B
1
) là góc của đoạn thẳng AB hợp với
mặt phẳng hình chiếu bằng “.

Hình 2.12 Hình 2.13
α
P
1
x
B
1
A
1

A
2
B
2
N
2
I
2
N
1
B
1
≡ I
1
M
2
A
1
Hình 12.14
C
1
M
1

V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN

 Ví dụ 1
Cho đường thẳng AB. Hãy xác định:
a) Vết bằng, vết đứng của đường thẳng AB
b) Điểm C trên đường thẳng AB có độ cao gấp đôi độ xa


b) Gọi I là điểm có độ cao gấp đôi độ xa và B
1
≡ I
1
. Đường thẳng N
1
I
2
cắt A
2
B
2
tại điểm C
2
là
hình chiếu đứng của điểm C cần tìm.
Từ C
2
∈ A
2
B
2
⇒ C
1
∈ A
1
B
1
; (Hình 2.14)

A
0
B’ vuông tại A
1
có một cạnh góc vuông A
1
A
0
bằng hiệu độ cao của
hai điểm A, B; cạnh huyền A
0
B’ = AB = 30mm.

Theo phương pháp tam giác thì cạnh góc vuông còn lại A
1
B’ bằng hình chiếu bằng A
1
B
1
của
AB. Như vậy B
1
là giao điểm của đường tròn (A
1
, A
1
B’) với đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15a)

B
2
B
2
B
2
B’
B
1
H
B’
B
1
B
1
B’
B’
B’
A
0
A
0
A
1
A
1
A
1
Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c


1
được vẽ là giao điểm của đường tròn (A
1
, A
1
B’) với đường gióng qua B
2
;
(Hình 2.15b)

c) Vẽ tam giác vuông A
2
B
2
B
0
vuông tại B
2
có một cạnh góc vuông A
2
B
2
. Vì ∠(AB, P
2
) = β nên
theo phương pháp tam giác thì cạnh huyền A
2
B
0
hợp với cạnh A

Giải
_ Giả sử có đoạn thẳng AB nghiêng với mpP
1
, mpP
2
lần lượt các góc α, β.
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
14
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng thúng
_ Gia hỡnh chiu ng A
2
B
2
, hiu xa ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB
hp vi mpP
2
liờn quan nhau bi tam giỏc vuụng A
2
B
2
B
0
; (Hỡnh 2.16b)
_ Gia hỡnh chiu bng A
1
B
1
, hiu cao ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB
vi mpP
1

A
1
A
2
B
2
B
2

B
2

B
1

B
1
B
1

B
1
B
2

B
1
B
2
B

1
, B
2
l cỏc hỡnh chiu ng ca
cỏc im B cn dng
+ ng trũn (A
1
, A
1
B
1
), ct cỏc ng giúng qua cỏc im B
2
, B
2
, B
2
, B
2
ti 4 im B
1
,
B
1
, B
1
, B
1
l cỏc hỡnh chiu bng ca cỏc im B cn dng; (Hỡnh 1.16c)
_ Bi toỏn cú 4 nghim

1) Hai ng thng thng giao nhau
ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35

nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng
giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng
Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh:
=
=

x
I

I


i
u kin cn v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu
cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú
Cho ng thng thng d v ng cnh AB,
nh lý trờn c vit thnh: Hỗnh 3.2
A
2
t
B
x
d
1
I
2
B
2
A
1
B
1
I
1
I
J


B

A

I
B
A

d

I
B
A

d

I
A
B
d
Vớ d
Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d
2
ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d
1
ca

; ta cú:(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
)
I AB. Vy d
1
I
1
J
1
(Hỡnh 3.2)
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
16
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
II. HAI NG THNG SONG SONG
1) Hai ng thng thng song song
nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn
ca chỳng song song nhau
Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3),
nh lý trờn c vit thnh:

2
. Bng cỏch
xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng
hỡnh chiu bng qua a
1
, b
1
s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu
ng qua a
2
, b
2
theo hai giao tuyn a, b song song nhau .

3) Hai ng cnh song song
Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau

nh lý
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng
giao nhau hoc song song nhau
Cho hai dng cnh EF v GH,
nh lý trờn c vit thnh:

x
z
y'
y
E
3
x
0
F
3
H
3
G
3
H
1
G
1
F
1
E
1
H
1
G
1
F
1
E

//

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
17
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
Vớ d
Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB

Gii
Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món
MN // AB, gi s bit trc N
2
hóy v N
1
nh sau:
Gi I = AN BM I
2
B
2
M
2
M N
2
A
2
I
2
N
1
A
Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10

Chng minh
_ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90
0
v OA // P
1
. Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh
chiu bng ta nhn c A
1
O
1
B
1
(Hỡnh 3.8), cn chng minh A
1
O
1
B
1
= 90
0

Ta cú: A
1

1
B
1
= 90
0
, ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh
chiu bng P
1
; ta cú : A
1
O
1
mp(OO
1
B
1
) (1)
x
B
1
O
1
A
1
A
2
O
2
B
2

I
1
I
2
M
2
N
2
B
2
A
2
x
d
1
d
2
c
1
c
2
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
18
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng
B
1
O
1
mp(OO
1

C
1
x
B
2
C
2
H
1
B
1
A
1
H
2
A
2
Hóy v hỡnh chiu bng C
1
ca im C, bit rng tam giỏc
ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) .

Gii
Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn
CH AB, v li AB // mp (P
1
)., nờn theo nh lý trờn, ta cú
C
1
H

B
1
B
2
c
2
d
2
b
2
a
1

A
1
a
2
Vớ d 1
Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v
ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P
1
)

Gii

Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a
mp (P
1
) nờn A
1

Hỡnh 3.12
Vớ d 2
Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on
vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy:
a) CD mp (P
1
); AB l ng thng thng
b) CD mp (P
2
); AB l ng cnh
c) CD mp (P
3
); AB l ng thng thng
Gii
a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
1
) nờn M
1
C
1
D
1
v MN l on ng bng
V li MN AB M
1
N
1
A
1

2
C
2
D
2
v MN l on ng mt
V li MN AB M
2
N
2
A
2
B
2
ti N
2
. T N
2
A
2
B
2
N
1
A
1
B
1
M
1

x
A
1
C
1
C
2
C
2
B
3
N
3
B
2
A
2
t
M
1
N
1
B
N

C
1
D
1
B

1
C
1
D
1
D
2
N
1
M
1
M
2
B
1
D
1
D
2
N
2
A
3
M
3
C
3
D
3
x

N
2
A
2
B
2
, M
2
N
2
// z v N
1
A
1
B
1
, M
1
N
1
// y; (Hỡnh 3.13c)
Kt lun: M
3
N
3
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

Vớ d 3
x
A

(Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng
B,C thuc ng mt f

Gii
_ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC
_ vỡ B,C f nờn AB f A
2
B
2
f
2
B
1
f
1

_ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht
ca on AB l on B
2
A
0

_ Vỡ BC = AB B
2
C
2
= B
2
A
0

_ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c)
_ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d) a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l)
B
2
a
2
M
2
d
2
m
2
A
2
C
2
b
2
l
2
x


1) Vt bng ca mt phng
a) nh ngha:
Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng
Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a)
Ký hiu : mb) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m
1
m


_ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m
2
x ; (hỡnh 4.2b)
Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b

2) Vt ng ca mt phng
x

n
1



x
x

m

m m

P
1
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
21
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng
a) Định nghĩa:
Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP
2
(Hình 4.2a)
Ký hiệu : n
α

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n
2α
≡ n
α

_ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α
1
) → 1 đường
thẳng
_ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó
Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A
1
∈ (α
1
) ; d
1
≡ (α
1
) ;
_ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4)

Hình 4.4 Hình 4.5
n
α

x

x


b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β
2
) → 1
đường thẳng
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK
22
Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng
_ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng
suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó
Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B
2
∈ (β
2
) ; k
2
≡ (β
2
) ;
_ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : m
β
⊥ x ; (Hình 4.5)

3) Mặt phẳng chiếu cạnh
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3

b) Tính chất

(Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại)

1) Mặt phẳng bằng
a) Định nghĩa:
Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1 Hình 4.7 Hình 4.8

b) Tính chất
_ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x:
(α
2
) // x
_ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính
chất của hai loại mặt phẳng này
Giả sử A, B, C ∈ mpα ⇒ A
2
, B
2
, C
2
∈ (α

D
2
(β
1
)
x
m
γ

l
3
≡(γ
3
)
C
3
o
C
2
x
⎢
⎢
⎣
⎡
xnm
znm
////
,
γγ
γ

1
, E
1
, F
1
(
1
)
_ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú
DEF mp D
2
E
2
F
2
= DEF ; (Hỡnh 4.8)

3) Mt phng cnh
a) nh ngha

Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh
Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP
3

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng
trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x
_ Mt phng cnh va l mt phng chiu
bng va l mt phng chiu ng nờn cú
nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny

Hỡnh 4.9

III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG
z
x
D
2
(

2
)
K
2
L
2
D
1
L
1
K
1
D
3
K
3
L
3
y

y

A
1
(Bi toỏn c bn trờn mt phng)

Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca
im, ng thng vi mt phng

1.
Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai
im thuc mt phng ú
2.
Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt
ng thng ca mt phng ú Vớ d1
Cho mt phng ABC (hỡnh 4.10). Hóy v mt ng thng d bt k thuc mt phng ABC.
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
24