HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA VIỄN THÔNG II BÀI GIẢNG Biên soạn: TS. Phan Hồng Phương

(Lưu hành nội bộ) TP HCM - 2000

3

E
i
r4
qq
F
r
r
⋅
⋅ε⋅ε⋅π
⋅
=
gọi là lực Coulomb, trong đó
[ ]
m/F
10
9
4
1
9
0
⋅
⋅
π
=ε là
hằng số điện, hay độ thẩm điện của môi trường chân không, r là khoảng cách
giữa q và q
1
.
E
F

r
r
r
. Vậy
E
r
chỉ phụ
thuộc vào điện tích
q
tạo ra điện trường và vector bán kính
r
irr
r
r
⋅= . Do đó ta
có thể dùng đại lượng
E
r
để đặc trưng cho điện trường gây bởi
q
tại một điểm
trong không gian.
E
r
gọi là vector cường độ điện trường có đơn vò là
m/V
.
E
r


⋅
π
=






m
V

trong đó ε là độ thẩm điện của môi trường. Hình 1.2 Hình 1.3

Ngoài ra, người ta còn đặc trưng cho trường điện bằng vector cảm ứng
điện:







+ε=

r
ε=εε=⋅+ε= , tức ED
r
v
ε= .
r
ε
ε
=
ε
0
là độ thẩm điện của môi trường,
r
ε
gọi là độ thẩm điện tương đối của
môi trường.
Nếu điện tích điểm q chuyển động với vận tốc
v
r
thì tại mỗi điểm trong
chân không ngoài lực điện
E
F
r
còn có lực từ tác dụng BvqF
M
r
r
r
×= , trong đó

trưng cho mức độ bò phân cực của từ môi:






∆
=
∑
=
→∆ m
A
V
m
limM
n
1i
i
0V
r
r
.
Người ta còn đặc trưng cho trường từ bằng vector cường độ từ trường:

5
M
B
H
0

Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ từ trường
không quá lớn: HkM
M
r
r
⋅= ,
M
k là độ cảm từ của môi trường.
HHkHB
M00
r
r
r
r
µ=µ+µ= ,
(
)
r0M0
k1
µ
µ
=
+
µ
=
µ
là độ thẩm từ của môi trường




lim
Mật độ điện tích mặt:






∆
∆
=σ
→∆
2
0S
S
m
c
S
q
lim
Mật độ diện tích dài:






∆
∆
=λ

q
limI
0t
∆
∆
=
→∆

C. Mật độ dòng điện
J
r

Xét một dây dẫn kim loại có mật độ điện tích khối là ρ (hình 1.4a). Các
điện tích di chuyển dọc theo dây với vận tốc
v
r
. Trong khoảng thời gian ∆t các
điện tích di chuyển được một đoạn
t
v
∆
⋅
=
∆
l . Lượng điện tích đi qua thiết
diện
'S∆
của dây trong thời gian ∆t là
t
'

SJSv
t
q
I ∆⋅=∆⋅ρ=
∆
∆
=∆
r
r

trong đó
vJ
r
r
ρ=
gọi là vector mật độ dòng điện, có đơn vò là






2
m
A
.

6
Dòng điện chạy qua mặt S bất kỳ sẽ là:
∫

b).
Hình 1.4

I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ.I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ.
Hệ phương trình Maxwell là tổng hợp của 4 đònh luật cơ bản rút ra từ
kết quả thực nghiệm và được biểu diễn dưới dạng toán học. Đó là các đònh
luật:
– Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday;
– Đònh luật lưu số Ampère-Maxwell;
– Đònh luật Gauss đối với trường điện;
– Đònh luật Gauss đối với trường từ.

I.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ FaradayI.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday
Trường từ thay đổi theo thời gian tạo ra dòng điện cảm ứng.
Công lực điện của trường điện cảm ứng dòch chuyển một đơn vò điện
tích dọc theo đường kín C gọi là sức điện động cảm ứng, có giá trò bằng
∫
=ε
C
C
dE l
r
, tính bằng Volt.
Sức điện động cảm ứng có giá trò bằng và ngược dấu với tốc độ biến
thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây kín (hình 1.5):

7

∫∫
−=

C S
dSErotdE
r
l
r
.
Với mặt
S
bất kỳ không phụ thuộc
thời gian, ta có

( )
SdSErotdS
t
B
dSB
dt
d
SSS
∀−=
∂
∂
=
∫∫∫
r
r
r

⇒


, a = 10
cm, s/rad10
3
=ω ;
– Dòng điện cảm ứng trong mạch, cho R = 1 kΩ.
♦ Từ thông móc vòng qua mỗi vòng dây là:

(
)
[
]
tsinBa3dSitsini3i2BdSB
0
2
S
zzy0
S
ωπ=⋅ω+==Φ
∫∫
r
r
r
r
[Wb].
Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây:

(
)
tcosBaN3tsinBNa3
dt

và
V5.188
C
−
=
ε
. Lúc này từ thông
đang tăng, do đó theo đònh luật
Lenz dòng điện cảm ứng i phải
có chiều chống lại nguyên nhân
sinh ra nó, tức có chiều như trên
hình 1.6. Suy ra thế tại điểm 2
cao hơn tại điểm 1 và V5.188VV
21C
−
=
−
=
ε
.
Dòng điện cảm ứng i có dạng như sau:

t10cos19.0t10cos
10
5.188
R
VV
i
33
3

dt
d
IdH
r
l
r

trong đó số hạng thứ nhất
[
]
S
C
I – dòng điện dẫn; số hạng thứ hai
∫
S
dSD
dt
d
r
là
dòng điện dòch theo luận điểm của Maxwell.

C
dS
S
D,J
r
r

D,J

d
dSJdH
r
r
l
r
(phương trình Maxwell thứ nhất dạng tích
phân) (xem hình 1.7).
Đối với một mặt kín S ta có (hình 1.8):

9








+=
+=
∫∫∫
∫∫∫
222
111
S
2
S
2
C

d
dSJ0
r
r

⇒

∫∫
−=
SS
dSJdSD
dt
d
r
r

Vậy: Dòng điện dòch qua một mặt kín bằng dòng điện sinh ra do các
điện tích chảy vào trong thể tích giới hạn bởi mặt kín đó.
Để minh họa cho luận điểm về dòng điện dòch của Maxwell, ta xét
mạch điện gồm một tụ điện nối với nguồn. Xét mặt kín như trên hình 1.9. Theo
đònh luật Ampère ta có:
)t(IdSD
dt
d
S
=
∫
r
.
Gọi A là diện tích mặt tụ điện, giả sử trường điện phân bố đều trên mặt tụ

D
dSD
dt
d
SS
∫∫
∂
∂
=
r
r

Từ phương trình Maxwell thứ nhất suy ra:

( )
SdS
t
D
dSJdSHrot
SSS
∀
∂
∂
+=
∫∫∫
r
rr

⇒


(hình 1.9), ta có:

[
]
∫
ρ=
V
V
dVQ
Vậy
∫∫
ρ=
VS
dVdSD
r
(phương trình Maxwell thứ ba dạng tích phân)
S
dS
D
r
ρHình 1.10
Theo đònh lý divergence ta có:
∫∫
=
VS
dVDdivdSD
r

r
(phương trình Maxwell thứ tư dạng tích phân)
Đònh luật này thể hiện tính liên tục của thông lượng vector cảm ứng từ
B
r
: các đường sức từ không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc, chúng được
khép kín hoặc đi xa vô cùng.
Chú ý: Đònh luật Gauss đối với trường từ được suy ra từ đònh luật
Faraday đối với mặt kín (hình 1.10):







−=
−=
∫∫
∫∫
22
11
S
2
C
S
1
C
dSB
dt

2
dS
1
C
2
CHình 1.10

11
Điều này đúng với mặt S bất kỳ, do đó:
∫
=
S
0dSB
r
.
Theo đònh lý divergence ta có:
( )
VdVDdiv0dSB
VS
∀==
∫∫
r
r

⇒

0

−=
SS
dSJdSD
dt
d
r
r
(đònh luật Ampère)
⇒

∫∫
−=
VS
qdV
dt
d
dSJ
r

Theo đònh lý divergence ta có:
( )
VdVJdivSdJ
VS
∀=
∫∫
r
r
r

⇒

=
+=
−=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
0dSB
qdVdSD
dSD
dt
d
dSJdH
dSB
dt
d
dE
S
VS
SSC
SC
r
r
l
r
r
l
r

⇒

(
)
0EEi
21
=∆−⋅
τ
l
r
r
r

Vậy
(
)
0EEi
21
=−⋅
τ
r
r
r
tức
ττ
=
21
EE . Vậy thành phần tiếp tuyến của
E

s
⊥

⇒
(
)
0EEi
21n
=−×
r
r
r
.

Môi trường 1
Môi trường 2
1
E
r
2
E
r
τ2
E
τ1
E
n1
E
n2
E

0ad
S
0bc
0ad
0bc
0ad
dSD
dt
d
limdSJlimdHlim
∫∫∫
→
→
→
→
→
→
+=
mà
(
)
321
r
r
sscdab
iJHH ⋅=+
dòng điện mặt phân bố trên bề rộng l
∆

(dòng điện qua mặt abcd nhưng vì 0bc,ad

r
r
r
=−×⋅
⇒

(
)
s21n
JHHi
r
r
r
r
=−× hay
s21
JHH
=
−
ττ
.
Vậy thành phần
τ
H không liên tục trên bờ.

• Các thành phần pháp tuyến

13
Xét hình khối đặt vuông góc với bờ S ngăn cách giữa hai môi trường sao
cho đối xứng qua S (hình 1.11).

r
r

Để tìm thành phần pháp tuyến
n
B trên bờ, ta có: 0dSBlim
S
0ss
=
∫
→
r
, suy ra:

( )
0BBi
0BB
21n
n2n1
=−⋅
=
−
rr
r

Vậy thành phần
n
B liên tục trên bờ.
Tóm lại ta có thể tóm tắt các điều kiện bờ trong bảng 1.1, và tóm tắt hệ
phương trình Maxwell trong bảng 1.2.

(
)
0BBi
21n
=−⋅
r
r
r0EE
21
=
−
ττ

S21
JHH
=
−
ττ

Sn2n1
DD
σ
=
−

0BB
n2n1

JHHi
r
r
r
r
=−×
hay
S21
JHH
=
−
ττ

∫∫
−=
SC
dSB
dt
d
dE
r
l
r

t
B
Erot
∂
∂
−=

r
r
r

hay
Sn2n1
DD
σ
=
−

∫
=
S
0dSB
r

0
Bdiv
=
r

(
)
0BBi
21n
=−⋅
r
r
r

r
14
I.7 Đònh lý Poynting I.7 Đònh lý Poynting –– Năng lượng điện từNăng lượng điện từ
Xét điện tích điểm dq chuyển động với vận tốc
v
r
trong thể tích V chòu
tác dụng của trường điện từ
E
r
,
B
r
.
Lực điện từ tác dụng lên dq là:
(
)
BvEdqF
r
r
r
r
×+= .
Khi dq chuyển động một đoạn
l
d
lực

r

⇒
vEdq
dt
dA r
r
⋅⋅= – công suất trường điện từ sinh ra do điện tích điểm
dq chuyển động.
Ngoài ra dVdq
ρ
=
, ρ có đơn vò là ]m/c[
3
. Suy ra:

dVEv
dt
dA
⋅⋅⋅ρ=
r
r

Mật độ dòng điện dẫn bằng ]m/A[vJ
2
r
r
ρ=
⇒


rr
;
t
B
Erot
∂
∂
−=
r
r
và hằng đẳng
thức
(
)
HrotEErotHHEdiv
r
r
r
r
r
r
−=× .
⇒

( )
t
D
EJE
t
B

r
r
rr
r
rr

⇒

( )
t
B
H
t
D
EJEHEdiv
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=×−
r
r
r
rrrrr

Đặt
(
)
HES






∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=−
VVS
dV
t
B
H
t
D
EdVEJdSS
r
r
r
rrr
r

Đây là công suất trường điện từ truyền qua mặt S vào thể tích V. Số hạng thứ
nhất
∫
⋅
V

r
r
r
thể hiện công suất ứng với sự thaay đổi năng lượng
trong thể tích V đươc tính bằng
[
]
2
mW .
Vậy vector Poynting HES
r
r
r
×= chính là mật độ dòng công suất.

]W[dV
t
B
H
t
D
E
dt
dW
V
∫









∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
t
0t V
dtdV
t
B
H
t
D
EW
r
r
r
r
.
Theo điều kiện cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng
ED
r
r
ε
=

r
r
r
r
r
r( )
t
D
E2
t
E
D
t
D
EDE
t
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂

t
2
1
t
B
H
rr
r
r
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅ .
Vậy
∫∫
⋅+⋅=
VV
dVBH
2
1
dVDE
2
1
W
r
r
r

=
r
, kết hợp với hằng đẳng thức toán
(
)
0HrotEErotHHEdiv =−=×
r
r
r
r
r
r
, ta suy ra:
(
)
(
)
0dSSdSHEdVHEdiv
SSV
∫∫∫
==×=×
r
r
r
r
r

⇒

∫∫

1
dVDE
2
1
W
VV
=⋅+⋅=
∫∫
r
r
r
r

Vậy năng lượng trường điện từ tónh không đổi theo thời gian.

I.8 Ý nghóa hệ phương trình MaxwellI.8 Ý nghóa hệ phương trình Maxwell 16
• Phương trình 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của
trường điện từ biến thiên.
t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
;

∂
≠
r
r
r

⇒

0Hrot;0Erot ≠=
r
r
. Khi đó điện trường có tính chất thế, từ trường có tính chất
xoáy ở những vùng có dòng điện và tính chất thế ở những vùng không có dòng
điện.
– Với trường điện từ tónh: 0Hrot;0Erot;0J;0t/ ====∂∂
r
r
r
. Đây là
trường của các nam châm vónh cửu và các vật mang điện tónh. Điện và từ lúc
này hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau, đều có tính chất thế và không có
tính chất xoáy.
• Phương trình 3 và 4 mô tả hình học của mặt thể hiện điện trường và từ
trường.
∫
=
S
0dSB
r
– dòng vector

có thể không chảy liên tục, khép
kín khắp nơi như
B
r
.
• Các phương trình Maxwell mô tả quan hệ khăng khít giữa trường và môi
trường chất.
Phương trình
t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
thể hiện tính chất xoáy của từ trường,
đường sức từ
H
r
xoay quanh những dòng điện là một dạng chuyển động của
chất;
Phương trình
ρ=Ddiv
r
thể hiện rằng điện trường tỏa ra từ những hạt
mang điện là nguồn của điện trường;
Phương trình
0
Bdiv

=
∂
∂
) và trong trường không có các điện tích chuyển động, tức
không có dòng điện (
0J
=
r
).
Để khảo sát trường điện từ tónh ta dùng hệ phương trình Maxwell:
0
t
D
JHrot =
∂
∂
+=
r
rr
;
0
t
B
Erot =
∂
∂
−=
r
r


ED
r
r
ε
=
.
• Trường từ tónh, chẳng hạn như trường của một hay nhiều nam châm vónh
cửu đứng yên. Hệ phương trình Maxwell mô tả trường từ tónh:
0Hrot =
r
; 0Bdiv =
r
, kết hợp với phương trình chất
HB
r
r
µ=
.

II.1.2 Trường điệII.1.2 Trường điện tónhn tónh
A. Khái niệm về thế vô hướng
E
ϕ

Xét một điện tích điểm q đặt trong trường điện tónh
E
r
. Vậy lực điện
trường tác động lên q là:
EqF

r
l
r
⇒
∫
−=
S
dSErotqA
r
mà
0Erot =
r
.

18
Suy ra A = 0, tức 0dEdEdE
2
21
1
2
21
1
P
)bPP(
P
P
)aPP(
PC
=−=
∫∫∫

r
, trong đó
1
P và
2
P là 2 điểm trên đường kín C (hình 2.1).
Như vậy công dòch chuyển điện
tích q từ
1
P đến
2
P chỉ phụ thuộc
vào vò trí
1
P và
2
P mà không
phụ thuộc vào quãng đường dòch
chuyển.
Nếu q = 1 c (Coulomb) ta có:

∫
−=ϕ=
2
P
1
P
1
2
P


Hình 2.1
Vì điểm mốc
1
P chọn tùy ý nên khi cho hàm thế vô hướng ta cần nói rõ điểm
mốc. Đối với các điểm mốc khác nhau hàm thế vô hướng tại một điểm cho
trước khác nhau. Tuy nhiên, hiệu các thế vô hướng
1E
ϕ
và
2E
ϕ
tại các điểm
1
P
và
2
P là hoàn toàn xác đònh:

∫∫∫
−=+−==ϕ−ϕ
1
2
2
0
1
0
P
P
P

Ta tìm mối quan hệ giữa thế vô hướng ϕ và vector cường độ điện trường
E
r
. Xét hai điểm cách nhau một đoạn l
d
trong trường điện tónh
E
r
. Lượng tăng
thế giữa hai điểm này là:
ll
r
l
l
l
dEdEdd
E
E
−=−=⋅
∂
ϕ
∂
=ϕ , trong đó
l
E là hình
chiếu của
E
r
theo phương l
d








∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
−=
++=
rrr
r
r
r
r

Vậy
E
gradE ϕ−=
rC. Phương trình Laplace-Poisson

Đối với môi trường tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng
const
=
ε
:
ρ=ϕε−=ε=
E
graddivEdivDdiv
r
r
mà divgrad chính là toán tử Laplace
EE
graddiv
ϕ
∆
=
ϕ
. Vậy ta suy ra phương trình Laplace-Poisson cho điện
trường tónh:

ε
ρ
−
=
ϕ
∆
E

Ở vùng không có điện tích tự do, tức ngoài nguồn thì ρ = 0, khi đó 0
E

ϕ
, từ đó tìm vector cường độ điện trường
E
r
.
Trong hệ tọa độ Descartes:




ερ−
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ∆
dotự tích điện có khôngvùngở 0
dotự tích điện có vùngở
2
E
2
2
E
2
2

,
(
)
z,y,x
EE
ϕ
=
ϕ
, ẩn là
E
ϕ
, điều
kiện bờ là các giá trò
E
ϕ
tại bờ phân chia hai môi trường chất khác nhau.
Có các loại điều kiện bờ như sau:
• Điều kiện bờ Dirichlet: cho trước giá trò )S(
E
ϕ
trên bờ S;
• Điều kiện bờ Neumann: cho giá trò đạo hàm
(
)
nS
E
∂
ϕ
∂
(đạo hàm

• Điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt S ngăn cách giữa hai môi trường bao
gồm:
)S()S(
2E1E
ϕ
=
ϕ
và quy luật chuyển tiếp của
)S(E,E,n
nE τ
∂
ϕ
∂
.
Ta xét một vài ví dụ các loại bờ thường gặp trong kỹ thuật.
1. Vật dẫn (môi trường 1) – Điện môi (môi trường 2)
Hệ phương trình Maxwell trên bờ S:

0
Erot
=
r

)n(Ddiv
S
δ⋅σ=ρ=
r
, trong đó
(
)

, suy ra điều kiện
bờ:
n22n11n2n121
EE;DD;EE
ε
=
ε
=
=
ττ
.

Ví dụ:
1. Tụ điện phẳng có bề dày d đặt dưới một điện áp u (hình 2.5). Cho
0)0(
E
=
ϕ
; u)d(
E
=
ϕ
. Tìm hàm
E
ϕ
và
E
r
.
♦ Theo phương trình Laplace (cho vùng không có phân bố điện tích tự

ϕ
chỉ phụ thuộc vào tọa độ x:
⇒
0
x
2
E
2
=
∂
ϕ∂
.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên có dạng:

21E
CxC
+
=
ϕ
.
Để xác đònh các hằng số
21
C,C ta dùng các điều kiện bờ:

0C
2
0x
E
==ϕ
=

x
E
E
i
d
u
i
z
i
y
i
x
gradE
rrrr
r
−=








∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+

Hình 2.5

2. Giải bài toán trên, giả sử có tồn tại điện tích giữa hai bản tụ điện với mật
độ
ρ
.
♦ Vì giữa hai bản tụ điện có phân bố điện tích tự do với mật độ khối
ρ
, ta
có phương trình với ẩn
E
ϕ
:
ε
ρ
−
=
ϕ
∆
/
E

⇒

ε
ρ
−=
∂
ϕ∂
2

=++⋅
ε
ρ
−=ϕ
⇒
0C;
2
d
d
u
C
21
=
ε
ρ
+= ;
⇒
x
2
d
d
u
2
x
2
E














ε
ρ
+−
ε
ρ
=⋅
∂
ϕ∂
−=ϕ−= . ♦

II.1.3 Điện dungII.1.3 Điện dung
Xét một môi trường có độ thẩm điện là ε, độ dẫn điện là σ trong trường
điện tónh. Nếu trong trường này có các điện tích chuyển động thì sẽ hình thành
dòng điện có mật độ
J
r
. Ta có:
EJ
r
r
σ

ε
ρ
=
ε
= Ddiv
1
Ediv
r
r
. Suy ra:

22
0
t
=ρ
ε
σ
+
∂
ρ∂
⇒
( )
σε
−
ρ=ρ
/
t
0
e .
Nếu môi trường là vật dẫn thì ε << σ, tức ε / σ → 0. Vậy trong một thời điểm

điện trong vật dẫn bằng 0.
Bây giờ ta hãy xét một hệ gồm hai vật thể dẫn điện hình dạng bất kỳ, ở
giữà là một điện môi, cả hệ thống tạo thành một tụ điện. Nếu ta nối hai vật thể
với nguồn một chiều, các điện tích dương và âm tập trung trên bề mặt của các
vật thể: vật thể nối với cực dương của nguồn tích điện dương +Q và vật thể nối
với cực âm của nguồn tích điện âm -Q. Và bề mặt vật dẫn luôn là mặt đẳng
thế. Ta đònh nghóa khái niệm điện dung như sau:

u
Q
C =






V
C
hay [F],
trong đó u là điện thế giữa hai vật thể dẫn điện và Q là giá trò điện tích trên
chúng. Các đường sức trường điện của tụ điện trên trong không gian được mô
tả trên hình 2.2. Vector
E
r
luôn luôn vuông góc với bề mặt vật dẫn và có giá trò
trên bề mặt là:

ε
σ

P
21
dEuu l
r
, trong đó các điểm
1
P và
2
P nằm trên hai vật dẫn
khác nhau.

23

Hình 2.2
Vậy điện dung được tính như sau:

∫
∫
⋅
⋅ε
=
L
S
dE
dSE
C
l
r
r
.

σ
ε
=
rC .
Ta có thể mở rộng khái niệm điện dung cho một hệ thống vật dẫn. Cho
một hệ vật dẫn đánh số 1, 2, 3, …, n mang điện tích
n321
q, ,q,q,q (hình 2.3).
Gọi thế trên các mặt vật dẫn tương ứng là
En3E2E1E
, ,,,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
. Ta sẽ chứng
minh rằng trong môi trường tuyến tính ta có mối quan hệ như sau:

nnn22n11nEn
nn1212111
1
E
q qq

q qq
α++α+α=ϕ
α
+
+
α

n1E13E12E11E
, ,,,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
là
các thành phần của
1E
ϕ
ứng với từng điện
tích trên mỗi vật dẫn khi các vật dẫn khác
không mang điện. Theo trường hợp trên
với hệ hai vật dẫn, ta suy ra mỗi
i1E
ϕ
phải
tỉ lệ với
i
q , tức
ii1i1E
q
α
=
ϕ
. Vậy ta có
điều phải chứng minh.

0=ϕ
1

ϕ
và các điện tích
n321
q, ,q,q,q cũng có thể viết như sau:

Ennn2E2n1E1nn
Enn12E121E111
q

q
ϕβ++ϕβ+ϕβ=
ϕ
β
+
+
ϕ
β
+
ϕ
β
=

Các hệ số
kl
β
bằng lượng điện tích nạp được lên vật dẫn l khi điện thế của
vật k là 1V, còn điện thế của các vật còn lại bằng 0 (nối đất). Tương tự như
trên, nếu môi trường tuyến tính thì
ll kk
β

=

k
k
u
q
C
l
l
l
∂
∂
= là điện tích nạp lên vật dẫn l khi đặt một điện áp giữa vật l và
vật k trong khi các vật dẫn khác, kể cả vật l đều nối đất.
k
C
l
là điện dung bộ
phận giữa vật l và vật k. Ta có thể kiểm tra trường hợp tụ điện gồm hai vật
dẫn cách nhau bởi môi trường điện môi, điện dung bộ phận
12
C khi đó chính là
điện dung của tụ điện.

II.1.4 Trường từ tónh và từ thế vô hướngII.1.4 Trường từ tónh và từ thế vô hướng
Như ta đã biết, hệ phương trình Maxwell đối với trường từ tónh có dạng:


liên hệ với vector cường độ từ trường bởi biểu thức:

M
gradH ϕ−=
r
.

25
N
S
H
r

Hình 2.4

Vậy trường điện từ tónh có phân bố năng
lượng từ trong không gian. Với môi trường tuyến
tính, đồng nhất, đẳng hướng
const
=
µ
, ta có:
0graddivHdivBdiv
M
=ϕµ−=µ=
r
r

ta suy ra phương trình Laplace cho từ thế vô hướng:
0

E

với điều kiện bờ:
{
}
0
S
2E1E
=
ϕ
−
ϕSn2n1
DD
σ
=
−
tức
S
2E
2
1E
1
n
n
σ=
∂
ϕ

hoặc qua trục hình trụ (điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện
đều đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm, một trục
mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, v.v …).

A. Điện trường của quả cầu mang điện đều

Gọi điện tích của quả cầu là q. Để tìm sự phân bố trường của quả cầu ta
dùng đònh luật Gauss:
qdSD
S
=
∫
r

Ở đây D,E
r
r
chỉ có thành phần xuyên tâm (//
n
i
r
). Chọn mặt S là mặt cầu
đồng tâm với quả cầu và có bán kính r, ta có:

26
qDr4SDdSDdSD
2
SS
=⋅π=⋅==
∫∫

=⋅
ε
=⋅=
Chọn mốc tính thể tích ở xa vô cùng, ta có:
dr
r4
q
drE)r(
r
2
r
rE
∫∫
∞∞
πε
−=−=ϕ
const
=
ε
:
r
4
q
)r(
E
πε
=ϕ , trong đó ρπ=
3
R
3


⇒

l
r
2
q
D
r
π
=

Hình 2.6
Gọi λ là mật độ điện tích dài của dây, ta có
l
⋅
λ
=
q

⇒

r
2
D
r
π
λ
= . Vậy ta tìm được các vector
D

, ta có

dr
r2
drE)r(
r
r
r
r
rE
00
∫∫
π
ελ
−=−=ϕ ;
0
r là bán kính
thiết diện một mặt trụ nào đó đồng tâm với dây
dẫn mà ta chọn thế trên đó bằng 0. Suy ra:

r
r
ln
2
)r(
0
E
⋅
πε
λ