Download Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình mũ, logarit miễn phí



DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
●Nhẩm nghiệm và sửdụng tính đơn điệu đểchứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sửdụng công cụ đạo hàm)
●Ta thường sửdụng các tính chất sau:
Tính chất 1:Nếu hàm sốf tăng ( hay giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 :Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Tính chất 3 : định lí Rôn:Nếu hàm số y = f( x) lồi hay lõm trên khoảng ( a; b ) thì
phương trình f( x ) = 0 có không qua hai nghiệm thuộc khoảng ( a; b )


/tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-33364/
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  ⇔ − + − =   
Ta có ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥  và ( ) ( )
y
y 2
2
2 1
2 cos xy 0
cos xy 1
 ≥  ⇒ − ≥  ≤
Do ñó ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  − + − ≥   
Vậy phương trình
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
sinx sinx
y y2 2
2 cos xy 0 2 cos xy 1
2 cos xy 0 2 cos xy 0 2
 − = = 
⇔ ⇔ 
− = − =  
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
( ) ( ) ( )
y
22
y 02 1
2 y 0.
cos x.0 1cos xy 1
 == 
⇔ ⇔ ⇔ = 
==  
Thay vào (1) ta ñược x kπ= .
Bài 3. Giải phương trình: ( )
2x 1 3 2x
2
3
82 2
log 4x 4x 4
+ −+ =
− +
.
HD: Ta có ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥
Suy ra ( )23
8 8
log 4x 4x 4
≤
− +
(1)
Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2)
Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − .
HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = −
( )23 1 log x 1 1 x 1
x
 
⇔ + + = − − + 
 
Ta có
● 3
1 1 1
x 2 x 1 3 log x 1 1
x x x
 
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥ 
 
● ( )21 x 1 1− − + ≤
Vậy phương trình
( )
3
2
1log x 1 1
x
x 1
1 x 1 1
  
+ + = 
 ⇔ ⇔ =

− − + =
.
Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2
2
21 3 x xx x
x
−
+ +
= .
Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8
x 1
 
− + = + 
− 
.
HD: ðiều kiện x 2> .
● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥
● Với x 2> ta có 1 1x 1 1 1 8 9
x 1 x 1
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤
− −
3
1
log 8 2
x 1
 
⇒ + ≤ 
− 
Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − .
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ .
Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − =
Ta có
3
x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do ñó ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = .
Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − .
HD: ðiều kiện 2
x 0
0 x 3
6 x x 0
>
⇔ < ≤
+ − ≥
.
Phương trình ( )( ) ( )22 x log x 5 6 x 1 x 0 *x⇔ − + − + − =
Do ( )2 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5 x log x 5 0≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − <
Khi ñó ( ) ( )2* 6 x 1 x 0x⇔ + − + − = .
Bài 8. Giải phương trình: 2 2sin x cos x x x3 3 2 2 2−+ = + + .
HD: Phương trình
2 2
x -x2 2
sin x 1 sin x 2 2
3 3 2 2 2−⇔ + = + +
( )( )
2
2
2 2
2
x -x2sin x 2 2
2 2
sin x
sin x sin x 2
x -x
2 2
sin x
3 3
4 2 2 2
3
3 1 3 3
2 2
3
+
⇔ − = + −
− −  
⇔ = − 
 
Ta có
22 sin x0 sin x 1 1 3 3≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ñó VT 0 VP≤ ≤ .
Bài 9. Giải phương trình: 3 22log cot x log cos x= .
HD: ðặt 3 22log cot x log cos x t= = , ta có
2 t
t 2 t
t
2 t 2 t 2
t
cos x 4
cos x 2 cos x 4
4
cot x 3 cot x 3 sin x
3
cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = = 
  
= ⇔ = ⇔ =  
  > > > >
  > >

2 t
2 t
t
t
t
cos x 4
cos x 4 1
cos x4
4 1 t 1 23
cos x 0,cot x 0cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = 
= 
⇔ + = ⇔ = − ⇔  
   > >> > > >

π
x k2π
3
⇔ = + .
Tổng quát: Dạng ( ) ( ).log .loga bf x g xα β= ta ñặt ( ) ( ).log .loga bt f x g xα β= =
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 10. Giải phương trình: ( )2 3 22 23x 2x log x 1 log x.− = + −
HD: ðiều kiện x 0> .
ðặt ( ) ( ) ( )2 3 22 2f x 3x 2x , g x log x 1 log x= − = + −
● Ta có ( ) ( ) ( )2 3 2f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1= − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng
biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên ( )1, +∞ . Suy ra trên
( )0,+∞ , ( ) ( )maxf x f 1 1= = hay ( )f x 1, x 0.≤ ∀ >
● Ta có ( ) ( ) 222 2 2 2x 1 1g x log x 1 log x log log x
x x
 +  
= + − = = +   
  
. Với x 0> , ta có
( ) 2 21 1x 2 côsi log x log 2 1.
x x
 
+ ≥ => + ≥ = 
 
Suy ra ( )g x 1, x 0.≥ ∀ >
Vậy phương trình ( )
2 3
2
2 2
3x 2x 1
log x 1 log x 1
 − =
⇔ 
+ − =
Bài 11. Giải phương trình: ( )2 2x 1 x x2 2 x 1 .− −− = −
HD: phương trình ( ) ( )2x 1 x x 2 2 x 1 2 x x− −⇔ + − = + − .
ðặt 2u x 1; v x x.= − = − Khi ñó phương trình có dạng u v2 u 2 v+ = + .
Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + , hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ .
Vậy phương trình ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = .
Bài 12. Giải phương trình: x x x2009 2011 2.2010+ = .
HD: Gọi 0x là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta ñược
( )0 0 0 0 0 0 0x x x x x x x2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *+ = ⇔ − = −
Xét hàm số ( ) ( ) 00 xxF t t t 1= − + . Khi ñó (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010⇔ = .
Vì F(t) liên tục trên [ ]2009, 2010 và có ñạo hàm trong khoảng ( )2009,2010 , do ñó
theo ñịnh lí Lagrange tồn tại ( )c 2009,2010∈ sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) 00 x 1 0x 10
0
x 0F 2010 F 2009
F' c x . c c 1 0
x 12010 2009
−
−
=−  = ⇔ − + = ⇔   =− 
Thử lại 0 0x 0, x 1= = thấy ñúng. Vậy nghiệm của phương trình là 0 0x 0, x 1= = .
Nhận xét: Bài toán tương tự
1) cos x cos x cos x cos x3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx− = ⇔ − = − .
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
2) 3 3log x log x4 2 2x+ = . ðặt u3u log x x 3= ⇒ = . Phương trình u u u 4 2 2.3⇔ + = .
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên ñoạn
[ ];a b và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại một ñiểm ( );c a b∈ sao cho
( ) ( ) ( )' f b f af c
b a
−
=
−
.
Bài 13. Giải phương trình:
2
2
3 2
x x 1log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
= − +
− +
.
HD: ðặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2.− = − +
Phương trình ñã cho trở thành 3 3 3
ulog v u log u log v v u
v
= − ⇔ − = −
3 3 log u u log v v⇔ + = + .
Xét hàm số ( ) 3f t log t t= + . Ta có ' 1f (t) 1 0, t 0t.ln 3= + > ∀ > nên hàm số ñồng biến
khi t 0> . Do ñó phương trình ( ) ( ) f u f v⇔ = suy ra u v= hay v u 0− = tức là
2x 3x 2 0 x 1, x 2− + = ⇔ = = . Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2= = .
Lưu ý: Với phương trình dạng ( )log , 0, 0, 1a u v u u v a
v
= − > > > ta thường biến ñổi
log log log loga a a au v v u u u v v− = − ⇔ + = + . Vì hàm số ( ) logaf t t t= + ñồng biến khi 0t > .
Suy ra u v= .
Bài 14. Giải phương trình: cos x sinx2 2 3+ = .
HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( )1 1t tα α+ − ≤ với [ ]0, 0,1t α> ∈
Từ phương trình suy ra: [ ]s inx, cos x 0,1∈ . Suy ra πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
Theo Becnuli: ( )cosx2 1 2 cos x 1+ − ≤
( )sinx2 1 2 sinx 1+ − ≤
Suy ra ( )cosx sinx2 2 sinx cos x 2+ ≤ + +
Suy ra ( ) ( )cosx sinx2 2 min sinx cos x 2 min s inx cos x 2 + ≤ + + = + + 
Mà: ( )min sinx cos x 1+ = với πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
.
Do ñó cos x sinx2 2 3+ ≤ . Dấu '' ''= xảy ra khi và chi khi
sinx 1
cosx 0
=

=
hay
sinx 0
cosx 1
=

=
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
x k2π
π
x k2π
2
=
⇔
 = +

.
---------- HẾT ----------
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Ta có thể dùng các phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình và sử dụng
các công thức sau
HAØM SOÁ MUÕ
● 0 a 1< <
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(nghịch biến)
● a 1>
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(ñồng biến)
HAØM SOÁ LOGARIT
● ( )alog f x có nghĩa ( )
0 a 1
f x 0
< ≠
⇔ 
>
● ( ) ( ) balog f x b f x a= ⇔ =
● ( ) ( ) ( ) ( )a a f x g xlog f...

---