Download miễn phí Lý thuyết chia hết và chia có dư



Hãy chứng minh đồng dư theo mod m là quan hệ tương đương trong tập số nguyên
Giải
- Tính phản xạ:
a  Z, ta có: a ≡ a (mod m)
Thật vậy: vì a-a=0  m hay a ≡ a (mod m)
- Tính đối xứng:
a, b  Z, nếu a ≡ b(mod m), ta cần chứng minh b ≡ a (mod m)
Thật vậy: vì a ≡ b(mod m)  a-b  m  b-a  m ( vì a,b  Z)
Hay b ≡ a (mod m).
- Tính bắc cầu:
a, b, c  Z nếu a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) ta cần chứng minh a ≡ c (mod m)
Thậy vậy: vì a ≡ b(mod m)  a-b + m (1)
Vì b ≡ c(mod m)  b-c  m (2)
Lấy (1) cộng (2) ta được: a- b+b-c  +m hay a-c + m
Do đó : a ≡ c (mod m)
Vậy có quan hệ tương đương.
 


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-ly_thuyet_chia_het_va_chia_co_du.9XnteoiBHA.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53426/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

CÁC BÀI TẬP
I. QUAN HỆ CHIA HẾT:
1. BÀI 1:
Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
Giải
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1
Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.
+ Với r = 0 thì a = 2.q +2
+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1) + 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
2. BÀI 2:
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.
+ Với r = 0 thì a = 3.q + 3
+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 +3
+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 +3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
3. BÀI 3:
Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
Giải
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)
Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.
+ Với r = 0 thì a = n.q + n
+ Với r = 1 thì a = n.q + 1 , n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n + n
+ Với r = 2 thì a = n.q + 2 , n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n + n
+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 ,n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n + n
Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
*Một số phương pháp chứng minh chia hết
4. BÀI 4
Tính chất 8:
CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Giải
Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2
Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) + 6
Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1
- A + 2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2
- A + 3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3
Vậy A + 6
5. BÀI 5
CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải
Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2.
Theo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) + 8 hay B = 4k ( k + 1)
Ta có 4 + 4 và k+1 + 2 vì trong B có một số chia hết cho 2
Vậy B + 8
6. BÀI 6
VD : CMR: 11 a + a + 6 " a Î N
Giải
Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a
= 12 a - ( a - a)
= 12 a - a( a - 1)
= 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1)
12 a + 6
A = a ( a -1 ) ( a + 1)
Nếu a = 0 ® A = a( a-1)(a+1) = 0 + 6
Nếu a > 0 ® A = a (a-1)( a+1) + 6 vì trong A có một số tự nhiên chia hết cho 6
Vậy : 11 a + a + 6
Bài 7
Dùng quy nạp CMR tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.
Giải
Tổng các lũy thừa bậc 3 của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng: (n-1) + n + (n+1) + 9
Ta có : (n-1) + n + (n+1) = n - 3n +3n-1+ n + n +3n +3n +1
= 3n + 6n + 9
Giả sử: n = 1, ta có: 3.1 +6.1 = 9 + 9
Giả sử n = k , ta có: 3k +6.k + 9
Ta chứng minh: n = k+1 , ta có: 3(k+1)+6(k+1) = 3(k +3k +3k+1)+6k+6
= 3k +9k +9k+3+6k+6
= 3k +6k + 9k +9k+9
Mà 3k +6k + 9 và 9k +9k+9 + 9
Vậy: 3n + 6n + 9
Theo nguyên lý quy nạp thì (n-1) + n + (n+1) + 9
Bài 8: : CMR " a Î N ta có :
a( a+1) ( 2a + 1) + 6
Giải
a(a+1)( 2a+ 1) + 6
Ta có: a(a+1)( 2a+ 1) = a(a+1)( a -1 + a+ 2) = a(a+1)(a-1) + a(a+1)( a+2)
Nếu a = 0 thì a(a+1)(2a+1) = 0 + 6
Nếu a > 0 thì a( a+1) (a-1) + 6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
a( a+1)( a+2) + 6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Do đó : a(a+1( 2a+1) + 6 " a Î N
Bài 9 CMR " a Î N ta có :
a - a + 30
Giải
Ta có: a ≡ a (mod 5)
a -a ≡ a - a (mod 5)
a - a ≡ 0 (mod 5)
Vậy a - a + 30
Cách 2:
a - a = a( a -1) = a[(a) - 1 ]
= a(a -1)(a +1)
= a(a-1)(a+1)(a -4+5)
= a(a-1)(a+1)[(a -2)(a+2)+5]
= a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thì a - a = 0 + 30
Nếu a>0 thì a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2) + 30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30, ( 5,6)=1
Và : 5a(a-1)(a+1) + 30 vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Vậy a - a + 30
Bài 10 CMR " a Î N ta có :
2a ( a - 16) + 30
Giải
Ta có: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4)
= 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2)
= 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2)
= 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thì 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) + 30
Nếu a>0 thì 10a (a-2)(a+2) + 30 vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30
2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) + 30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
Vậy : 2a ( a - 16) + 30
Bài 11: Chứng minh rằng:
a(a+2) + 8 , với a là số chẵn , a Î N
Giải
Vì a chẵn nên a = 2k ; k Î N
Ta có: a(a+2) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)
+ Nếu k chẵn Þ 4k + 8
+ Nếu k lẻ Þ k+1 là số chẵn
+ Nếu k lẻ Þ 4k(k+1)+ 8
Vậy a(a+2) + 8 , với a là số chẵn , a Î N
Bài 12 CMR: n +11n + 3 "n
Giải
Ta có: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n
= n(n -1)(n+1) +12n + 3
Vì n(n-1)(n+1) là tích ba số tụe nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Vậy: n +11n + 3 "n.
Bài 13: CMR : với bất kỳ n ta có : n - n + 3
Giải
Ta có : n(n -1) = n(n-1)(n+1) + 3 ( vì tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3)
Vậy: n - n + 3 " n.
Bài 14 CMR : [(a +a)(2a+1)] + 6 " a Î N
Giải
Ta có: (a +a)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)]
= [a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2)] + 6
Vì a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: [(a +a)(2a+1)] + 6 " a Î N.
Bài 15 CMR: [a(a -2)+13a]+ 6 " a Î N.
Giải
Ta có: a(a -2)+13a = a(a - 1- 1)+13a
= a(a -1) - a+13a
= a(a -)(a+1) +12a
Vì a(a -)(a+1) +12a là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: [a(a -2)+13a]+ 6 " a Î N.
Bài 16 CMR : [m(m +5) + 6 " mÎ N
Giải
Ta có: m(m +5) = m( m - 1+6)
= m(m-1)(m+1) +6m
Vì m(m-1)(m+1) +6m là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: [m(m +5) + 6 " mÎ N
Bài 17 CMR: ( a +b ) + 6 Û (a+b) + 6 với a,b Î N và a,b ³ 1.
Giải
Xét (a +b )-(a+b) = a +b - a-b
= a - a + b - b = a( a - 1) + b (b -1)
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1)
Vì a(a+1)(a-1) và b(b+1)(b-1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: ( a +b ) + 6 Û (a+b) + 6 với a,b Î N và a,b ³ 1.
*DÙNG QUY TẮC KÉO THEO:
VD : CMR trong ba số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 2
Giải
Giả sử có ba số tự nhiên bất kỳ là: a,b,c
Lấy a,b,c chia cho 2 ta được : a = 2.q + r với 0 £ r < 2
b = 2.q + r với 0 £ r < 2
c = 2.q + r với 0 £ r < 2
Ta nhận thấy : r , r , r đều nhận hai giá trị là 0 và1. Theo nguyên tắc ngăn kéo thì số có 2 số nhận cùng một giá trị . Giả sử r = r = 1 . Khi đó : a - b = 2.q - 2.q + 2 (đpcm) .
VD : CMR trong bốn số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 3 (Tự giải)
VD : CMR trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số cia hết cho n.
Giải
Giả sử n+1 số tự nhiên bất kỳ là: a , a , a …..a .
Lấy a , a , a …..a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0£ r < n
a = n.q + r với 0£ r < n
.
.
a = n. q + r với 0 £ r <n
Ta nhận thấy r , r ….r nhận n giá trị {0,1…n+1} theo nguyên tắc kéo theo thì số có hai số nhận cùng giá trị. Giả sử r = r = n-3. Khi đó :
a - a = n.q - n.q + n (đpcm)
* DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC :
a - b + a-b ; a + b + a+b với n lẻ
------------------------------------------------
II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
1. BÀI 1( Tính chất 5)
Dùng thuật toán Ơclit tìm ( 895, 195)
Giải
Ta có:
895 = 195. 4 + 115
195 = 115. 1 + 80
115 = 80. 1 + 35
80 = 35. 2 + 10
35 = 10. 3 + 5
10 = 5.2 + 0
Vậy ( 895, 195) = 5
2. BÀI 2
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:
a + b = 432 và ( a, b) = 36
giải
-Vì vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b.
- Vì ( a, b) = 36 . Theo tính chất 5. Ta có:
= 1
Đặt a = và b = . Khi đó (a ,b) = 1 (1)
a ≥ b (2)
a + b = + = (a+b) = =12 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta chọn:
Þ
và
Þ
Vậy có các cặp ( 346,36) và (252,180) thõa mãn điều kiện đề bài
BÀI 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:
a x b...

---