Download miễn phí Luận văn Tính chất linh hóa tử của môđun Artin



Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông qua
chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđun
Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđun
hữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [5], [7], [14],.). Đặc biệt là kết quả sau
được R. N. Roberts [14, Định lý 6] chứng minh cho trường hợp vành tựa địa
phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4, Định lý 2.6]
chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ


http://s1.liketly.com/flash/edoc/-images-nopreview.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53364/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

với mỗi số nguyên i, q ∈ SpecR, q ⊆ p mà ta có
qRp ∈ AttRp(H ipRp(Mp)) thì q ∈ AttR(H i+tm (M)).
Kết quả sau đây của Cường-Nhàn cho ta một cận trên của chiều Noether
của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.6. [5, Định lý 3.1, Định lý 3.5] (i) Cho t là một số nguyên dương
và I là một iđêan của R. Giả sử rằng các môđun đối đồng điều địa phương
H iI(M) là Artin, với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó ta có
N-dimR(H
i
I(M)) 6 i,
với mọi i = 0, 1, . . . , t.
(ii) ChoM là môđun hữu hạn sinh với dimM = d và I là iđêan của R sao
cho môđun Artin HdI (M) là khác 0. Khi đó
N-dimR(H
d
I (M)) = d
và do đó, HdI (M) không là hữu hạn sinh nếu d > 0.
Mệnh đề 1.4.7. Cho (R,m) là vành địa phương, M hữu hạn sinh với chiều
dimM = d. Khi đó
AttR(H
d
m(M)) = {p ∈ AssRM | dimR/p = d}.
1.5 Tính catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn và thớ
hình thức
Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dimR/q = dimR, với
mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(AssR) và môđun M được gọi
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com
15
là đẳng chiều nếu dimR/p = dimM với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu
p ∈ min(AssM). Tiết này dành để nhắc lại một số tính chất của lớp vành
và môđun catenary phổ dụng và không trộn lẫn. Trước hết ta nhắc lại một số
khái niệm sau (xem [10] và [12]).
Định nghĩa 1.5.1. Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy các
iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi i,
được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồn tại
một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1.
Định nghĩa 1.5.2. (i) Vành R là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố
p, q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p
và kết thúc tại q đều có cùng độ dài.
(ii) Ta nói rằng SupPhần mềm là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố
p, q ∈ SupPhần mềm sao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố
bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài.
Chú ý rằng nếu vành R là đẳng chiều thì R là catenary nếu và chỉ nếu
dimR/p + ht p = dimR, với mọi iđêan nguyên tố p của R, và rõ ràng
rằng SupPhần mềm là catenary nếu và chỉ nếu R/AnnRM là catenary. Do đó,
trong trường hợp M là đẳng chiều thì SupPhần mềm là catenary nếu và chỉ nếu
dimR/p + dimMp = dimM , với mọi p ∈ SuppM.
Định nghĩa 1.5.3. Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi R-đại số
hữu hạn sinh đều là catenary.
Chú ý rằng nếu S là R-đại số hữu hạn sinh, tức là tồn tại a1, . . . , at ∈ S
sao cho S = R[a1, . . . , at] thì có toàn cấu vành ϕ : R[x1, . . . , xt] −→ S
từ vành đa thức t biến R[x1, . . . , xt] đến S sao cho ϕ(xi) = ai, với mọi
i = 1, . . . , t. Vì thế, S đẳng cấu với vành thương của vành đa thức. Vì vành
thương của vành catenary là vành catenary nên suy ra vành R là catenary phổ
dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức với hệ số trên R đều là catenary.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com
16
Định nghĩa 1.5.4. (Xem [12]) Vành R được gọi là không trộn lẫn (unmixed)
nếu dim(R̂/p̂) = dimR với mọi iđêan nguyên tố p̂ ∈ Ass R̂ và vành R
được gọi là tựa không trộn lẫn (quasi-unmixed) nếu R̂ là đẳng chiều, tức là
dim R̂/p̂ = dim R̂ với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p̂ ∈ Ass R̂.
Sau đây là một số kết quả về mối liên hệ giữa tính catenary phổ dụng và
tựa không trộn lẫn.
Bổ đề 1.5.5. [10, Định lý 31.6] Cho (R,m) là vành Noether địa phương tựa
không trộn lẫn. Khi đó
(i) Rp là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR.
(ii) Cho I là iđêan của R. Khi đó R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là
tựa không trộn lẫn.
(iii) R là vành catenary phổ dụng.
Bổ đề 1.5.6. [10, Định lý 31.7] Các mệnh đề sau là tương đương
(i) Vành R/p là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR, nghĩa là
dim R̂/p̂ = dimR/p, với mọi p̂ ∈ min Ass R̂/pR̂.
(ii) Vành R là catenary phổ dụng.
(iii) Vành R[x] là catenary.
Để đi đến khái niệm vành thớ và thớ hình thức của vành, trước hết ta cần
nhắc lại khái niệm và các kết quả về môđun phẳng như sau.
Một R-môđun N được gọi là phẳng nếu với mỗi dãy khớp 0 −→ L′ −→
L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun, dãy cảm sinh
0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com
17
là khớp. Một R-môđun N được gọi là phẳng hoàn toàn nếu dãy 0 −→
L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun khớp khi và chỉ khi dãy cảm sinh
0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0
là khớp.
Cho ϕ : R −→ S là một đồng cấu vành và L là S-môđun. Khi đó L có
cấu trúc là R-môđun với tích vô hướng được định nghĩa như sau: với r ∈ R
và y ∈ L, ry = ϕ(r)y. Đồng cấu vành ϕ : R −→ S được gọi là đồng cấu
phẳng (phẳng hoàn toàn) nếu vành S (xét như R-môđun) là R-môđun phẳng
(phẳng hoàn toàn).
Chú ý rằng nếu (R,m) và (S, n) là các vành địa phương và ϕ : R −→ S
là các đồng cấu địa phương (tức là ϕ(m) ⊆ n) thì ϕ là đồng cấu phẳng nếu
và chỉ nếu nó phẳng hoàn toàn.
Định nghĩa 1.5.7. Cho ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành Noether địa
phương. Với mỗi p ∈ SpecR, ta gọi vành S ⊗R R/p là vành thớ của ϕ ứng
với p. Giả sử f : R −→ R̂ là đồng cấu chính tắc. Khi đó với mỗi p ∈ SpecR,
tồn tại p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂ ∩ R = p. Đồng cấu f cảm sinh ra đồng cấu
phẳng ψ : Rp −→ R̂p̂. Khi đó vành thớ R̂p̂ ⊗Rp (Rp/pRp) của ψ ứng với p
được gọi là thớ hình thức của R trên p.
Mệnh đề 1.5.8. [10, Định lý 15.1] ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành
Noether và P ∈ SpecS. Đặt p = ϕ−1(P ) := P ∩R. Khi đó
(i) htP 6 ht p + dim
(
SP ⊗Rp (Rp/pRp)
)
.
(ii) Nếu ϕ là đồng cấu phẳng thì bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức.
Chú ý rằng với mỗi iđêan I của R thì đầy đủ của vành R/I là R̂/IR̂. Vì
thế nếu p ∈ SpecR sao cho p ⊇ I thì thớ hình thức của R/I trên p cũng
chính là thớ hình thức của R trên p, với p là ảnh của p trong R/I .
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
www.VNMATH.com
18
Chương 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn của vành địa phương và các
môđun đối đồng điều địa phương
Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa
phương với iđêan tối đại duy nhất là m, A là R-môđun Artin,M là R-môđun
hữu hạn sinh với chiều Krull dimRM = d. Chương này nghiên cứu đưa ra
một đặc trưng của môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính
chất (∗) và trong trường hợp này, như một hệ quả ta có thể mở rộng được
công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Hơn nữa, các
kết quả thu được khi nghiên cứu tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa
phuơng H im(M) còn cho phép ta thu được những tính chất đẹp như là tính
catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính không trộn lẫn của vành
R/p, với p ∈ SuppRM .
2.1 Tính chất linh hoá tử
Tính chất linh hoá tử (thường được gọi là tính chất (∗)) được giới thiệu bởi N.
T. Cường và L. T. Nhàn [5]. Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh
M ta xét một tính chất cơ bản sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
www...

---