Download miễn phí Ôn thi Cao học Toán kinh tế - Phần xác suất



Ví dụ: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm
tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap
dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-18-on_thi_cao_hoc_toan_kinh_te_phan_xac_suat.Hn15RsOgeP.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-55613/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

ät biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.
Nhận xét: Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.
11
Ví dụ: Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi
trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2-i bi trắng có trong 2 bi lấy từ
hộp I.
- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2-j bi trắng có trong 2 bi lấy từ
hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
- A0 , A1 , A2.
- B0 , B1 , B2.
- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2.
- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2.
5.2. Công thức xác suất đầy đủ
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi.
Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:
n
j j
j 1
P(A) P(A )P(A/A )
=
= ∑
5.3. Công thức Bayes:
Với các giả thiết như trong 4.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:
k k k k
k n
j j
j 1
P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A )P(A /A)
P(A)
P(A )P(A/A )
=
= =
∑
Ví dụ. Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản
phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2 sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2
sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm
tốt và 1 sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.
Lời giải.
Gọi
- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
- Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩmxấu có
trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I.
12
Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
.
105
45)(
;
105
50)(
;
105
10)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10
1
2
15
2
5
0
10
0
==
==
==
C
CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP
a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A).
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2).
Ta có:
136
72)/( 2
17
1
9
1
8
0 == C
CCAAP
136
70)/(
136
72)/(
2
17
1
7
1
10
2
2
17
1
8
1
9
1
==
==
C
CC
C
CC
AAP
AAP
Suy ra xác suất của biến cố A là
5231,0
.
136
70.
105
45
136
72.
105
50
136
72.
105
10
)/()()/()()/()()( 221100
=
++=
++= AAPAPAAPAPAAPAPAP
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II. Khi đó
biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện
P(A1/A). Aùp dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a)
ta có
13
0,4819.
0,5231
136
72.
105
50
P(A)
))P(A/AP(A /A)P(A 111 ===
§6. CÔNG THỨC BERNOULLI
6.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả
sử ở mỗi phép thử, biến cố A hay xảy ra với xác suất p không đổi, hay không
xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức
Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
k k n k
n nP (k) p qC −=
6.2. Hệ quả: Với các giả thiết như trên ta có:
- Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào
là qn.
- Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn.
Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho
máy sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Lời giải.
Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5-k) sản phẩm xấu
có trong 5 sản phẩm thu được. Aùp dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6,
q = 0,4 ta có:
kkkknkk
nk CC qpAP −− == 55 )4,0()6,0()(
a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
.3456,0)4,0()6,0()( 23353 ==CAP
b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt
chính là P(A3 + A4 + A5). Ta có:
.68256,0
)6.0()4,0()6,0(3456,0
)()()()(
544
5
543543
=
++=
++=++
C
APAPAPAAAP
14
B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
1.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực
tùy theo kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.
1.2. Phân loại:
a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hay
vô hạn đếm được các giá trị.
Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành công.
Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1;..; n.
b) Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không
đếm được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó
trong tập các số thực.
Ví dụ: Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương. Ta có T là một
đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối:
a) Trường hợp rời rạc:
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần :
x0, x1,…,xn ta lập bảng:
X x0 x1 ……………………….. xn
P p0 p1 …………………………. pn
trong đó:
- pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 0,1, …, n.
-
n
k
k 0
p 1
=
=∑ , nghĩa là p0 + p1 +…+ pn = 1 .
Ví dụ: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm
tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Aùp
dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:
15
.
3
1)2(
;
15
8)1(
;
15
2)0(
2
10
0
4
2
6
2
2
10
1
4
1
6
1
2
10
2
4
0
6
0
====
====
====
C
CC
C
CC
C
CC
XPp
XPp
XPp
Vậy luật phân phối của X là
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
b) Trường hợp liên tục:
Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên,
ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn
hay vô hạn). Còn thay cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ
f(x) thoả các tính chất sau:
- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b].
- ∫ =
b
a
dxxf .1)(
- ∫=≤≤
β
α
βα .)()( dxxfXP
§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode: Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị
x0 của X được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất
trong số các xác suất P(X = x).
- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị
lớn nhất.
Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X
thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.
Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Do đó Mod(X) = 1.
16
2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình).
1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực
được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc có luật phân phối
X x0 x1 ……………………….. xn
P p0 p1 …………………………. pn
thì ∑
=
= n
k
kk pxXM
0
)( , nghĩa là
M(X) = x0p0 + x1p1+…+ xnpn
- Nếu X liên tục với hàm mật độ ...

---