Download miễn phí Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi - Dãy số



5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Chúng tôi lưu ý kí hiệu n là một biến sốnguyên dương, còn n0 là một hằng sốnguyên dương (trừtrường hợp có chú thích cụthể).

Một dãy sốcó giới hạn hữu hạn được gọi là dãy sốhội tụ, nếu nó có giới hạn vô cực hay không có giới hạn thì ta nói nó phân kì.

Khi xét giới hạn của dãy số(un)ta có thểchỉxét các sốhạng của dãy kểtừsốhạng thứ n0 trở đi, tức là việc thay đổi hữu hạn sốhạng đầu tiên của dãy sốkhông làm ảnh hưởng đến tính hội tụ, và không làm ảnh hưởng đến giới hạn (nếu có) của dãy số đó.


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-02-25-chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_day_so.glx4IoSPjW.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-61127/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

hì
n n
n 1 2u A.x B.x .= +

Nếu phương trình trên có hai nghiệm thực trùng nhau 1 2x x= thì
n
n 1u (A nB).x .= +

Nếu phương trình trên có 0∆ < , gọi hai nghiệm phức của nó là 1 2x , x , và biểu diễn hai số phức này ở dạng
lượng giác 1 2x r(cos i.sin ), x r(cos i.sin ),= ϕ + ϕ = ϕ − ϕ với r, ϕ là các số thực, r là môñun của 1x và 2x ,
[ )0;2 ,ϕ∈ pi i là ñơn vị ảo, thì nnu r (A.cos n B.sinn ).= ϕ + ϕ (Ở ñó các hằng số A, B ñược xác ñịnh nhờ 1 2u , u )
b) Xét dãy số (un) cho bởi 1 2 3 n 3 n 2 n 1 nu ,u ,u ,u a.u b.u c.u , n * (a,b,c const) + + += + + ∀ ∈ =ℕ có phương trình ñặc
trưng 3 2x ax bx c 0.− − − =

Nếu phương trình trên có ba nghiệm thực phân biệt 1 2 3x , x , x thì
n n n
n 1 2 3u A.x B.x C.x .= + +

Nếu phương trình trên có ba nghiệm thực 1 2 3x , x , x mà 1 2 3x x x≠ = thì
n n
n 1 2u A.x (B nC).x .= + +

Nếu phương trình trên có ba nghiệm thực 1 2 3x , x , x và 1 2 3x x x= = thì
2 n
n 1u (A nB n C).x .= + +

Nếu phương trình trên có ba nghiệm 1 2 3x , x , x trong ñó 1x là nghiệm thực, còn hai nghiệm
2x r(cos i.sin ),= ϕ + ϕ 3x r(cos i.sin )= ϕ − ϕ là hai nghiệm phức (không phải là số thực) thì
n n
n 1u A.x r (B.cos n C.sinn ).= + ϕ + ϕ (Ở ñó các hằng số A, B, C ñược xác ñịnh nhờ 1 2 3u , u ,u )
VD1. Cho dãy số n(u ) xác ñịnh bởi 1 2 n 2 n 1 nu 1,u 0, u u u , n *.+ += = = − ∀ ∈ℕ Chứng minh n(u ) bị chặn.
HD. Phương trình ñặc trưng của dãy số ñã đánh giá là 2x x 1 0− + = có hai nghiệm phức 1x cos i.sin ,3 3
pi pi
= +
2x cos i.sin ,3 3
pi pi
= − nên nn
n n
u 1 (A.cos B.sin ), n *.
3 3
pi pi
= + ∀ ∈ℕ Do 1 2u 1,u 0,= = nên ta có
1
2
A B 3 A 11 A.cos B.sin ( u ) 1
3 3 2 2
.32 2 BA B 30 A.cos B.sin ( u ) 0 33 3 2 2
pi pi
== + = + =  
⇔ ⇔  
pi pi =  
= + =
− + =   
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN
[email protected]
www.VNMATH.com
Suy ra n
n 3 n
u cos .sin , n *.
3 3 3
pi pi
= + ∀ ∈ℕ Vậy 2 2n
n 3 n 3 2
u cos .sin 1 ( ) , n *,
3 3 3 3 3
pi pi
= + ≤ + = ∀ ∈ℕ hay
n(u ) là dãy bị chặn.
VD2. Cho n(u ) có 1 2 3 n 3 n 2 n 1 nu 0,u 16,u 47,u 7u 11u 5u , n *.+ + += = = = − + ∀ ∈ℕ Tìm dư khi chia 2011u cho 2011.
HD. Phương trình ñặc trưng 3 2x 7x 11x 5 0− + − = có 3 nghiệm thực 1x 5= (nghiệm ñơn), 2 3x x 1= = (nghiệm
kép) do ñó n nnu A.5 (B nC).1 , n *.= + + ∀ ∈ℕ Vì 1 2 3u 0,u 16,u 47= = = nên
1A ,B 13,C 12.
5
= = − = Suy ra
n 1
nu 5 12n 13, n *.
−
= + − ∀ ∈ℕ Từ ñó 20102011u 5 12.2011 13.= + − Theo ñịnh lí Phécma thì
20105 1 2011− ⋮ (ñịnh
lí Phécma: Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên và (a, p) = 1, thì p 1a 1 (mod p)). − ≡ Vậy 2011u chia cho 2011 dư
12− (hay dư 1999).
VD3. Cho hai dãy số n n(x ), (y ) thoả mãn 1 1 n 1 n n n 1 n nx y 1, x 4x 2y , y x y , n *.+ += = = − = + ∀ ∈ℕ Xác ñịnh công
thức của n nx , y .
HD. Ta có n 2 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n 1 n n 1 nx 4x 2y 4x 2(x y ) 4x 2x 2y 4x 2x x 4x+ + + + + + += − = − + = − − = − + − hay
n 2 n 1 nx 5x 6x ( n *). + += − ∀ ∈ℕ Dãy n(u ) có phương trình ñặc trưng 2x 5x 6 0 x 2− + = ⇔ = hay x = 3. Suy ra
n n
nx A.2 B.3 , n *.= + ∀ ∈ℕ Mà 1 2 1 1x 1, x 4x 2y 2,= = − = nên
1A , B 0,
2
= = và ta có n 1nx 2 , n *.
−
= ∀ ∈ℕ Từ
ñó và n 1n 1 n n nx 4x 2y y 2 .
−
+ = − ⇒ = Vậy
n 1
n nx y 2 , n *.
−
= = ∀ ∈ℕ
3.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ
VD4. Cho dãy số n 1 2 n 2 n 1 n(u ) : u 1,u 2,u 2.u u 1, n *.+ += = = − + ∀ ∈ℕ ðặt n n 1 nv u u .+= − Chứng minh n(v ) là
cấp số cộng và tìm nu .
HD. a) Ta có 1 2 1v u u 1.= − = Và n 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 nu 2.u u 1, n * u u u u 1, n *+ + + + += − + ∀ ∈ ⇔ − = − + ∀ ∈ℕ ℕ
n 1 nv v 1, n *.+⇔ = + ∀ ∈ℕ Vậy n(v ) là cấp số cộng với số hạng ñầu tiên 1v 1,= công sai d = 1.
b) Từ câu a ta có n 1v v (n 1).d 1 (n 1).1 n,= + − = + − = hay n 1 nu u n, n *.+ − = ∀ ∈ℕ Suy ra n n n 1 n 1 n 2u (u u ) (u u )− − −= − + − +
2
2 1 1
(n 1).n n n
... (u u ) u [(n 1) (n 2) ... 2 1] 1 1 1, n *.
2 2 2
−
+ + − + = − + − + + + + = + = − + ∀ ∈ℕ
VD5. Cho dãy số n 1 2 n 2 n 1 n
2 1(u ) : u 0, u 1,u .u u , n *.
3 3+ +
= = = + ∀ ∈ℕ ðặt n n 1 nv u u .+= − Chứng minh n(v ) là
cấp số nhân và tìm nu .
HD. Ta có 1 2 1v u u 1.= − = Và n 2 n 1 n n 2 n 1 n
2 1
u .u u , n * 3u 2u u , n *
3 3+ + + +
= + ∀ ∈ ⇔ = + ∀ ∈ ⇔ℕ ℕ
n 2 n 1 n 1 n3(u u ) (u u ), n *+ + +− = − − ∀ ∈ℕ n 1 n
1
v v , n *.
3+
−
⇔ = ∀ ∈ℕ Vậy n(v ) là cấp số nhân với số hạng ñầu tiên
1v 1,= công bội
1q .
3
= −
Ta có n 1 n 1n 1
1
v v .q ( ) ,
3
− −
= = − n *.∀ ∈ℕ Suy ra n n n 1 n 1 n 2 2 1 1 n 1 n 2u (u u ) (u u ) ... (u u ) u v v− − − − −= − + − ++ + − + = + +
n 1
2 n 2
2 1 1 n
11 ( )1 1 1 3 93
... v v u 0 1 ( ) ( ) ... ( ) 1. , n *.13 3 3 4 4.( 3)1 ( )
3
−
−
− −
+ + + + = + + − + − + + − = = + ∀ ∈
−
− −
ℕ
VD6. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( nu ) có 1 1, . , *,+= = + + ∀ ∈ℕnnu c u q u an d n ở ñó a, c, d, q là hằng số.
[email protected]
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN
www.VNMATH.com
HD. Với q = 1 thì 1 , *nnu u an d n+ = + + ∀ ∈ℕ . Ta nhận thấy 2 1 3 2u u a d,u u 2a d,...,= + + = + +
n 1 n 2 n n 1 2 3 n 1 n 1 2 n 2 n 1
n 1 n
... ...
n(n 1) n(n 1)
a(1 2 ... (n 2) (n 1)) (n 1)d a (n 1)d c a (n 1)d, (n *).
2 2
u u (n 2)a d,u u (n 1)a d u u u u u u u u
u u u
− − − − − −
⇒ + + + + = + + + + +
− −
+ + + + − + − + − = + + − ⇒ = + + − ∈
= + − + = + − +
⇒ ℕ
Khi q ≠ 1, ta sẽ xét một dãy phụ ( nv ) thỏa mãn , *,n nu v bn e n= + + ∈ℕ ở ñó b, e là những hằng số, và ta cố
gắng chọn b, e thích hợp ñể ( nv ) là cấp số nhân. Từ ñẳng thức truy hồi ban ñầu ta có
1 ( ) ( ), *,+ = + + − + + − − ∈ℕn nv qv qb a b n qe d b e n và dễ thấy ñể ( nv ) là cấp số nhân thì cần có
qb a b+ − = qe d b e+ − − = 0 2 ,(q 1),1 ( 1)
a d a qdb e
q q
≠
− −
⇔ = =
−
−
. Lúc này (với b, e như trên) do 1n nv qv+ =
nên ( nv ) là cấp số nhân có công bội q. Suy ra nv = 1 1. nqv − = 11 2( ).( 1)
naq dq du q
q
−
+ −
+
−
, từ ñó ta tính ñược số hạng
tổng quát của ( nu ) là 11 2 2
.( ). 1 ( 1)( 1)
n
n
aq dq d d a qda n
u u q q qq
−
=
+ − − −
+ + +
−
−
−
(n ≥ 2).
Vậy, số hạng tổng quát của ( nu ) ñã đánh giá là :
1
2 2
( 1) ( 1) , 1
2
, 1.( ). 1 ( 1)( 1)
−
−
+ + − =
= 
 ≠

+ − − −+ + +
−
−
−
n
n
n n
c a n d khi q
khi q
u
aq dq d d a qda n
c q q qq
.
BÀI TẬP
3) Cho n(u ) : n1 n 1
n
3 2u
u 0,u , n *.
4 u+
+
= = ∀ ∈
+
ℕ ðặt nn
n
u 1
v .
u 3
−
=
+
Chứng minh n(v ) là cấp số nhân và tìm nu .
4) Cho n(u ) : n1 n 1
(n 1)u1
u , u , n *.
3 3n+
+
= = ∀ ∈ℕ ðặt nn
u
v .
n
= Chứng minh n(v ) là cấp số nhân và tìm nu .
5) Cho n(u ) : n1 n 1 nu 1, u u 2.(1 3 ), n *. += = + + ∀ ∈ℕ ðặt nn nv u 3 .= − Chứng minh dãy số n(v ) là cấp số
cộng và tìm nu .
6) Nêu cách xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số ( nu ) cho bởi 1 ,u c= 1 ( ) . , *nn P nu q u n+ = + ∀ ∈ℕ , ở ñó c, q
là các hằng số, còn P(n) là một ña thức bậc k cho trước.
3.5. TUYẾN TÍNH HOÁ MỘT SỐ DÃY PHI TUYẾN
a) Với dãy số n(x ) cho bởi n1 n 1
n
px q
x a, x , n *,
rx s
+
+
= = ∀ ∈
+
ℕ và a, p, q, r, s là các hằng số, ta xét hai dãy n(u ),
n(v ) thoả mãn 1 1 n 1 n n n 1 n nu a, v 1, u pu qv , v ru sv , n *,+ += = = + = + ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Từ ñó tìm ra n n nu , v , x .
b) Với dãy số n(x ) cho bởi
2
n
1 n 1
n
x d
x a, x , n *,
2x+
+
= = ∀ ∈ℕ và a, d là các hằng số, d 0,≠ ta xét hai dãy n(u ),
n(v ) thoả mãn 2 21 1 n 1 n n n 1 n nu a, v 1, u u dv , v 2u v , n *,+ += = = + = ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Từ ñó tìm ra n n nu , v , x .
VD7. Cho dãy n(x ) có n1 n 1
n
x
x 1, x , n *,
2 x+
= = ∀ ∈
+
ℕ tìm nx và chứng minh n
1
x , n 2.
n
< ∀ ≥
HD. Xét ha...

---