Download miễn phí Bài giảng môn Đại số tuyến tính



Ví dụ: 1)Tập hợp tất cả các véc tơ tự do trong không gian ba chiều với phép cộng
và phép nhân véc tơ với một số thực được định nghĩa như trong giáo trình hình học
giải tích ở phổ thông(cộng các véc tơ theo quy tắc hình bình hành, nhân một véc tơ
với một số thựcαlà một véc tơ mà độ dài của nó bằng độ dài của véc tơ đã cho nhân
với|α|)


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-03-03-bai_giang_mon_dai_so_tuyen_tinh.eKPU5ckse4.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-61511/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

b ta định nghĩa a− b = a+ (−b).
Bài 2: cơ sở và số chiều của không gian véc tơ
I. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ.
Ta xét không gian véc tơ V và hệ véc tơ a1, a2, ..., an ∈ V
1.1 Định nghĩa: Một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ a1, a2, ..., an là một tổng có
dạng
x = α1a1 + α2a2 + ...+ αnan ∈ V (1),
trong đó α1, α2, ..., αn ∈ K là các số tùy ý. Khi đó ta nói véc tơ x được biểu thị tuyến
tính qua hệ véc tơ a1, a2, ..., an.
1.2 Định nghĩa: Hệ véc tơ a1, a2, ..., an được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn
tại các số α1, α2, ..., αn ∈ K không đồng thời bằng không sao cho tổ hợp tuyến tính
(1) bằng θ. Tức là ta có
α1a1 + α2a2 + ...+ αnan = θ (2)
Hệ véc tơ a1, a2, ..., an không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
Như vậy hệ véc tơ a1, a2, ..., an độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (2) chỉ xảy ra khi
α1 = α2 = ... = αn = 0.
1.3 Định lý: Hệ véc tơ a1, a2, ..., an trong không gian véc tơ V phụ thuộc tuyến tính
khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại.
Hệ quả: Cho hệ véc tơ a1, a2, ..., an trong không gian véc tơ V .
a) Nếu trong các véc tơ đó có một véc tơ không thì hẹ là phụ thuộc tuyến tính.
b) Nếu có một bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
c) Nếu hệ a1, a2, ..., an độc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó cũng độc lập tuyến
tính.
26
Ví dụ: Xét không gian véc tơ R3 và hệ ba véc tơ
a1 = (1, 2, 2); a2 = (1, 3,−1), a3 = (1, 1, 5).
Hệ ba véc tơ này phụ thuộc tuyến tính vì a3 = 2a1 − a2. Hệ con gồm hai véc tơ a1, a2
độc lập tuyến tính.
II. Cơ sở và tọa độ.
2.1 Định nghĩa: Hệ véc tơ E = {e1, e2, ..., en} của không gian véc tơ V được gọi là
cơ sở của V nếu
a) Hệ véc tơ E độc lập tuyến tính,
b) Hệ véc tơ E là hệ sinh của V . Nghĩa là với mọi véc tơ x ∈ V, tồn tại các số
x1, x2, ..., xn sao cho
x = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen. (3)
Nếu E là cơ sở của V thì bộ số x1, x2, ..., xn tồn tại duy nhất và được gọi là tọa độ
của véc tơ x đối với cơ sở E. Thật vậy
Nếu (x′1, x2, ..., x
′
n) cũng là tọa độ của x thì
x = x′1e1 + x
′
2e2 + ...+ x
′
nen
= x1e1 + x2e2 + ...+ xnen
Suy ra
(x′1 − x1)e1 + (x′2 − x2)e2 + ....+ (x′n − xn)en = 0.
Vì hệ E là cơ sở của V nên hệ e1, e2, ..., en độc lập tuyến tính và do đó
x′1 = x1;x
′
2 = x2; ...;x
′
n = xn.
2.2 Định lý: Nếu (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) tương ứng là tọa độ của các véc tơ
x, y đối với cơ sở E = {e1, e2, ..., en} và α ∈ K thì
(x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
,
(αx1, αx2, ..., αxn)
tương ứng là tọa độ của véc tơ x + y, αx đối với cơ sở E.
2.3 Định nghĩa: Trong không gian véc tơ V cho hệ véc tơ a1, a2, ..., am. (4)
Giả sử không gian véc tơ V có cơ sở E = {e1, e2, ..., en}. Biểu diễn mỗi véc tơ ai, i =
1, 2, ...,m theo cơ sở E, giả sử ta có
ai = ai1e1 + ai2e2 + ...+ ainen, i = 1, 2, ..., n.
Ma trận
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . ann
...
...
...
am1 am2 . . . amn

27
được gọi là ma trận tọa độ của hệ véc tơ a1, a2, ..., am đối với cơ sở E.
Ta có kết quả sau đây.
2.4 Định lý: Hệ véc tơ (5) độc lập tuyến tính khi các hàng của A độc lập tuyến tính.
2.5 Định nghĩa: Số r được gọi là hạng của hệ véc tơ (4) nếu hai điều kiện sau đây
được thỏa mãn
a) Có r véc tơ ai1, ai2, ..., air của hệ (4) độc lập tuyến tính.
b) Mọi véc tơ của hệ (4) đều được biểu thì tuyến tính qua hệ ai1, ai2, ..., air.
Ta có kết quả
2.6 Định lý: Nếu V là không gian véc tơ có một cơ sở hữu hạn thì hạng của một hệ
véc tơ trong V bằng hạng của ma trận của nó đối với một cơ sở hữu hạn bất kỳ của
V .
2.7 Định lý: Nếu trong khong gian véc tơ V có một cơ sở gồm n véc tơ thì mọi hệ
gồm n + 1 véc tơ trong V đều phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử trong V có cơ sở E = {e1, e2, ..., en}. Ta cho hệ véc tơ
a1, a2, ..., an, an+1 ∈ V (5).
Giả sử ma trận của hệ (5) đối với cơ sở E là
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . ann
...
...
...
an1 am2 . . . ann
a(n+1)1 a(n+1)2 . . . a(n+1)n

Ma trận A có n cột nên cấp của định thức con cơ sở của A không vượt quá n. Do đó
(n+1) hàng của A phụ thuộc tuyến tính. Suy ra hệ véc tơ (5) phụ thuộc tuyến tính.
2.8 Hệ quả: Nếu không gian véc tơ V có một cơ sở gồm n véc tơ thì số véc tơ trong
một cơ sở bất kỳ của V cũng bằng n.
Chứng minh: Giả sử V có cơ sở
E = {e1, e2, ..., en} và E′ = {e′1, e′2, ..., e′m}.
Vì E là cơ sở của V và e′1, e
′
2, ..., e
′
m độc lập tuyến tính nên theo Định lý 2.6 trên ta
có m 6 n. Tương tự n 6 m. Suy ra m = n.
2.9 Định nghĩa: Không gian véc tơ V được gọi là không gian hữu hạn chiều nếu
tồn tại một cở sở trong V gồm một số hữu hạn véc tơ. Số véc tơ trong một cơ sở của
V được gọi là số chiều của V .
2.10 Định nghĩa: Không gian véc tơ V được gọi là vô hạn chiều nếu với mọi số
nguyên dương n tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính. Khi đó ta ký hiệu dimV = +∞.
2.11 Định lý: Nếu V là không gian véc tơ n chiều thì mọi hệ gồm n véc tơ độc lập
tuyến tính đều là cơ sở của V .
Chứng minh: Giả sử dimV = n,E = {e1, e2, ..., en} là hệ véc tơ độc lập tuyến tính
trong V và x ∈ V . Vì số chiều của V là n nên V có một cơ sở gồm n véc tơ, do đó
theo Định lý 2.6, hệ véc tơ x, e1, e2, ..., en phụ thuộc tuyến tính. Như vậy tồn tại các
số α0, α1, ..., αn không đồng thời bằng không sao cho
α0x + α1e1 + ...+ αnen = θ. (6)
Vì e1, e2, ..., en độc lập tuyến tính nên α0 6= 0(?). Suy ra
x = −α1
α0
− α2
α0
− ....− αn
α0
.
28
Như vậy x được biểu thị tuyến tính qua các véc tơ của hệ E. Do đó E là cơ sở của V .
III. Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ.
Cho V là không gian véc tơ n chiều và E = {e1, e2, .., en} và E′ = {e′1, e′2, ..., e′n} là
các cơ sở của nó. Biểu diễn các phàn tử e′1, e
′
2, ..., e
′
n qua cơ sở E ta có
e′1 = a11e1 + a21e2 + ...+ an1en
e′2 = a12e1 + a22e2 + ...+ an2en
...
e′n = a1ne1 + a2ne2 + ....+ annen
Khi đó ma trận
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . ann
...
...
...
an1 an2 . . . ann

được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở E sang E′. Vì hệ véc tơ e′1, e
′
2, ..., e
′
n độc lập
tuyến tính nên từ Định lý 2.3 suy ra rằng định thức |A| 6= 0. Do đó có ma trận nghịch
đảo A−1 được xác định bởi
A′ =
1
|A|

A11 A21 . . . An1
A12 a22 . . . an2
...
...
...
A1n A2n . . . Ann

trong đó Aij là phần phụ đại số của aij trong định thức |A|. Ta có thể chứng minh
được A′ là ma trận chuyển từ cơ sở E′ sang cơ sở E (BT).
Cho x ∈ V , gọi (x1, x2, ..., xn) và (x′1, x′2, ..., x′n) lần lượt là tọa độ của x đối với các cơ
sở E và E′. Tức là
x = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen
= x1e
′
1 + x
′
2e
′
2 + ...+ xne
′
n
=
n∑
j=1
x′j
n∑
i=1
aijei
=
n∑
i=1
(
n∑
j=1
aijx
′
j)ei
= (
n∑
j=1
aijx
′
j)e1 + (
n∑
j=1
aijx
′
j)e2 + ...+ (
n∑
j=1
aijx
′
j)en
Từ đây suy ra 
x1 = a11x
′
1 + a12x
′
2 + ...+ a1nx
′
n
x2 = a21x
′
1 + a22x
′
2 + ...+ a2nx
′
n
...
xn = an1x
′
1 + an2x
′
2 + ...+ annx
′
n
(7)
29
Viết dưới dạng ma trận ta có
[x] = A[x′]
trong đó [x] và [x′] là các ma trận cột
[x] =

x1
x2
...
xn
 ; [x′] =

x′1
x′2
...
x′n
...

---