Download miễn phí Bài tập phương pháp toán lý



3. Một thanh đồng chất có độdài l, mút x = 0 được giữ ởnhiệt độkhông,
còn tại mút x= lcó sựtrao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ởnhiệt độ
không. Tìm phân bốnhiệt độtrong thanh ởthời điểm t> 0 biết rằng nhiệt độ
ban đầu trong thanh được cho bởi


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-03-03-bai_tap_phuong_phap_toan_ly.K3k8twDky8.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-61860/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 1 Ngày 21-02-2012
Bài tập
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Phương trình truyền sóng
1. Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không,
còn độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







>
≤<−
≤<−
≤
=
3 0
32 3
21 1
1 0
0,
xkhi
xkhix
xkhix
xkhi
xu
tại các thời điểm 00 =t , 2
1
1 =t , 12 =t , 5,23 =t . Xét dao động tại các điểm
0=x , 2=x , 1=x , 1−=x ( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận
tốc truyền sóng 2=a .
2. Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết
rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )







+∞≤≤
≤≤−
≤≤
=
x
lxl
lx
xu
l2 0
2 xsin
0 0
0,
nÕu
nÕu
l
nÕu
pi
tại các thời điểm t bằng
a
l
4
,
a
l
,
a
l
4
5
,
a
l
2
3
,
a
l
4
7
,
a
l
4
9
.
3. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x ,
lx = , biết độ lệch ban đầu được cho bởi:
( ) ( )240, l
xlx
xu
−
= ( lx ≤≤0 ),
còn vận tốc ban đầu bằng không.
Đáp số:
( ) ( )
( ) ( )
l
atn
l
xn
n
txu
n
pipi
pi
12
cos
12
sin
12
132
,
0
33
++
+
= ∑
∞
=
.
4. Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút 0=x ,
lx = , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi:
( ) ( )






>
<
=
∂
∂
2
c-x 0
2
c-x c-xcos0, 0
pi
pi
nÕu
nÕuv
t
xu
,
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 2 Ngày 21-02-2012
trong đó 0v là hằng số dương và 22
pipi
−<< lc .
Đáp số:
( )
l
atk
l
xk
l
kk
l
k
l
ck
a
v
txu
k
pipi
pi
pipi
pi
sinsin
1
2
cossin4
,
1
2
22
2
0 ∑
∞
=






−
= .
5. Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt,
còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu:
( )xfu
t
=
=0 , ( )xFt
u
t
=
∂
∂
=0
.
Đáp số:
( ) ( ) ( ) ( )
l
xn
l
atnb
l
atn
atxu
n
nn 2
12
sin
2
12
sin
2
12
cos,
1
pipipi +



 +
+
+
=∑
∞
=
với ( ) ( ) dx
l
xn
xf
l
a
l
n ∫
+
=
0 2
12
sin2 pi , ( ) ( )
( ) dx
l
xn
xF
xn
b
l
n ∫
+
+
=
0 2
12
sin
12
4 pi
pi
.
6. Cũng như bài 5. , nhưng cả hai mút đều tự do.
Đáp số:
( ) ( ) ( )[ ]
l
xn
l
atnb
l
atn
adxxtFxf
l
txu
n
nn
l pipipi
cossincos1,
10
∑∫
∞
=






+++=
với ( ) dx
l
xn
xf
l
a
l
n ∫=
0
cos
2 pi
, ( ) dx
l
xn
xF
an
b
l
n ∫=
0
cos
2 pi
pi
.
7. Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là
2l(1 - ε). Lúc t = 0, người ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch u của thiết
diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:
( ) ( )( )
( ) ( )
l
atn
l
xn
n
l
txu
n
n
2
12
cos
2
12
sin
12
18
,
0
2
1
2
pipi
pi
ε ++
+
−
= ∑
∞
=
+
,
nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh.
Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là:
( ) 0, =
∂
−∂
x
tlu
,
( ) 0, =
∂
∂
x
tlu
, ( ) xxu ε−=0, , ( ) 00. =
∂
∂
t
xu
.
8. Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút 0=x , lx = trong
một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu:
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 3 Ngày 21-02-2012
( )xfu
t
=
=0 , ( )xFt
u
t
=
∂
∂
=0
.
Đáp số:
( ) ( )
l
xn
tqbtqatxu
n
nnnn
pi
sinsincos,
1
∑
∞
=
+=
2
2
222
h
l
anqn −=
pi
, ( ) dx
l
xn
xf
l
a
l
n ∫=
0
sin2 pi , ( ) dx
l
xn
xF
lq
a
q
hb
l
n
n
n
n ∫+=
0
sin2 pi .
Hướng dẫn: Phương trình dao động là:
2
2
2
2
2
2
x
u
a
t
uh
t
u
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
.
9. Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút 0=x , còn mút lx =
chuyển động theo quy luật tA ωsin , biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
Đáp số:
( ) ( )
l
xn
l
atn
l
anl
aA
l
a
tx
a
A
txu
n
n pipi
pi
ω
ω
ω
ω
ω
sinsin12
sin
sinsin
,
1
2
2
1
∑
∞
=
−






−
−
+= .
Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình
dao động của dây với các điều kiện ( ) 0,0 =tw , ( ) tAtlw ωsin, = , còn v cũng thoả
mãn phương trình đó với các điều kiện ( ) 0,0 =tv , ( ) 0, =tlv , ( ) ( )0,0, xwxv −= ,
( ) ( )
t
xw
t
xv
∂
∂
−=
∂
∂ 0,0,
.
10. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút
kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng
độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.
Đáp số:
( )
( ) ( ) ( )
( )∑
∞
= +
++
−
−=
0
22 12
2
12
sin
2
12
cos18
,
n
n
n
l
xn
l
atn
E
Ql
x
E
Q
txu
pipi
pi
.
14. Một màng hình vuông đồng chất lúc 0=t có độ lệch được xác định bởi
( ) ( )( )ybxbAxyyxu −−=0,, , trong đó bx ≤≤0 , by ≤≤0 , dao động với vận tốc
ban đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng.
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 4 Ngày 21-02-2012
Đáp số: ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) b
at
mn
mn
b
ym
b
xn
Ab
tyxu
n
pi
pipi
pi
22
0
226
4
1212cos
1212
12
sin12sin64
,, +++
++
++
= ∑
∞
=
15. Một màng hình chữ nhật lx ≤≤0 , my ≤≤0 , gắn chặt ở mép, lúc 0=t
bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho:
∫∫ =→
εσ
ε
Adxdyv00lim ,
trong đó A là hằng số, v0 là vận tốc ban đầu, εσ là lân cận của tâm của màng.
Hãy xác định dao động của màng.
Đáp số:
( ) ( )∑
∞
=
Ψ





Ψ
=
1,
sin,2
,
24
,,
nk
knkn
kn
kn
atyx
ml
mla
A
tyxu piµ
µpi
,
với ( )
m
yn
l
xkyxkn
pipi
sinsin, =Ψ ,
22






+





=
m
n
l
k
knµ .
Phương trình truyền nhiệt
1. Tìm nghiệm của phương trình:
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
( lx t )
thoả mãn các điều kiện :
( ) 0,0 =tu , ( ) 0, =tlu ( 0>t ),
( )






≤<
≤<
=
lxll
l
xx
xu
2
x -
2
0
0,
nÕu
nÕu
.
Đáp số: ( ) ( )( )
( ) ( )
∑
∞
=
+





 +
−
+
−
=
0
2
222
22
12
sin12exp
12
14
,
n
n
l
xn
l
tan
n
l
txu
pipi
pi
2. Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không,
nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:
( )
20 l
xlcx
u
t
−
=
=
,
Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0.
Bài tập Phương pháp Toán Lý Trang 5 Ngày 21-02-2012
Đáp số: ( ) ( )
( ) ( )
∑
∞
=
+





 +
−
+
=
0
2
222
33
12
sin12exp
12
18
,
n l
xn
l
tan
n
c
txu
pipi
pi
3. Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không,
còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ
không. Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ
ban đầu trong thanh được cho bởi ( )xu
t
ϕ=
=0 .
Đáp số: ( ) ( ) ( ) dxl
x
x
l
x
l
ta
pp
p
l
txu n
l
n
nn
n
n µϕµµ
µ
µ
sinsinexp
1
2
,
01
2
22
2
22
∫∑
∞
= 







−
++
+
=
trong đó 1µ , 2µ , ... là những nghiệm dương của phương trình ptg
µµ =
,
0>= hlp .
4. Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ
không đổi u0 . Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu
( ) ( )xxu ϕ=0, .
Đáp số: ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+





 +
−+=
0
2
222
0 2
12
cos
4
12
exp,
n
n l
xn
l
tan
autxu
pipi
,
với ( ) ( ) ( ) ( )pi
piϕ
12
41 ...

---