Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết nối
Trình bày các khái niệm, các kết quả nghiên cứu chính về các phương pháp Runge Kutta (RK). Khảo sát lược đồ lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dựa trên phương pháp hiệu chỉnh RK dạng trùng khớp giải bài toán. Đồng thời trình bày phương pháp lặp song song giả RK hai bước, các điều kiện cấp cho công thức dự báo, tốc độ hội tụ, miền ổn định và tiến hành các thử nghiệm số khi so sánh với các phương pháp song song và phương pháp tuần tự. Đề xuất phương pháp lặp song song dự báo hiệu chỉnh dựa trên các phương pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp liên tục để giải bài toán giá trị đầu không cương (IVP) cho hệ phương trình vi phân thường cấp một (ODE)
Ch−ơng 1
Tổng quan về các ph−ơng pháp Runge-Kutta
1.1. Các khái niệm cơ bản của ph−ơng pháp Runge-Kutta (RK)................ .8
1.1.1. Tính ổn định của ph−ơng pháp Runge-Kutta (RK) ................... 10
1.1.2. Cấp chính xác của ph−ơng pháp Runge-Kutta .......................... 12
1.2. Các ph−ơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK)......................................... 13
1.3. Các ph−ơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp................................. 16
1.4. Các ph−ơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK)................ 19
1.4.1. Sự ổn định của các ph−ơng pháp PIRK ..................................... 22
1.4.2. Sự hội tụ của các ph−ơng pháp PIRK ....................................... 23
1.4.3. Một số ph−ơng pháp PIRK khác................................................ 23
1.5. Kết luận ................................................................................................ 25
Ch−ơng 2
Các ph−ơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh
Dạng Runge-Kutta liên tục
2.1. Các ph−ơng pháp hiệu chỉnh RK liên tục............................................. 28
2.2. Các ph−ơng pháp PIRKC ..................................................................... 32
2.2.1. Tốc độ hội tụ.............................................................................. 35
2.2.2. Miền ổn định.............................................................................. 36
2.3. Các thử nghiệm số................................................................................ 37
2.3.1. So sánh với các ph−ơng pháp song song.................................... 39
2.3.1.1. Bài toán hai vật thể ............................................................ 40
2.3.1.2. Bài toán Fehlberg................................................................ 41
2.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực................................................................................................ 41
2.3.2. So sánh với các ph−ơng pháp tuần tự......................................... 42
2.4. Kết luận ................................................................................................ 43

Ch−ơng 3
Các ph−ơng pháp lặp song song
Giả Runge-Kutta hai b−ớc
3.1. Các ph−ơng pháp hiệu chỉnh giả Runge-Kutta hai b−ớc (các ph−ơng
pháp PTRK)................................................................................................. 45
3.2. Các ph−ơng pháp lặp song song giả RK hai b−ớc (các ph−ơng pháp
IPIPTRK)..................................................................................................... 50
3.2.1. Các điều kiện cấp cho công thức dự báo ................................... 51
3.2.2. Tốc độ hội tụ.............................................................................. 53
3.2.3. Miền ổn định.............................................................................. 54
3.3. Các thử nghiệm số................................................................................ 56
3.3.1. So sánh với các ph−ơng pháp song song.................................... 59
3.3.1.1. Bài toán hai vật thể ............................................................. 60
3.3.1.2. Bài toán Fehlberg................................................................ 60
3.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực................................................................................................ 61
3.3.2. So sánh với các ph−ơng pháp tuần tự......................................... 62
3.4. Kết luận ................................................................................................ 63
Ch−ơng 4
Các ph−ơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh
Dạng Runge-kutta hai b−ớc một liên tục
4.1. Các ph−ơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai b−ớc một
liên tục ......................................................................................................... 65
4.2. Các ph−ơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta
hai b−ớc một liên tục ( các ph−ơng pháp TBTPIRKC) ............................... 68
4.2.1. Tốc độ hội tụ.............................................................................. 70
4.2.2. Miền ổn định.............................................................................. 71
4.3. Các thử nghiệm số................................................................................ 73
4.3.1. So sánh với các ph−ơng pháp song song.................................... 75
4.3.1.1. Bài toán hai vật thể............................................................. 75
4.3.1.2. Bài toán Fehlberg ............................................................... 75
4.3.1.3. Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động
của ngoại lực................................................................................................ 76
4.3.2. So sánh với các ph−ơng pháp tuần tự......................................... 77
4.4. Kết luận ................................................................................................ 77
Kết luận của luận án ............................................................. 79
Danh mục các công trình đã công bố............................. 80
Tài liệu tham khảo ................................................................... 82

Nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật đ−ợc qui về việc
tìm nghiệm hệ ph−ơng trình vi phân thỏa mãn một số điều kiện nào đó (điều
kiện ban đầu, điều kiện biên, v.v…). Đa số các hệ ph−ơng trình vi phân mô tả
những hệ cơ học, vật lý học, hoá học, sinh học v.v… rất phức tạp, không có hy
vọng giải đúng mà thông th−ờng chúng ta phải giải bằng các ph−ơng pháp gần
đúng. Các ph−ơng pháp số là các ph−ơng pháp có hiệu quả nhất khi giải gần
đúng các hệ ph−ơng trình vi phân này (xem trong [1, tr. 145-150]. Các ph−ơng
pháp Runge-Kutta là các ph−ơng pháp số khá hoàn hảo mà các ph−ơng pháp
khác không có nh− cấp chính xác cao, tính ổn định rất tốt, hơn nữa nó có khả
năng song song hóa cao. Vì thế ph−ơng pháp RK đ−ợc sự quan tâm nghiên
cứu của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải số ph−ơng trình vi phân. Chính
vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chúng tui nghiên cứu và xây dựng các
ph−ơng pháp song song dạng Runge-Kutta để giải các bài toán giá trị ban đầu
(IVPs) không c−ơng của hệ ph−ơng trình vi phân dạng
y'(t) = f ( , t y(t)) , y, f ∈ \d , = , (1)
y t ( 0) y0 t t 0≤ ≤ T0,
hay dạng thuần nhất
y'(t) = f ( ( y t)) , y, f ∈ \d , = ,
y t ( 0) y0 t t 0 0 ≤ ≤ T .
Khi xét bài toán Cauchy (IVPs) (1) chúng ta th−ờng giả thiết hàm vế
phải f ( , t y) là Lipschitz liên tục. Ta có định nghĩa sau.
??nh ngh?a Ký hiệu Ω ={( , t y) | t0 0 ≤ t ≤ T , y∈\d}, hàm f ( , t y) đ−ợc gọi là
Lipschitz liên tục nếu:
i) ∃ L > 0 sao cho ∀ ∈ ( , t y* * ),( , t y *) Ω, thì f ( , t y* * ) − f (t, y *) ≤ L y *−y ** ,
ii) Hàm f ( , t y) xác định và liên tục với ∀( , t y)∈Ω .
Điều kiện i) ở định nghĩa trên gọi là điều kiện Lipschitz.
Runge (1895) đã mở rộng ph−ơng pháp Euler bằng cách thêm vào một
b−ớc Euler vào điểm giữa của đoạn tích phân, trong khi đó Kutta (1901) đã
xây dựng ph−ơng pháp cấp 3, cấp 4 nổi tiếng trong đó đánh giá thêm hàm vế
phải tại điểm giữa và điểm cuối của b−ớc tích phân (xem trong [7, tr. 45 – 46])
Các ph−ơng pháp Runge-Kutta tổng quát s −nấc để giải bài toán (1)
đ−ợc xác định nh− sau
, i
, 1
(
,
Y ,
j
s
n i n ij n n j
j
y h a f t c h
=
= + ∑ + Y ) =1,...,s , (2)
= , (3)
1
1
( j Y
s
n n j n n
j
y y h b f t c h
+
=
+ ∑ + ,
,
)
j
trong đó ma trận
x
( )
A = aij s s , các véctơ s −chiều c = (ci) và b = (bi) là
các ma trận và các véctơ tham số của ph−ơng pháp. là các véctơ nấc
biểu diễn xấp xỉ lời giải chính xác tại các điểm ,
,
,
Y
n i
, 1,...,
t c n i + h i = s
n n
y y t
,
Y ( )
n i ≈ y tn + cih y y n n ≈ (t ), +1 1 ≈ ( ) + , h t = n +1 − tn là độ dài b−ớc.
Nếu A là ma trận tam giác d−ới chặt thì ph−ơng pháp (2)-(3) gọi là
ph−ơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK), ng−ợc lại là ph−ơng pháp Runge
Kutta ẩn (IRK).
Trong (2)-(3) để xác định đ−ợc các ta phải giải
,
Yn
i s.d ph−ơng trình (hầu
hết là phi tuyến) kích th−ớc s.d , vì thế cần thực hiện một khối l−ợng tính
toán rất lớn, đặc biệt là trong tr−ờng hợp ph−ơng pháp Runge-Kutta ẩn. Chính
vì vậy tr−ớc đây khi các ph−ơng tiện tính toán (chủ yếu là máy tính điện tử)
ch−a phát triển, các ph−ơng pháp Runge-Kutta ch−a phải là phổ biến và ch−a
đ−ợc quan tâm nghiên cứu nhiều. Sau khi Butcher (1976) xây dựng đ−ợc kỹ
thuật tính toán rất hiệu quả bằng cách ánh xạ ma trận Runge-Kutta A về dạng
chuẩn tắc Jordan (xem trong [9], [7, tr. 48-50]), thì tình hình đã thay đổi và
các ph−ơng pháp IRK đ−ợc quan tâm nghiên cứu nhiều và trở nên thông dụng
hơn. Một CODE tự động viết bằng ngôn ngữ FORTRAN77 có cấp chính xác
bằng 5 dựa trên giải pháp của Butcher và ph−ơng pháp IRK Radau IIA có tên
là RADAU5 đã ra đời (xem trong [29]). Khi giải trực tiếp bài toán (2)-(3)
bằng ph−ơng pháp lặp Newton cải tiến, để khắc phục các tính toán với chi phí
cao khi sử dụng phân tích LU , nhiều tác giả đã dựa trên kỹ thuật của Butcher


3e84os4FBMzGpSu

---